107年專技高考-電子工程技師-工程數學詳解

107年專門職業及技術人員高等考試
建築師、技師、第二次食品技師考試暨普通考試不動產經紀人、記帳士考試試題

等別：高等考試

類別：電子工程技師

程目：工程數學

解： $$y=x^{ m }\Rightarrow y'=mx^{ m-1 }\Rightarrow y''=m(m-1)x^{ m-2 }\\ y''-\frac { 1 }{ x } y'-\frac { 8 }{ x^{ 2 } } y=0\Rightarrow m(m-1)x^{ m-2 }-mx^{ m-2 }-8x^{ m-2 }=0\Rightarrow m(m-1)-m-8=0\\ \Rightarrow m^{ 2 }-2m-8=0\Rightarrow (m-4)(m+2)=0\Rightarrow m=4,-2\\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{y=C_{ 1 }x^{ 4 }+C_{ 2 }x^{ -2 }}, 其中C_1,C_2皆為常數$$

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解： $$y''-3y'+2y=2x+{ e }^{ x }+\cos { \left( { e }^{ -x } \right)  } =r\left( x \right) \\ 先求齊次解,\lambda ^{ 2 }-3\lambda +2=0\Rightarrow (\lambda -2)(\lambda -1)=0\Rightarrow \lambda =1,2\\ \Rightarrow { y }_{ h }=C_{ 1 }e^{ x }+C_{ 2 }e^{ 2x }\\ 令y_{ 1 }=e^{ x },y_{ 2 }=e^{ 2x }\Rightarrow W=\left| \begin{matrix} y_{ 1 } & y_{ 2 } \\ y'_{ 1 } & y'_{ 2 } \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} e^{ x } & e^{ 2x } \\ e^{ x } & 2e^{ 2x } \end{matrix} \right| =2e^{ 3x }-e^{ 3x }=e^{ 3x }\\ \Rightarrow y=-y_{ 1 }\int { \frac { y_{ 2 }r\left( x \right)  }{ W } dx } +y_{ 2 }\int { \frac { y_{ 1 }r\left( x \right)  }{ W } dx } \\ =-e^{ x }\int { \frac { e^{ 2x }\left( 2x+{ e }^{ x }+\cos { \left( { e }^{ -x } \right)  }  \right)  }{ e^{ 3x } } dx } +e^{ 2x }\int { \frac { e^{ x }\left( 2x+{ e }^{ x }+\cos { \left( { e }^{ -x } \right)  }  \right)  }{ e^{ 3x } } dx } \\ =-e^{ x }\int { \frac { 2x+{ e }^{ x }+\cos { \left( { e }^{ -x } \right)  }  }{ e^{ x } } dx } +e^{ 2x }\int { \frac { 2x+{ e }^{ x }+\cos { \left( { e }^{ -x } \right)  }  }{ e^{ 2x } } dx } \\ =-e^{ x }\int { \left( 2xe^{ -x }+1+e^{ -x }\cos { \left( e^{ -x } \right)  }  \right) dx } +e^{ 2x }\int { \left( 2xe^{ -2x }+e^{ -x }+e^{ -2x }\cos { \left( e^{ -x } \right)  }  \right) dx } \\ =-e^{ x }\left( -2xe^{ -x }-2e^{ -x }+x-\sin { \left( e^{ -x } \right)  }  \right) +e^{ 2x }\left( -xe^{ -2x }-\frac { 1 }{ 2 } e^{ -2x }-e^{ -x }-e^{ -x }\sin { \left( e^{ -x } \right)  } -\cos { \left( e^{ -x } \right)  }  \right) \\ =e^{ x }\left( 2xe^{ -x }+2e^{ -x }-x+\sin { \left( e^{ -x } \right)  }  \right) -e^{ 2x }\left( xe^{ -2x }+\frac { 1 }{ 2 } e^{ -2x }+e^{ -x }+e^{ -x }\sin { \left( e^{ -x } \right)  } +\cos { \left( e^{ -x } \right)  }  \right) \\ =2x+2-xe^{ x }+e^{ x }\sin { \left( e^{ -x } \right)  } -x-\frac { 1 }{ 2 } -e^{ x }-e^{ x }\sin { \left( e^{ -x } \right)  } -e^{ 2x }\cos { \left( e^{ -x } \right)  } \\ =\frac { 3 }{ 2 } +x-e^{ x }-xe^{ x }-e^{ 2x }\cos { \left( e^{ -x } \right)  } \\ \Rightarrow y=y_{ h }+y_{ p }=\bbox[red,2pt]{C_{ 1 }e^{ x }+C_{ 2 }e^{ 2x }+\frac { 3 }{ 2 } +x-xe^{ x }-e^{ 2x }\cos { \left( e^{ -x } \right)  }}$$

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解：
$$f\left( x+25 \right) =f\left( x \right) \Rightarrow L\left\{ f\left( x \right)  \right\} =\frac { \int _{ 0 }^{ 25 }{ { e }^{ -st }f\left( t \right) dt }  }{ 1-{ e }^{ -25s } } =\frac { \int _{ 5 }^{ 10 }{ { 5e }^{ -st }dt }  }{ 1-{ e }^{ -25s } } \\ =\frac { 5\left. \left[ -\frac { 1 }{ s } { e }^{ -st } \right]  \right| _{ 5 }^{ 10 } }{ 1-{ e }^{ -25s } } =\frac { 5 }{ 1-{ e }^{ -25s } } \left( -\frac { 1 }{ s } { e }^{ -10s }+\frac { 1 }{ s } { e }^{ -5s } \right) =\bbox[red,2pt]{\frac { 5{ e }^{ -5s } }{ s\left( 1-{ e }^{ -25s } \right)  } \left( { 1-e }^{ -5s } \right)}$$

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解： $$\begin{cases} z=a+bi\Rightarrow { e }^{ 2z }={ e }^{ 2a+2bi }={ e }^{ 2a }{ e }^{ 2bi }={ e }^{ 2a }\left( \cos { \left( 2b \right)  } +i\sin { \left( 2b \right)  }  \right)  \\ 3+2i=\sqrt { 13 } \left( \frac { 3 }{ \sqrt { 13 }  } +i\frac { 2 }{ \sqrt { 13 }  }  \right) =\sqrt { 13 } \left( \cos { \theta  } +i\sin { \theta  }  \right)  \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} { e }^{ 2a }=\sqrt { 13 }  \\ 2b=\theta =\cos ^{ -1 }{ \frac { 3 }{ \sqrt { 13 }  }  }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=\frac { 1 }{ 4 } \ln { 13 }  \\ b=\frac { 1 }{ 2 } \cos ^{ -1 }{ \frac { 3 }{ \sqrt { 13 }  }  }  \end{cases}\\ \Rightarrow z=\bbox[red,2pt]{\frac { 1 }{ 4 } \ln { 13 } +i\frac { 1 }{ 2 } \cos ^{ -1 }{ \frac { 3 }{ \sqrt { 13 }  }  } }$$

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解： $$f\left( z \right) =\frac { 2iz+\sin { \left( z \right)  }  }{ z^{ 3 }+z } =\frac { 2iz+\sin { \left( z \right)  }  }{ z\left( z+i \right) \left( z-i \right)  } =\frac { g\left( z \right)  }{ z+i } \\ \Rightarrow z=-i的殘值為\lim _{ z\rightarrow -i }{ g\left( z \right)  } =\frac { 2i\left( -i \right) +\sin { \left( -i \right)  }  }{ -i\left( -2i \right)  } =\frac { 2-\sin { \left( i \right)  }  }{ -2 } =\bbox[red,2pt]{\frac { 1 }{ 2 } \sin { \left( i \right)  } -1}$$

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解：
撲克牌有四種花色，各有13張
(一)取到同花的次數為$4\times C^{13}_5$，52張抽5張有$C^{52}_5$種抽法，因此取到同花的機率為$\bbox[red,2pt]{\frac{4\times C^{13}_5}{C^{52}_5}}$
(二)「順」的情況有(1-5), (2-6),..., (10,11,12,13,A) 共有10種情況，因此同花順的機率為$\frac{4\times 10}{C^{52}_5}=\bbox[red,2pt]{\frac{40}{C^{52}_{5}}}$

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解： $$令T=\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \\ \begin{cases} T\left( \left[ \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \right]  \right) =\left[ \begin{matrix} 2 \\ -4 \end{matrix} \right]  \\ T\left( \left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right]  \right) =\left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \end{matrix} \right]  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 2 \\ -4 \end{matrix} \right]  \\ \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \end{matrix} \right]  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2a=2 \\ 2c=-4 \\ b=-1 \\ d=1 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} a=1 \\ c=-2 \\ b=-1 \\ d=1 \end{cases}\Rightarrow \bbox[red,2pt]{T=\left[ \begin{matrix} 1 & -1 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right] }\\ T\left( \left[ \begin{matrix} 3 \\ 6 \end{matrix} \right]  \right) =\left[ \begin{matrix} 1 & -1 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 3 \\ 6 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 3-6 \\ -6+6 \end{matrix} \right] =\bbox[red,2pt]{\left[ \begin{matrix} -3 \\ 0 \end{matrix} \right] }$$

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解： $$A=\left[ \begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -3 & 0 \\ -1 & -2 & 0 & -3 \end{matrix} \right] \Rightarrow det\left( A \right) =\left| \begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -3 & 0 \\ -1 & -2 & 0 & -3 \end{matrix} \right| =2\times \left| \begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ -2 & 0 & -3 \end{matrix} \right| \\=2\times 2\times \left( -3 \right) \times \left( -3 \right) =\bbox[red,2pt]{36}\\ det\left( A-\lambda I \right) =0\Rightarrow \left| \begin{matrix} 2-\lambda  & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2-\lambda  & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -3-\lambda  & 0 \\ -1 & -2 & 0 & -3-\lambda  \end{matrix} \right| =0\Rightarrow { \left( \lambda -2 \right)  }^{ 2 }{ \left( \lambda +3 \right)  }^{ 2 }=0\\\Rightarrow 特徵值\lambda =\bbox[red,2pt]{2,-3}\\ \lambda =2\Rightarrow \left[ \begin{matrix} 2-\lambda  & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2-\lambda  & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -3-\lambda  & 0 \\ -1 & -2 & 0 & -3-\lambda  \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \\ x_{ 4 } \end{matrix} \right] =0\Rightarrow \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -5 & 0 \\ -1 & -2 & 0 & -5 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \\ x_{ 4 } \end{matrix} \right] =0\\\Rightarrow \begin{cases} x_{ 1 }=5x_{ 3 } \\ x_{ 1 }+2x_{ 2 }+5x_{ 4 }=0 \end{cases} \Rightarrow 取特徵向量u_{ 1 }=\bbox[red,2pt]{\left[ \begin{matrix} 5 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] }及u_{ 2 }= \bbox[red,2pt]{ \left[ \begin{matrix} 0 \\ -5 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} \right] }\\ \lambda =-3\Rightarrow \left[ \begin{matrix} 2-\lambda  & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2-\lambda  & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -3-\lambda  & 0 \\ -1 & -2 & 0 & -3-\lambda  \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \\ x_{ 4 } \end{matrix} \right] =0\Rightarrow \left[ \begin{matrix} 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & -2 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \\ x_{ 4 } \end{matrix} \right] =0\\\Rightarrow \begin{cases} x_{ 1 }=0 \\ x_{ 2 }=0 \\ x_{ 1 }+2x_{ 1 }=0 \end{cases} \Rightarrow 取特徵向量u_{ 3 }=\bbox[red,2pt]{\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right]} 及u_{ 4 }=\bbox[red,2pt]{\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] }$$

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解：
(一) $$A=\left[\begin{array}{rrr|c}1&0&1&0\\0&1&2&0\\2&-1&0&0\\1&-1&-1&0\end{array}\right]\xrightarrow{(-2)\times r_1+r_3,\,(-1)\times r_1+r_4}\left[\begin{array}{rrr|c}1&0&1&0\\0&1&2&0\\0&-1&-2&0\\0&-1&-2&0\end{array}\right] \\\xrightarrow{r_2+r_3,\, r_2+r_4}\left[\begin{array}{rrr|c}1&0&1&0\\0&1&2&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right]\Rightarrow Ax=0\Rightarrow x=\alpha\left[\begin{array}{r}1\\2\\-1\end{array}\right]\Rightarrow \bbox[red,2pt]{\left\{(1,2,-1)\right\}}可為Ax=0之x一組基底$$ (二) $$A=\left[\begin{array}{rrr|c}1&0&1&b_1\\0&1&2&b_2\\2&-1&0&b_3\\1&-1&-1&b_4\end{array}\right]\xrightarrow{(-2)\times r_1+r_3,\,(-1)\times r_1+r_4}\left[\begin{array}{rrr|l}1&0&1&b_1\\0&1&2&b_2\\0&-1&-2&b_3-2b_1\\0&-1&-2&b_4-b_1\end{array}\right] \\\xrightarrow{r_2+r_3,\, r_2+r_4}\left[\begin{array}{rrr|l}1&0&1&b_1\\0&1&2&b_2\\0&0&0&b_2+b_3-2b_1\\0&0&0&b_2+b_4-b_1\end{array}\right]\Rightarrow Ax=b\Rightarrow \begin{cases}b_2+b_3-2b_1=0\\b_2+b_4-b_1=0\end{cases} \\\Rightarrow b=\alpha\left[\begin{array}{}1\\0\\2\\1\end{array}\right]+\beta\left[\begin{array}{}1\\1\\1\\0\end{array}\right] \Rightarrow \bbox[red,2pt]{\left\{(1,0,2,1),(1,1,1,0)\right\}}可作為b之一組基底$$

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解題僅供參考