108學年度四技二專統測--數學(A)詳解

108學年度科技校院四年制與專科學校二年制

統一入學測驗試題本數學(A)詳解

解：
$$\vec { c } =x\vec { a } +y\vec { b } \Rightarrow \left( 3,8 \right) =x\left( 3,1 \right) +y\left( -1,2 \right) =\left( 3x-y,x+2y \right) \\ \Rightarrow \begin{cases} 3x-y=3\cdots (1) \\ x+2y=8\cdots (2) \end{cases}\xrightarrow { 3\times (2) } \begin{cases} 3x-y=3\cdots (1) \\ 3x+6y=24\cdots (3) \end{cases}\xrightarrow { (3)-(1) } 7y=21\Rightarrow y=3\\ \xrightarrow { 代入(1) } 3x-3=3\Rightarrow x=2\Rightarrow x+y=2+3=5, 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$a,b為x^{ 2 }+7x-15=0之兩根\Rightarrow \begin{cases} a+b=-7 \\ ab=-15 \end{cases}\\ 2a,2b為f\left( x \right) =0之兩根\Rightarrow f\left( x \right) =x^{ 2 }-\left( 2a+2b \right) x+2a\cdot 2b=x^{ 2 }-2\left( a+b \right) x+4ab\\ =x^{ 2 }-2\left( -7 \right) x+4\left( -15 \right) =x^{ 2 }+14x-60=0，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\tan { 225° } +\sec { \left( -30° \right)  } -\csc { 120° } =\tan { 45° } +\sec { 30° } -\csc { 60° } \\ =1+\frac { 2 }{ \sqrt { 3 }  } -\frac { 2 }{ \sqrt { 3 }  } =1，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：直線$3x+4y=5$上的點可表示成$(t,\frac{5-3t}{4})$；因此令$A=(t_1,\frac{5-3t_1}{4}), B=(t_2,\frac{5-3t_2}{4})$，則$\overrightarrow{AB}=(t_2-t_1,\frac{-3(t_2-t_1}{4}) \Rightarrow 6a+8b-5= 6(t_2-t_1)-6(t_2-t_1)-5=-5$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：
$$y=c{ e }^{ kt }\Rightarrow \begin{cases} t=0\Rightarrow 500=c{ e }^{ 0 }\Rightarrow c=500 \\ t=3\Rightarrow 600=c{ e }^{ 3k }\Rightarrow { e }^{ 3k }=\frac { 600 }{ 500 } =\frac { 6 }{ 5 }  \\ t=9\Rightarrow y=c{ e }^{ 9k }=500\cdot { \left( { e }^{ 3k } \right)  }^{ 3 }=500\cdot { \left( \frac { 6 }{ 5 }  \right)  }^{ 3 }=864 \end{cases}$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$\begin{cases} 圓A:x^{ 2 }+y^{ 2 }+4x-8y+16=0 \\ 圓B:x^{ 2 }+y^{ 2 }-4x-10y+19=0 \\ 圓C:(x-1)^{ 2 }+(y+3)^{ 2 }=4 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 圓A:(x+2)^{ 2 }+(y-4)^{ 2 }=4 \\ 圓B:(x-2)^{ 2 }+(y-5)^{ 2 }=10 \\ 圓C:(x-1)^{ 2 }+(y+3)^{ 2 }=4 \end{cases}\Rightarrow \\\begin{cases} 圓A:圓心(-2,4),半徑=2 \\ 圓B:圓心(2,5),半徑=\sqrt { 10 }  \\ 圓C:圓心(1,-3),半徑=2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 圓A至x軸的距離=4-2=2 \\ 圓B至x軸的距離=5-\sqrt { 10 } \approx 1.84 \\ 圓C至x軸的距離=3-2=1 \end{cases}\Rightarrow a>b>c$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：先將同班二位小朋友綁成一組，共3組排列，有3!=6種排法；每1組有2個排法，因此共有$2^3\times 6=48$種排法；
6個小朋友任排有6!=720種排法，因此同班均相鄰的機率為48/720=1/15，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：前50名占全體的$50/2000=2.5\%$，由常態分布可知：前2.5%的成績超過$\mu+2\sigma= 65+2\times 8=81$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：前二類分別是化妝保養品47%及藥品及醫療用品26%，其差額為$1960\times \frac{47-26}{100}=411.6$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$\sin ^{ 2 }{ \theta  } =\cos ^{ 2 }{ \theta  } -3\sin { \theta  } +1=\left( 1-\sin ^{ 2 }{ \theta  }  \right) -3\sin { \theta  } +1\Rightarrow 2\sin ^{ 2 }{ \theta  } +3\sin { \theta  } -2=0\\ \Rightarrow \left( 2\sin { \theta  } -1 \right) \left( \sin { \theta  } +2 \right) =0\Rightarrow \sin { \theta  } =\frac { 1 }{ 2 } \Rightarrow \theta =30°，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：假設圓半徑為$r$，圓心角為$\theta$，則 $$\begin{cases} { r }^{ 2 }\pi \cdot \frac { \theta  }{ 2\pi  } =\frac { 27 }{ 2 } \pi \cdots (1) \\ r\theta =\frac { 9 }{ 2 } \pi \cdots (2) \end{cases}(2)代入(1)\Rightarrow { r }^{ 2 }\pi \cdot \frac { \theta  }{ 2\pi  } =\frac { { r }^{ 2 }\theta  }{ 2 } =\frac { r\cdot \frac { 9 }{ 2 } \pi  }{ 2 } =r\cdot \frac { 9 }{ 4 } \pi =\frac { 27 }{ 2 } \pi \\ \Rightarrow r=\frac { 27 }{ 2 } \cdot \frac { 4 }{ 9 } =6再代入(2)\Rightarrow 6\theta =\frac { 9 }{ 2 } \pi \Rightarrow \theta =\frac { 3 }{ 4 } \pi$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $$\begin{cases} f\left( x \right) =\left( x-1 \right) g\left( x \right) +3 \\ g\left( x \right) =p\left( x \right) \left( x-2 \right) +6 \end{cases}\Rightarrow f\left( x \right) =\left( x-1 \right) \left( p\left( x \right) \left( x-2 \right) +6 \right) +3\\ \Rightarrow f\left( 2 \right) =1\cdot \left( 0+6 \right) +3=9$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：

常數項為$-1\times 1=-1$，只有(A)(B)(D)符合要求；
$x$係數為$1+(-1)\cdot(-1)=2$，只有(D)符合要求；故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：
AB0→有6\times 5=30種
AB2→有5\times 5=25種(A不可為0)
AB4→有5\times 5=25種(A不可為0)
AB6→有5\times 5=25種(A不可為0)

因此共有$25\times 3+30=75+30=105$種偶數，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $$\overline { BC } =\sqrt { 4+4 } =2\sqrt { 2 } \Rightarrow \begin{cases} \overline { AB } =2\sqrt { 2 }  \\ \overline { AC } =2\sqrt { 2 }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} { \left( a+1 \right)  }^{ 2 }+{ \left( b-1 \right)  }^{ 2 }=8 \\ { \left( a-1 \right)  }^{ 2 }+{ \left( b+1 \right)  }^{ 2 }=8 \end{cases}\\ \Rightarrow a^{ 2 }+2a+1+b^{ 2 }-2b+1=a^{ 2 }-2a+1+b^{ 2 }+2b+1\Rightarrow a=b\\ \Rightarrow { \left( a+1 \right)  }^{ 2 }+{ \left( a-1 \right)  }^{ 2 }=8\Rightarrow 2a^{ 2 }+2=8\Rightarrow a^{ 2 }=3\Rightarrow ab=3，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：
$L$與$L_2$垂直，因此$L: 5x-y=t$；又$A, B$通過L，因此$-5k-2=t=5-2k\Rightarrow k=-7/3$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：
$$ax^{ 2 }-2ax+2a+3<0\Rightarrow a\left( x^{ 2 }-2x+2 \right) +3<0\Rightarrow a\left( (x-1)^{ 2 }+1 \right) +3<0\\ \Rightarrow a(x-1)^{ 2 }+a+3<0\Rightarrow a+3<0\left( 因為(x-1)^{ 2 }\ge 0 \right) \Rightarrow a<-3$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$\begin{cases} A,B在L_{ 1 }異側 \\ A,C在L_{ 2 }同側 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \left( -2-2k+3 \right) \left( k-6+3 \right) <0 \\ \left( -4+k-1 \right) \left( -2k-k-1 \right) >0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \left( 2k-1 \right) \left( k-3 \right) >0 \\ \left( k-5 \right) \left( 3k+1 \right) <0 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} k>3或k<1/2 \\ -1/3<k<5 \end{cases}\Rightarrow 3<k<5或-1/3<k<1/2，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$ 。

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解：
假設該工廠生產豬飼料$x$包，雞飼料$y$包，則所得利潤為$22x+44y=k$；其條件為$\begin{cases} 5x+2y\le 200 \\ 2x+3y\le 180 \\ 0\le x,y \end{cases}$

求各線交點，可得$A=(0,60), B=(240/11, 500/11), C=(40,0), O=(0,0)$；最大利潤出現在A點，即$k=44\times 60=2640$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：

解為兩相同實根，即判別式為0，即 $$(a^3)^2-4(a-1)(a^2+a+1)=0 \Rightarrow (a^3)^2-4(a^3-1)=0 \Rightarrow (a^3)^2-4a^3+4=0 \\ \Rightarrow (a^3-2)^2=0\Rightarrow a^3=2 \Rightarrow a=\sqrt[3]{2}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：

滿足$a+b+c$為5的倍數，且$a<b<c$的三個數字$(a,b,c)=(1,3,6), (1,4,5), (2,3,5),(4,5,6)$，共有4組數字，因此機率為$\frac{1}{4}$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：
十男選出三男有$C^{10}_3$種選法，十女選出七女有$C^{10}_7$種選法，因此共有 $C^{10}_3\cdot C^{10}_7=120\times 120=14400$選法，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$2x^{ 2 }+2y^{ 2 }-4x+6y+1=0\Rightarrow 2\left( x^{ 2 }+y^{ 2 }-2x+3y \right) +1=0\Rightarrow 2\left( x^{ 2 }-2x+1+y^{ 2 }+3y+\frac { 9 }{ 4 }  \right) +1-2-\frac { 9 }{ 2 } =0\\ \Rightarrow 2\left( \left( x-1 \right) ^{ 2 }+\left( y+\frac { 3 }{ 2 }  \right) ^{ 2 } \right) =\frac { 11 }{ 2 } \Rightarrow \left( x-1 \right) ^{ 2 }+\left( y+\frac { 3 }{ 2 }  \right) ^{ 2 }=\left( \frac { \sqrt { 11 }  }{ 2 }  \right) ^{ 2 }\\ \Rightarrow 圓心O\left( 1,-\frac { 3 }{ 2 }  \right) ,半徑r=\frac { \sqrt { 11 }  }{ 2 }$$

令A為切點，見上圖，則$\overline{PO}=\sqrt{(3-1)^2+(4+3/2)^2}=\sqrt{\frac{137}{4}}$
在直角$\triangle APO$中，$\overline{PO}^2=r^2+\overline{PA}^2\Rightarrow \frac{137}{4} = \frac{11}{4}+\overline{PA}^2 \Rightarrow \overline{PA}^2=\frac{137}{4}-\frac{11}{4}=\frac{126}{4}$
$\overline{PA}=\sqrt{\frac{126}{4} }=\frac{3\sqrt{14}}{2}=\frac{a\sqrt{14}}{2}\Rightarrow a=3$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $$a_{ 1 }a_{ 3 }=a_{ 1 }\cdot a_{ 1 }r^{ 2 }=a_{ 1 }^{ 2 }r^{ 2 }=a_{ 1 }^{ 2 }\left( -2 \right) ^{ 2 }=4a_{ 1 }^{ 2 }=12\Rightarrow a_{ 1 }^{ 2 }=3\\ \Rightarrow a_{ 1 }^{ 2 }+a_{ 2 }^{ 2 }+a_{ 3 }^{ 2 }+a_{ 4 }^{ 2 }=a_{ 1 }^{ 2 }+a_{ 1 }^{ 2 }r^{ 2 }+a_{ 1 }^{ 2 }r^{ 4 }+a_{ 1 }^{ 2 }r^{ 6 }=a_{ 1 }^{ 2 }\left( 1+r^{ 2 }+r^{ 4 }+r^{ 6 } \right) =3\left( 1+4+16+64 \right) \\ =3\times 85=255，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\sum _{ k=1 }^{ 10 }{ \left( 2^{ k }+3k+2 \right)  } =\sum _{ k=1 }^{ 10 }{ 2^{ k } } +3\sum _{ k=1 }^{ 10 }{ k } +2\sum _{ k=1 }^{ 10 }{ 1 } \\ =\frac { 2-2^{ 11 } }{ 1-2 } +3\cdot \frac { 11\times 10 }{ 2 } +2\cdot 10=\left( 2^{ 11 }-2 \right) +3\cdot 55+20\\ =2046+165+20=2046+185=2231，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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