108學年度四技二專統測--數學(S)詳解

108學年度科技校院四年制與專科學校二年制

統一入學測驗試題本數學(S)詳解

解：

$$(A)\left| \frac { 12\cdot 13-5\cdot 7-108 }{ \sqrt { 12^{ 2 }+5^{ 2 } }  }  \right| =\frac { 13 }{ 13 } =1，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$(A)=(+, +), (B)=(+, -), (C)=(-, -), (D)=(-, +)，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$f(x)+g(x)=(a+3)x^2+(5-b)x+(c-1)為零多項式\Rightarrow \begin{cases}a+3=0\\5-b=0\\c-1=0\end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases}a=-3\\b=5\\c=1\end{cases} \Rightarrow abc=(-3)\cdot 5\cdot 1=-15，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：由圖(一)可知，該圖形經過(0, 3)   (只有(A)及(D)符合)及$(\pi/2, 0)$   (只剩(A)符合)，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$x+1為f(x)的因式\Rightarrow f(-1)=0\Rightarrow -a+4-1-2=1-a=0\Rightarrow a=1\\ \Rightarrow f(x) =x^3+4x^2+x-2 =(x+1)(x^2+3x-2) \Rightarrow g(x)=x^2+3x-2 \\\Rightarrow 兩根之和為-3，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$\begin{cases} a,a+3,10成等差 \\ b,-15,60成等比 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a+10=2(a+3) \\ (-15)^{ 2 }=60b \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=4 \\ b=15/4 \end{cases}\\ \Rightarrow ab=4\cdot \frac { 15 }{ 4 } =15，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解：7人選5人共有$C^7_5=21$種選法；甲、乙、丙三人都被選上，剩下4人選2人有$C^4_2=6$種選法，因此甲、乙、丙三人都被選上的機率為6/21=2/7，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：由題意可知：甲同學三次段考成績由低至高分別為88, 90, 92，因此標準差為$\sqrt{((88-90)^2+(90-90)^2+(92-90)^2)/3}=\sqrt{8/3}\approx   1.63$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $$P=\left((-2+8)/2, (3+1)/2\right)=(3,2), Q=(1,4) \Rightarrow \overline{PQ}斜率=\frac{4-2}{1-3}=-1，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$(A)2019°=360°\times 4+579°\\ (B)2019°=360°\times 5+219°=2\pi \times 5+\frac { 219 }{ 180 } \pi =2\pi \times 5+\frac { 73 }{ 60 } \pi \\ (C)2019°=360°\times 6-141°=2\pi \times 6-\frac { 141 }{ 180 } \pi =2\pi -\frac { 47 }{ 60 } \pi \\ (D)2019°=360°\times 6-141°，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$\sin{\theta}\cos{\theta}\tan{\theta}=\sin{\theta}\cos{\theta}\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\sin^2{\theta}=\frac{1}{4}\Rightarrow \sin{\theta}=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \cos{\theta}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \sin{\theta}+\cos{\theta}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$餘弦定理\Rightarrow \overline{BC}^2=2^2+4^2-2\cdot 2\cdot 4\cos{120^\circ}=4+16-16\cos{120^\circ} = 20+8=28\\ \Rightarrow \overline{BC}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$\begin{cases} P至x軸的矩離為2 \\ P至y軸的矩離為4 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \left| b \right| =2 \\ \left| a \right| =4 \end{cases}又\begin{cases} ab<0 \\ a-b>0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=4 \\ b=-2 \end{cases}\\ \Rightarrow 過點 P 且斜率為 2 的直線方程式為 y+2=2(x-4)\Rightarrow 2x-y-10=0，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$x^2+y^2+2(x+2)+4(y-1)-k=0\Rightarrow (x^2+2x+1)+(y^2+4y+4)=k+5 \\\Rightarrow (x+1)^2+(y+2)^2=k+5 \Rightarrow 圓半徑\sqrt{k+5}>0\Rightarrow k>-5，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$圓x^2+y^2-2x-4(y+1)=0 \Rightarrow (x-1)^2+(y-2)^2=3^2 \Rightarrow 圓心O(1,2), 半徑r=3 \\\Rightarrow 直線與圓相切代表直線至圓心的距離等於半徑長，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：

$$2019\vec{a}+5\vec{b}+5\vec{c}=0\Rightarrow 2019\vec{a},5\vec{b},5\vec{c}構成一三角形\\ \vec{a}\bot\vec{b}\Rightarrow 2019\vec{a}\bot 5\vec{b}\Rightarrow 該三角形為直角三角形, 見上圖\\ \Rightarrow 90^\circ<\theta<180^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：

直角$\triangle  BCD\Rightarrow   \overline{DC}=\overline{BC}=350$；
直角$\triangle  ACB\Rightarrow   \overline{AC}=\overline{BC}\times\sqrt{3}=350\sqrt{3}$，因此$x =\overline{AC}-\overline{DC}=350\sqrt{3}-350=350(\sqrt{3}-1)$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：
抽到紅球的機率為5/10=1/2，期望值為$20\times \frac{1}{2}=10$；
抽到白球的機率為3/10，期望值為$10\times \frac{3}{10}=3$；
抽到黃球的機率為2/10=1/5，期望值為$(-50)\times \frac{1}{5}=-10$；
因此任取一球的期望值為10+3-10=3，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $$x^4-21x^2+108=0\Rightarrow (x^2-9)(x^2-12)=0\Rightarrow x^2=9,12 \Rightarrow x=\pm 3,\pm 2\sqrt{3}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$\begin{cases} f\left( 2019 \right) \cdot f\left( -2019 \right) ={ 2 }^{ 2019 }\cdot { 2 }^{ -2019 }=2^{ 0 }=1 \\ g\left( 2019 \right) \cdot g\left( -2019 \right) ={ 3 }^{ 2019 }\cdot { 3 }^{ -2019 }=3^{ 0 }=1 \end{cases}\Rightarrow f\left( 2019 \right) \cdot f\left( -2019 \right) =g\left( 2019 \right) \cdot g\left( -2019 \right) \\ \Rightarrow \frac { f\left( 2019 \right)  }{ g\left( 2019 \right)  } =\frac { g\left( -2019 \right)  }{ f\left( -2019 \right)  } ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$\begin{cases} { 7 }^{ 50 }為43位數 \\ { 7 }^{ 60 }為51位數 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} { 42\le \log { 7^{ 50 } }  }<43 \\ 50\le \log { { 7 }^{ 60 } } <51 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} { 42\le 50\log { 7 }  }<43 \\ 50\le 60\log { { 7 } } <51 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} { 0.84\le \log { 7 }  }<0.86 \\ 0.83\le \log { { 7 } } <0.85 \end{cases}\\ \Rightarrow { 0.84\le \log { 7 }  }<0.85\Rightarrow 84\le 100\log { 7 } <85\Rightarrow 84\le \log { 7^{ 100 } } <85\Rightarrow { 7 }^{ 100 }為85位數，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：
第一幅畫有$C^{12}_4$種選筆的方法，第二幅畫有$C^{12-4}_4$種選筆的方法，第三幅畫有$C^{12-4-4}_4$種選筆的方法。因此共有$C^{12}_4\cdot C^8_4\cdot C^4_4= 495\cdot 70\cdot 1=34650$種，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：

由圖形可知：當藍線經過A(0,2019)有最大面積:$k=0-2019=-2019$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：
假設甲演出$x$場、乙演出$y$場，依題意$\begin{cases} 0\le x+y\le 25 \\ 0\le 3x+2y\le 60 \\ 6x+5y=k \end{cases}$，求$k$之最值。

由上圖可知：平行藍色直線經過B點時，有最大值$k=6\times 10+5\times 15=60+75=135$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：紅球R有5顆、白球W有5顆，10球取出5顆有以下情形：
5R→RRRRR(失敗)
4R1W→RRRRW(失敗)、RRRWR(失敗)、RRWRR、RWRRR(失敗)、WRRRR(失敗)：4失敗、1成功；
3R2W→RRRWW(失敗)、RRWRW、RWRRW、WRRRW(失敗)、RRWWR、RWRWR、WRRWR、RWWRR、WRWRR、WWRRR(失敗)：3失敗、7成功
2R3W：3失敗、7成功
1R4W：4失敗、1成功；
5W：失敗
共1+5+10+10+5+1=32次，其中成功次數為1+7+7+1=16次，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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