108學年度四技二專統測--數學(C)詳解

108學年度科技校院四年制與專科學校二年制

統一入學測驗試題本數學(C)詳解

解：
$$\begin{cases} \vec { u } \bot \vec { v }  \\ \vec { u } //\vec { w }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \vec { u } \cdot \vec { v } =0 \\ \vec { u } =k\vec { w }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \left( 1,1 \right) \cdot \left( x+4,y-1 \right) =0 \\ \left( 1,1 \right) =k\left( 2x,y \right)  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x+y+3=0 \\ 2x=y \end{cases}\\ \Rightarrow x+2x+3=0\Rightarrow x=-1\Rightarrow y=-2, 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

---

解： $$3<\log _{ 0.5 }{ \left( 2x+1 \right) } <4\Rightarrow 3<-\log _{ 2 }{ \left( 2x+1 \right) } <4\Rightarrow -4<\log _{ 2 }{ \left( 2x+1 \right) } <-3\\ \Rightarrow \frac { 1 }{ 16 } <2x+1<\frac { 1 }{ 8 } \Rightarrow -\frac { 15 }{ 16 } <2x<-\frac { 7 }{ 8 } \Rightarrow -\frac { 15 }{ 32 } <x<-\frac { 7 }{ 16 } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

---

解：

A、D位於$L_1$的左側，即$3x-5y\le 2$；A、B位於$L_2$的右側，即$x+2y\ge 3$；
兩者交集即為區域A，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

---

解： $$先求\begin{cases} 3x-4y+z=4 \\ 5x+2y-2z=3 \\ 4x+5y-3z=1 \end{cases}\Rightarrow (x,y,z)=(1,0,1)，再代入2x+3y-2z=a\\\Rightarrow 2-2=a\Rightarrow a=0，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

---

解：
$$假設半徑為r,角度為\theta ，則\begin{cases} r^{ 2 }\pi \times \frac { \theta }{ 2\pi } =1 \\ r\theta +2r=5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \theta =2/r^{ 2 } \\ r\theta +2r=5 \end{cases}\\ \Rightarrow r\cdot \frac { 2 }{ r^{ 2 } } +2r=5\Rightarrow \frac { 2r^{ 2 }-5r+2 }{ r } =0\Rightarrow \frac { \left( 2r-1 \right) \left( r-2 \right) }{ r } =0\\ \Rightarrow \begin{cases} r=1/2 \\ r=2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \theta =2/r^{ 2 }=8(不合,超過2\pi ) \\ \theta =2/r^{ 2 }=1/2 \end{cases}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

---

解：

假設梯長$\overline{AC}=\overline{DE}=a$，見上圖；
在$\triangle ABC$中，$\overline{BC}=\frac{a}{\sqrt{2}}$；在$\triangle DBE$中，$\overline{BC}=\overline{BD}-\overline{DC}=\frac{\sqrt{3}a}{2}-1/2$；

因此$\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}a}{2}-1/2\Rightarrow   a=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

---

解： $$\begin{cases} f\left( x \right) =p\left( x \right) \left( x^{ 2 }-3x+2 \right) +3x-4=p\left( x \right) \left( x-2 \right) (x-1)+3x-4 \\ g\left( x \right) =q\left( x \right) \left( x-1 \right) +5 \end{cases}\\ \Rightarrow f\left( x \right) +g\left( x \right) =p\left( x \right) \left( x-2 \right) (x-1)+q\left( x \right) \left( x-1 \right) +3x+1\\ \Rightarrow f\left( 1 \right) +g\left( 1 \right) =3+1=4，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

---

解： $$\frac { x^{ 2 }+5x+6 }{ (x-2)(x^{ 2 }+1) } =\frac { A }{ x-2 } +\frac { Bx+C }{ x^{ 2 }+1 } \Rightarrow x^{ 2 }+5x+6=A(x^{ 2 }+1)+\left( Bx+C \right) (x-2)\\=(A+B)x^{ 2 }+(C-2B)x+A-2C\\ \Rightarrow \begin{cases} A+B=1 \\ C-2B=5 \\ A-2C=6 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} A=4 \\ B=-3 \\ C=-1 \end{cases}\Rightarrow A+2B+3C=4-6-3=-5，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

---

解：三直線將平面分成六個區域，代表其中兩條直線平行，或三線交於同一點；
若$L_1//L_3\Rightarrow   a=-1$；若$L_2//L_3\Rightarrow   a=3/2$；
$L_1與L_2$的交點$P=(1, -1/3)$，若三線交於P點，則$1+a/3=-2\Rightarrow   a=-9$；
因此$a=-1,3/2, -9$符合條件，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

---

解：
2男+6女：$C^4_2\times   C^6_6=6$種組隊方式
3男+5女：$C^4_3\times   C^6_5=24$種組隊方式
4男+4女：$C^4_4\times   C^6_4=15$種組隊方式
因此共有  6+24+15=45，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

---

解：
(A)選出3人需擔任不同職務，還需增加排列數
(B)尚需考慮正負號
(C) $\frac{8!}{3!5!}=C^8_3$
(D)相當求x+y+z=8的正整數解
故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

---

解：假設男生有$x (0\le x\le 10)$位，則女生有$10-x$位；選中2位皆為男生的機率為$C^x_2/C^{10}_2$，選中2位皆為女生的機率為$C^{10-x}_2/C^{10}_2$；由題意知： $$\frac { C^{ x }_{ 2 } }{ C^{ 10 }_{ 2 } } =\frac { x(x-1)\div 2 }{ 10\times 9\div 2 } =\frac { x(x-1) }{ 90 } <\frac { 1 }{ 10 } \Rightarrow x(x-1)<9\Rightarrow x=0,1,2,3\\ x=3\Rightarrow \frac { C^{ 10-x }_{ 2 } }{ C^{ 10 }_{ 2 } } =\frac { (10-x)(9-x) }{ 90 } =\frac { 7\times 6 }{ 90 } =\frac { 7 }{ 15 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

---

解： $$a_5=3a_{12}\Rightarrow a_1+4d=3(a_1+11d) \Rightarrow 2a_1+29d=0 \Rightarrow (a_1+14d) +(a_1+15d)=0\\\Rightarrow a_{15}+a_{16}=0\Rightarrow  a_{15}>0且   a_{16}<0，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

---

解： $$F\left( x \right) =\frac { d }{ dx } \left[ \int _{ 1 }^{ x }{ \left( t^{ 2 }+1 \right) } dt \right] =x^ 2+1\Rightarrow F(1)=1+1=2，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

---

解： $$\lim_{x\to 1}{\frac{f(x)-f(1)}{x-1}}=f'(1)=g(1)=1-4+2=-1，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

---

解：
(A)若$\sin{\theta}>0$，$x$可能為負，則$x\sin{\theta}<0$
(B)若$\cos{\theta}>0$，$y$可能為負，則$y\cos{\theta}<0$
(C)若$\cot{\theta}>0$，則$xy>0$，$x$可能為負，則$x\cot{\theta}<0$
(D)若$\csc{\theta}>0$，則$y>0$，$y\csc{\theta}>0$；若$\csc{\theta}<0$，則$y<0$，$y\csc{\theta}>0$；
故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

---

解：
$$\frac { \cos { B } +i\sin { B }  }{ \left( \cos { A } +i\sin { A }  \right) \left( \cos { C } +i\sin { C }  \right)  } =\frac { \cos { B } +i\sin { B }  }{ \cos { \left( A+C \right)  } +i\sin { \left( A+C \right)  }  } \\=\cos { \left( B-A-C \right)  } +i\sin { \left( B-A-C \right)  } \\ \Rightarrow \sin { \left( B-A-C \right)  } =0\Rightarrow B-A-C=0\Rightarrow B=A+C\\\Rightarrow A+B+C=2B=180°\left( \triangle 三角和=180° \right) \Rightarrow B=90°，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

---

解：分數多集中於平均值，則標準差較小，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

---

解：

兩直線斜率相乘為-1，因此兩直線相互垂直，其圖形如上圖。由題意可知：$\overline{AC}=26$且$\tan{\alpha}=\frac{2}{3},\tan{\beta}=\frac{3}{2}$
$\overline{BC}=\overline{AC}\sin{\alpha}=26\times \frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{52}{\sqrt{13}}$
同理，$\overline{AB}=\overline{AC}\sin{\beta}=26\times \frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{78}{\sqrt{13}}$
因此三角形面積為$\overline{AB}\times\overline{BC}\div   2=   \frac{78}{\sqrt{13}}\times   \frac{52}{\sqrt{13}}\times\frac{1}{2}=156$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

---

解： $$\log _{ 4 }{ \left( 4^{ x }-2^{ x }+52 \right)  } =x+1\Rightarrow 4^{ x }-2^{ x }+52=4^{ x+1 }=4\cdot 4^{ x }\Rightarrow 3\cdot 4^{ x }+2^{ x }-52=0\\\Rightarrow 3\cdot (2^{ x })^{ 2 }+2^{ x }-52=0 \Rightarrow \left( 2^x-4 \right) \left(2^x+13  \right) =0\Rightarrow 2^x=4\Rightarrow x=2\\\Rightarrow \log{(x^2\cdot5^x)}=\log{2^2\cdot5^2} =\log{4\cdot 25}=\log{100}=2，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

---

解： $$\frac { 1 }{ n } \sum _{ k=1 }^{ n }{ \left( 1+\frac { k }{ n }  \right)  } =\frac { 1 }{ n } \left( \sum _{ k=1 }^{ n }{ \left( 1 \right)  } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ \left( \frac { k }{ n }  \right)  }  \right) =\frac { 1 }{ n } \left( n+\frac { n(n+1) }{ 2n }  \right) =1+\frac { n+1 }{ 2n } \\ \Rightarrow \lim _{ n\to \infty  }{ \frac { 1 }{ n } \sum _{ k=1 }^{ n }{ \left( 1+\frac { k }{ n }  \right)  }  } =\lim _{ n\to \infty  }{ \left( 1+\frac { n+1 }{ 2n }  \right)  } =1+\frac { 1 }{ 2 } =\frac { 3 }{ 2 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

---

解：
由橢圓方程式可知中心坐標為(0,1)、$a=5,b=3 \Rightarrow c=4$，因此$F=(\pm 4,1)$，直線L即為y軸；
由拋物線方程式可知：頂點坐標為$(h,k)=(\pm 4/2,1)=(\pm 2,1),   c=2$；
因此$|chk|=|2\times \pm   2\times     1|=4$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

---

解： $$橢圓：\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{144}=1\Rightarrow \frac{x^2}{13^2}+\frac{y^2}{12^2}=1 \Rightarrow a=13,b=12,c=5\Rightarrow \overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a=26\\ 雙曲線：\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\Rightarrow \frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{3^2}=1\Rightarrow a=4,b=3,c=5\Rightarrow \left|\overline{PF_3}-\overline{PF_4}\right|=2a=8\\由於兩圖形c值相同，所以焦點也相同，因此\overline{PF_1}+\overline{PF_2}= \overline{PF_3}+ \overline{PF_4}=26\\且\left|\overline{PF_3}-\overline{PF_4}\right|=\left|\overline{PF_1}-\overline{PF_2}\right|=8，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

---

解：
$$由旋轉矩陣可知：\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos{30^\circ} & -\sin{30^\circ}\\ \sin{30^\circ} & \cos{30^\circ} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3\\4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sqrt{3}/2 & -1/2\\ 1/2 & \sqrt{3}/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3\\4\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}(-3\sqrt{3}-4)/2\\(4\sqrt{3}-3)/2\end{bmatrix}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

---

解：
$$f(t)=\frac{100t}{t^2+9}\Rightarrow f'(t)=\frac{100}{t^2+9}-\frac{200t^2}{(t^2+9)^2}\\ 令f'(t)=0\Rightarrow 100(t^2+9)=200t^2 \Rightarrow t^2=9\Rightarrow t=3(t=-3不合)，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

---