108學年度四技二專統測--數學(B)詳解

108學年度科技校院四年制與專科學校二年制

統一入學測驗試題本數學(B)詳解

解：

價差代表最高價與最低價的差距，即為全距，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$2019=360\times 5+219，又219=30\times 7+9，因此指在7與8之間，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\log _{ 2 }{ 5 } =\frac { \log { 5 }  }{ \log { 2 }  } =\frac { 2\log { 5 }  }{ 2\log { 2 }  } =\frac { \log { 5^{ 2 } }  }{ \log { 2^{ 2 } }  } =\frac { \log { 25 }  }{ \log { 4 }  } ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：假設兩根分別為$a$及$a+1$，則$\begin{cases}a+a+1=13\\a(a+1)=k/3\end{cases} \Rightarrow a=6$且$6\times 7=k/3\Rightarrow k=42\times 3=126$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：x截距為3，斜率為2，因此y截距為$2\times 3=6$，三角形面積為$3\times 6\div 2=9$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $$f(-2)=f(1)=f(3)=0\Rightarrow f(x)=a(x+2)(x-1)(x-3)，又f(-1)=4\\\Rightarrow 4=a\times 1\times (-2)\times (-4) \Rightarrow 8a=4 \Rightarrow a=1/2 \Rightarrow f(x)=\frac{1}{2}(x+2)(x-1)(x-3)\\\Rightarrow f(2)=\frac{1}{2}\times 4\times 1\times (-1)=-2，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$\left(x^2+y^2\right)\left(1^2+(-2)^2\right)\ge (x-2y)^2 \Rightarrow 5\left(x^2+y^2\right)\ge 100 \Rightarrow \left(x^2+y^2\right)\ge 20，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解：
$$\begin{cases} { \left( { 3 }^{ m } \right) }^{ 3 }=729 \\ { 4 }^{ n-m }=\frac { 1 }{ 256 } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} { 3 }^{ 3m }={ 3 }^{ 6 } \\ { 2 }^{ 2n-2m }={ 2 }^{ -8 } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} m=2 \\ n=-2 \end{cases}\Rightarrow m+n=2-2=0，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$\sin{(\theta+180^\circ)}=\sin{\theta}\cos{180^\circ}+\sin{180^\circ}\cos{\theta}=-\sin{\theta}+0 = -a，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$15^\circ\le \theta\le 75^\circ \Rightarrow \tan{\theta}>0 且遞增，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：一顆雞蛋銷售成功，則蛋農獲利0.5元；銷售失敗，則蛋農損失4元；因此期望值為
$0.994\times 0.5-4\times 0.006 = 0.473$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$S=30+30\times \frac { 2 }{ 5 } \times 2+30\times \left( \frac { 2 }{ 5 } \right) ^{ 2 }\times 2+30\times \left( \frac { 2 }{ 5 } \right) ^{ 3 }\times 2+\cdots \\ \Rightarrow \frac { 2 }{ 5 } S=30\times \frac { 2 }{ 5 } +30\times \left( \frac { 2 }{ 5 } \right) ^{ 2 }\times 2+30\times \left( \frac { 2 }{ 5 } \right) ^{ 3 }\times 2+\cdots \\ \Rightarrow \frac { 3 }{ 5 } S=30+30\times \frac { 2 }{ 5 } =42\Rightarrow S=70，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：

這是信賴區間的定義，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：
開口向上$\Rightarrow a>0$；與x軸沒交點$\Rightarrow x=0時 y=b>0$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$L_1\bot L_2\Rightarrow m_1\cdot m_2=-1\Rightarrow (m_1,m_2)=(2, -1/2), (-1/2, 2)兩種情形\\ \Rightarrow 機率為\frac{2}{3\times 3}=\frac{2}{9}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$8\times 7\times 6\times 5\times 4=\frac{8!}{3!}=P^8_5，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：
$$\left| \begin{matrix} 1-x & 2 & 0 \\ 4 & 6-2x & 2 \\ 0 & 3 & 1 \end{matrix} \right| =4\Rightarrow \left( 2x-6 \right) \left( x-1 \right) -8-6(1-x)=4\Rightarrow x^{ 2 }-x-6=0\\ \Rightarrow \left( x-3 \right) \left( x+2 \right) =0\Rightarrow x=3,-2\\ \Rightarrow \begin{cases} x=3\Rightarrow \left| \begin{matrix} 2 & 3-x & 1 \\ 0 & 6 & 2 \\ 1-x & -1 & -1 \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 6 & 2 \\ -2 & -1 & -1 \end{matrix} \right| =-12+12+4=4 \\ x=-2\Rightarrow \left| \begin{matrix} 2 & 3-x & 1 \\ 0 & 6 & 2 \\ 1-x & -1 & -1 \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} 2 & 5 & 1 \\ 0 & 6 & 2 \\ 3 & -1 & -1 \end{matrix} \right| =-12+30-18+4=4 \end{cases}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$\int _{ 1 }^{ 2 }{ f\left( x \right) dx } =\int _{ 1 }^{ 2 }{ \left( 3x^{ 2 }+2x+1 \right) dx } =\left. \left[ x^{ 3 }+x^{ 2 }+x \right]  \right| ^{ 2 }_{ 1 }=\left( 8+4+2 \right) -\left( 1+1+1 \right) \\=14-3=11，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$f(x)=x^3-x^2+x-2\Rightarrow f'(x)=3x^2-2x+1\Rightarrow f''(x)=6x-2 \Rightarrow f'(1)+f''(1)\\=(3-2+1)+(6-2)=2+4=6，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：

假設第二次測仰角位置距高樓底部$a$公尺，即上圖$\overline{DB}=a$；
$\overline{DB}=a\Rightarrow \overline{AB}=\sqrt{3}a=\overline{CB} \Rightarrow 30+a=\sqrt{3}a \Rightarrow a=\frac{30}{\sqrt{3}-1}=15(\sqrt{3}+1)$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：

所圍區域如上圖，當平行藍線的直線經過B點時，有最大值$f(4,1)=4-1=3$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：1-6號抽出2號的機率為1/6，又37,38,39,40,1,2此區間抽中2號的機率也是1/6，因此抽中2號的機率為1/6+1/6=1/3，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$\overrightarrow{OC}與\overrightarrow{OB}在\overrightarrow{OD}的投影長是相同的 \Rightarrow b=c\\又\overrightarrow{OA}在\overrightarrow{OD}的投影長小於\overrightarrow{OB}在\overrightarrow{OD}的投影長，即b=c>a\\ \overrightarrow{OD}在自己的投影長度最長，故d>b=c>a，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$H^3_4=C^6_4=15，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解：

$$x^2+y^2-2x-6y+9=0\Rightarrow (x-1)^2+(y-3)^2=1\Rightarrow 圓心(1,3), 半徑1\\\Rightarrow b介於3\pm 1\Rightarrow 2\le b\le 4，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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