109學年度高中運動績優生甄試--數學科詳解

109學年度高級中等以上學校運動成績優良學生

升學輔導甄試學科考試--數學科詳解

說明：單選題共 40 題，請在「答案卡」上劃記。每題 2.5 分，共 100 分。

1. 由右圖飲料的營養標示知，每 100 毫升的含糖量為 6.6 公克。那麼小美今日喝了兩瓶的該飲料(共 1200 毫升)， 其含糖量共約有多少公克？

(A) 65 (B) 70 (C) 75 (D) 80 (E) 85。

解： $${1200\over 100} \times 6.6= 79.2，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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2. 承上題，國民健康署「國民飲食指標」增列「每日飲食中，添加糖攝取量不宜超過總熱量的 10%」之建議。若小美今日攝取熱量共有 2000 大卡，那麼她喝了這兩瓶該飲料的添加糖攝取量，大約是建議添加糖攝取量上限的多少倍？
【註:每公克糖可產生 4 大卡熱量】

(A) 1.6 (B) 2 (C) 2.4 (D) 2.6 (E) 3。

解： $${79.2\times 4\over2000\times 10\%  }= {316.8\over200  } = 1.584，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $${酒精\over 酒精+水} ={75\over 100} \Rightarrow {1000\times 0.95 \over 1000+x} = {950\over 1000+x} ={75\over 100} \Rightarrow 3000+3x = 3800\\ \Rightarrow x={800\over 3} =266.6，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $${2.5\times 10^{-6}\over 100\times 10^{-9}  }= {2.5\times 10^{-6}\over  10^{-7}  }= 2.5\times 10= 25，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：

由上圖可知，故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

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解： $$f(0)=1=a+b+c+d，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：

$$正六邊形每個內角為{(6-2)\times 180 \over 6} =120^\circ \Rightarrow \angle PRQ=120^\circ\\ 令\overline{RS} \bot \overline{PQ} (見上圖)\Rightarrow \triangle RSQ三內角為60^\circ-90^\circ-30^\circ \Rightarrow \overline{SQ} ={\sqrt 3 \over 2} \times \overline{RQ} ={\sqrt 3 \over 2}\\ \Rightarrow \overline{PQ} =2\overline{SQ} =\sqrt 3，故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

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解： $$71.28 = 22\times H^2 \Rightarrow H=\sqrt{71.28 \over 22} = \sqrt{81 \over 25} ={9\over 5}=1.8公尺=180公分，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：

$$200(1+x\%)^4 = 800 \Rightarrow (1+x\%)^4=4 \Rightarrow (1+x\%)^2=2 \Rightarrow 1+x\%=\sqrt 2=1.414 \Rightarrow x=41.4\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$此題相當於問1-2020有幾個完全平方數，即1^2,2^2,\dots, 44^2=1936，共有44個，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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11. 有 10 個人排隊依序抽獎，每人抽出一支籤且不放回。 已知 10 支籤裡有 3 支中獎籤，每支籤被抽中的機會均等，那麼排序在第 9 位的人，其抽中獎的機率等於多少？

(A) 0 (B) 10% (C) 20% (D) 30% (E) 40%

解： $$7個0及3個1的排列數為{10! \over 7!3!}，其中第九個位置是1的排列數為{9! \over 7!2!}\\，因此機率為{{9! \over 7!2!} \over {10! \over 7!3!}} = {9!3! \over 10!2!} ={3\over 10} = 30\%，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$P(x,-\sqrt 2) \Rightarrow \cases{r\cos \theta=x\\ r\sin \theta =-\sqrt 2},又\tan \theta =\sqrt 2 \Rightarrow \cases{\sin \theta =-\sqrt 2/\sqrt 3 \\ \cos\theta =-1/\sqrt 3}；\\因此 r\times (-{\sqrt 2\over \sqrt 3}) =-\sqrt 2 \Rightarrow r=\sqrt 3 \Rightarrow x=\sqrt 3\times (-{1\over \sqrt 3}) =-1，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$圓:x^2+y^2-4x-6y+12=0 \Rightarrow (x-2)^2+(y-3)^2 = 5^2 \Rightarrow \cases{圓心O(2,3) \\ 半徑r=5};\\直線將此圓切半代表該直線通過圓心O(2,3) \Rightarrow 3-k=2(2-2) \Rightarrow k=3，故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

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解： $$f(x)=-2x^2+12x-15 = -2(x^2-6x+9)-15+18 = -2(x-3)^2+3 \Rightarrow \cases{h=3\\ k=3}\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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15. 數學老師計算學期成績的公式如下：六次小考成績中取較高的四次之平均值占 40％，兩次期中考與期末考各占 20％。已知小林六次小考成績分別為 70、 87、 65、 90、 72、 83，兩次期中考成績為 59、 81，而學期數學成績為 75。求小林期末考數學成績為多少？

(A) 69 (B) 70 (C) 71 (D) 72 (E) 73。

解： $$\cases{平時成績40\%:{87+90+72+83\over 4} \times 40\%= 33.2 \\ 第1次期中考20\%:59\times 20\%=11.8 \\ 第2次期中考20\%:81\times 20\%=16.2 \\ 期末考20\%: x\times 20\%=0.2x} \\ 學期成績=33.2+11.8+16.2+0.2x =75 \Rightarrow 0.2x=13.8 \Rightarrow x=69，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$X^2=I \Rightarrow \left[ \matrix{2& m\\ 3& n}\right]\left[ \matrix{2& m\\ 3& n}\right] =\left[ \matrix{4+3m& 2m+mn\\ 6+3n& 3m+n^2}\right] =\left[ \matrix{1& 0\\ 0& 1}\right] \\ \Rightarrow \cases{4+3m=1 \\ 6+3n=0} \Rightarrow \cases{m=-1 \\ n=-2} \Rightarrow m+n=-1-2=-3，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\cases{P(4,4) = P[4\sqrt 2,45^\circ]\\Q[2,105^\circ]} \Rightarrow \cases{\overline{OP}= 4\sqrt 2\\ \overline{OQ}= 2 \\\angle QOP=105^\circ-45^\circ = 60^\circ } \\\Rightarrow \triangle OPQ面積= {1\over 2} \times \overline{OP}\times \overline{OQ} \times \sin \angle QOP ={1\over 2}\times 4\sqrt 2\times 2\times {\sqrt 3\over 2} =2\sqrt 6，故選\bbox[red,2pt]{(無解)}$$

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解：

$$D為\overline{BC}的中點 \Rightarrow \overline{AD}\bot \overline{BC} \Rightarrow \overline{CD}=\overline{AC}\sin \angle CAD = 10\sin 20^\circ \Rightarrow \overline{BC} =2\overline{CD}\\= 20\sin 20^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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19. 設臺灣高中乒乓球隊有 6 位選手：甲和乙為右手持拍；丙和丁為左手持拍；戊和己為左右手皆可持拍。若要派出兩名選手參加雙打，教練規劃由一名可以右手持拍的選手與一名可以左手持拍的選手作搭配。請問共有多少種可能的搭配方式？

(A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 (E) 14。

解： $$甲乙取一人與丙丁取一人搭配，共有2\times 2=4種組合；\\戊己取一人與其他四人取一人搭配，共有2\times 4=8種組；\\另外戊己兩也可搭配為一組，因此共有4+8+1=13種搭配方式，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$100^x\times 10^y=1000 \Rightarrow 10^{2x}\times 10^y=20^2 \Rightarrow 10^{2x+y} =10^2 \Rightarrow 2x+y=2 \Rightarrow 斜率為-2)\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$f(x)=a\log x+b \Rightarrow \cases{f(1)=5 \\f(100)=11} \Rightarrow \cases{a\log 1+b=5 \\ a\log 100+b=11 } \Rightarrow \cases{b=5\\ 2a+b=11} \Rightarrow \cases{a=3\\b=5} \\ \Rightarrow f(0.01)=a\log 0.01+b = 3\times (-2)+5=-1，故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

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解： $$顯然是(D)，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\left|{-3-2\over \sqrt{1^2+2^2}} \right| ={5\over \sqrt 5} =\sqrt 5，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$(A)\times: (-2,0)顯然不在區域內\\(B) \times: (3,0)在區域內，但3 \not \le 0 \\(D) \times: \cases{\alpha=0\\\beta=0} \Rightarrow 3\alpha+2\beta -12=-12 \not \ge 0 \\(E)\times:\cases{\alpha=2\\\beta=3} \Rightarrow \alpha+\beta -4=1 \not \le 0，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $${2x+3y\over 2} \ge \sqrt{2x\cdot 3y} \Rightarrow 2x=3y時，{2x+3y\over 2} =\sqrt{2x\cdot 3y}\\ 將x=3y/2代入x+y=10 \Rightarrow \cases{x=6\\ y=4} \Rightarrow x-y=6-4=2，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$6,6r,6r^2為等比數列，11,6r+1,3r^2為等差數列 \Rightarrow 6r+1= {11+3r^2 \over 2} \Rightarrow r^2-4r+3=0\\ \Rightarrow (r-3)(r-1)=0 \Rightarrow r=3(r=1不合，違反相異正數)，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$S(n)=n^2+1 \Rightarrow \cases{a_1=S(1)=1+1=2 \\ a_{2020}=S(2020)-S(2019)= (2020^2+1)-(2019^2+1)= 4039} \\ \Rightarrow a_1+a_{2020}=2+4039 =4041，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：選擇數字變化較小者，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$\cases{\left[ \matrix{1 & 2& \alpha \\ 3& -4 & \beta}\right] \Rightarrow \cases{x+2y =\alpha \\ 3x-4y=\beta}\cdots(1) \\ \left[ \matrix{1 & 0& 2 \\ 0& 1 & -1}\right] \Rightarrow \cases{x=2 \\ y=-1}}，將\cases{x=2 \\ y=-1}代入(1) \Rightarrow \cases{\alpha=2-2=0 \\ \beta=6+4=10} \\\Rightarrow \alpha+\beta=10，故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

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解： $$\cases{P(0,1,2+\sqrt 3)\\ O(0,0,0) \\ R(0,-2-\sqrt 3,-1)} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{OP}= (0,1,2+\sqrt 3) \\ \overrightarrow{OR}= (0,-2-\sqrt 3,-1)} \\\Rightarrow \cos \angle POR = {\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OR} \over |\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OR}|} ={-4-2\sqrt 3 \over 8+4\sqrt 3} =-{1\over 2} \Rightarrow \angle POR=120^\circ，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

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31. 高三體育班共有 15 位男生、 10 位女生，現在需安排 2 位同學參加全校運動會活動。全班決定安排的 2 位同學中至少有 1 位男生，那麼安排人選共有多少種？

(A) 254 (B) 255 (C) 256 (D) 257 (E) 258。

解： $$25位同學取2位，有C^{25}_2種取法；25位取2位都是女生，有C^{10}_2種取法；\\因此至少有一位男生的取法有C^{25}_2-C^{10}_2 = 300-45 = 255，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\cases{A(0,0,0)\\ B(2,0,0) \\C(2,2,0) \\ D(0,2,0)\\ O(1,1,h)} \Rightarrow \overline{OA}=\sqrt 3 \Rightarrow h^2+2=3 \Rightarrow h=\pm 1 \Rightarrow 高=|h|=1，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $${x^2\over 25} +{y^2\over 36}=1 \Rightarrow \cases{a=6\\ b=5} \Rightarrow \overline{PF_1}+\overline{PF_2} =2a \Rightarrow 7 + \overline{PF_2}=12 \Rightarrow \overline{PF_2}=5，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\cases{x=2+5t \\y=1-2t} \Rightarrow {x-2\over 5} = {y-1\over -2}=t \Rightarrow -2x+4=5y-5 \Rightarrow 2x+5y=9\Rightarrow a=2\\，故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

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解： $$\tan \theta = \tan({\theta \over 2}+{\theta \over 2}) = {2\tan{\theta \over 2} \over 1-\tan^2{\theta \over 2}} ={3\over 4} \Rightarrow 3\tan^2{\theta \over 2}+8\tan {\theta \over 2}-3=0 \\\Rightarrow (3\tan {\theta \over 2}-1)(\tan {\theta \over 2}+3)=0 \Rightarrow \tan{\theta \over 2}={1\over 3}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

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36. 箱子裡有 3 顆白球、 2 顆黑球、 1 顆紅球，一抽獎遊戲是從箱中隨機同時取出兩顆球，若兩球同色可得獎金 150 元；若兩球不同色就沒有獎金。求此遊戲獎金的期望值為多少元？

(A) 25 (B) 30 (C) 35 (D) 40 (E) 45。

解： $$\cases{6球取2球有C^6_2=15種取法\\ 取出2白球的次數:C^3_2=3\\ 取出2黑球的次數:C^2_2=1} \Rightarrow 取出二球同色的機率為{3+1\over 15} = {4\over 15} \\\Rightarrow 期望值=150\times {4\over 15} =40，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

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解： $$\cases{L:{x+4\over -1}={y+9\over 3} ={z\over 2} \\E: ax+y-z+13=0} \Rightarrow (-4,-9,0)在L上，也在E上，\\將(-4,-9,0)代入E \Rightarrow -4a-9+13=0 \Rightarrow a=1，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

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解： $$y^2=8x \Rightarrow 焦點F(2,0)；P(x,4)在拋物線上\Rightarrow 16=8x \Rightarrow x=2 \Rightarrow P(2,4) \Rightarrow \overline{PF}=4\\，故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

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解： $$\left|\matrix{3\times 2019 -2\times 2020 & 2020 \\ 3\times 2021-2\times 2022 & 2022} \right| \\=3\times 2019\times 2022 -2\times 2020\times 2022 -3\times 2020\times 2021+2\times 2020\times 2022 \\ =3\times 2019\times 2022 -3\times 2020\times 2021 =3(a-1)(a+2)-3a(a+1) \\=3(a^2+a-2-a^2-a) =3\times (-2)=-6,其中a=2020，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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40. 醫療主管機關針對新冠肺炎研發出一種快速篩檢試劑，發現如果對新冠肺炎確診者快篩，有 99%的機率可以檢測出來。但是卻有 1%的機率，會將一不患新冠肺炎的受檢者誤檢為患有該傳染病。假設某城市人口中有 1%的機率患有新冠肺炎，現進行大規模快篩檢測，若小明被快篩檢測告知患有新冠肺炎，那麼小明確實染病的機率約為多少？

(A) 50% (B) 60% (C) 70% (D) 80% (E) 90%。

解： $$假設城市有a人，則{ 染病且被驗出\over 被驗出染病} = {a\times 1\% \times 99\%\over a\times 1\% \times 99\%+a\times 99\%\times 1\%} =50\%，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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-- END --