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2020年6月6日 星期六

100年 警專30期乙組數學科詳解


臺灣警察專科學校專科警員班三十期(正期學生組)
新生入學考試乙組數學科試題
壹、單選題


{a=mkb=nk,kmn{mnk=330(m+n)k=176(A)×:k=11{mn=30m+n=16(m,n)(B):k=22{mn=15m+n=8(m,n)=(7,8),(8,7)(C)×:k=33m+n=176/33(D)×:k=66m+n=176/66(B)


13+43=13+212=(1+12)2=1+12=1+23=1+2(1.732),4(D)


nk=11k(k+1)=nk=1(1k1k+1)=11n+1=nn+1=2021n=20(B)



n=1(2x1+x)n|2x1+x|<1{2x1+x<1x>0x<12x1+x<11<x<0{(x+1)(x1)<0x>0x<1(x+1)(3x+1)>01<x<0{0<x<113<x<013<x<1(D)



f(x)=(3x211x+9)(x1)+6=((3x8)(x1)+1)(x1)+6=((3(x1)5)(x1)+1)(x1)+6=3(x1)35(x1)2+(x1)+6c=1(A)


y=logxlog(2x)log(3x)=(log2+logx)(log3+logx)=(y+log2)(y+log3)=1y2+(log6)y+log2log31=0logα+logβ=log6logαβ=log16αβ=16(A)



log2530=log560=60log5=60(1log2)=60(10.301)=41.943×0.301=0.903=log23<0.94<log32=2×0.4771=0.9542{m=41+1=42n=8(C)



cos(90θ)cot(180+θ)sin(270θ)+tan(180+θ)tan(360θ)=sinθcotθcosθ+tanθtanθ=cosθcosθ1=11=2(A)



s=(7+3+5)÷2=15/2ABC=s(s7)(s3)(s5)=152129252=1534(D)





A¯BCD¯DE¯AB¯DF¯AC¯AD=a¯DE=¯DF=32aABC={12¯ABׯACsinA12(¯ABׯDE+¯ACׯDF)={3sin120=33234(2a+3a)=543a332=543aa=65(B)



{a=sin1=sin180π(1)>0b=cos2=cos360π(2)<0c=tan3=tan540π(2)<0d=sec4=sec720π(3)<0(A)



{sinα=22cosβ=35{cosα=22sinβ=45cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ=22×3522×45=7210(D)




(a+b)(a+b)=|a+b|2=|a|2+2ab+|b|2(61)2=42+2ab+52ab=10cosθ=ab|a||b|=104×5=12θ=60(B)





AP=xAB+yAC={xAB+y43AEx32AD+yAC{x+43y=132x+y=1{x=1/3y=1/2(C)

15. 若一個正四體相鄰兩面的夾角為θ,則sinθ之值為何?
(A)13  (B)23  (C)223  (D)33




{OD=(1,0,1)OC=(1,1,0)DE=(1,1,0)DC=(0,1,1){u=OD×OC=(1,1,1)v=DE×DC=(1,1,1)cosθ=uv|u||v|=13sinθ=223(C)


{A(1,1,1)B(2,3,3)C(3,2,3){u=AB=(1,2,2)v=AC=(2,1,2)ABC=12|u|2|v|2(uv)2=129×9(2+2+4)2=172(B)




x2+y22x4y4=0(x1)2+(y2)2=32{O(2,3)r=3¯OP=42+42=42¯AP=¯OP2r2=329=23(C)





{(x1)2+(y2)2=52{O(2,3)r=5L:3x+4y+9=0dist(O,L)=¯OC=|3+8+932+42|=205=4¯AC=r2¯OC2=5242=3¯AB=2¯OA=6(D)


x22x+4y+9=0(x1)2+4(y+2)=0(x1)2=4(y+2)=|4|=4(B)



x2+4y2+2x+8y+1=0(x+1)2+4(y+1)2=4(x+1)222+(y+1)212=1a=2¯PF1+¯PF2=2a=4(B)



f(x)=(1+x)3+(1+x)4++(1+x)10f(x)x3f(x)=(1+x)3(1+x)111(1+x)=g(x)xg(x)x4C114f(x)x3=C1141=C114(D)



g(x)=10k=1(1x)k=(1x)(1(1x)10)1(1x)=(1x)(1x)11x=f(x)xf(x)x3C113=g(x)x2(C)

23. 某次考試全班數學成績不佳,總平均 55 分,標準差12分。老師決定全班每人數學加15 分,則全班加分後的標準差為多少分?
(A) 6 (B)12 (C)15 (D) 24 。

σ(X)=12σ(X+15)=12(B)

24. 若某校1000位學生的數學段考成績呈現常態分配,其中平均分數是 70 分,標準差是5分,則全校約有多少人數學成績低於 60 分?(設已知常態分配的資料約有 95% 的觀測值,落在距平均數左右各兩個標準差的範圍內)
(A) 25 (B)50 (C)100 (D) 200 。

P(X<60)=P(X<μ2σ)=P(X<μ)12P(2σ<x<2σ)=50%12×95%=2.5%1000×P(X<60)=1000×0.025=25(A)

25. 根據過去紀錄可知,某燈泡工廠檢驗其產品的過程中,將良品檢驗為不良品的機率為 0.1,將不良品檢驗為良品的機率為 0.2 。又知該產品中,良品占 90% ,不良品占10% 。若已知一件產品被檢驗為良品,則該產品實際上為不良品之機率為何?
(A)283   (B)8183   (C)817   (D)917

=10%×0.290%×0.9+10%×0.2=0.020.81+0.02=0.020.83=283(A)


=r×SYSX=0.88×105=1.76(A)



A=[1111]A2=[1111][1111]=[0220]A4=[0220][0220]=[4004]A8=[4004][4004]=[160016](A)



|a1b1c1a2b2c2a3b3c3|=5|3a1b1c13a2b2c23a3b3c3|=5×3=15|3a1+2b1b1c13a2+2b2b2c23a3+2b3b3c3|=15|3a1+2b13b1c13a2+2b23b2c23a3+2b33b3c3|=15×3=45|3a1+2b13b15c1c13a2+2b23b25c2c23a3+2b33b35c3c3|=45(D)



x2+y2+z24x2y2z3=0(x2)2+(y1)2+(z1)2=9((x2)2+(y1)2+(z1)2)(12+(2)2+(2)2)((x2)2(y1)2(z1))29×9(x2y2z+2)29x2y2z+297x2y2z117(C)



f(x)=x2+4x5g(x)=f(f(x))=(x2+4x5)2+4(x2+4x5)5g(x)=2(x2+4x5)(2x+4)+4(2x+4)g(x)=02(2x+4)((x2+4x5)+4)=04(x+2)(x2+4x1)=0x=2,2±5(2±5[3,3])g(x)=4(x2+4x1)+4(x+1)(2x+4)g(2)=4(481)<0g(2)g(x){g(0)=(5)2+4×(5)5=0g(3)=(8)2+4×(8)5=270(C)

貳、多重選擇題


(A):{a5=4a7=1{a1+4d=4a1+6d=1{a1=10d=3/2(B):(A),d=3/2(C):{a7=a1+6d=106×32=1>0a8=a1+7d=107×32=12<0(D)×:a8S7S8(E):S21=21(a1+a21)2=21(2a1+20d)2=21(a1+10d)=21(1015)=105(ABCE)



(A):f(x)=(2x1)Q(x)+r=2(x12)Q(x)+r2Q(x),r(B)×:f(a)f(b)=0f(a)f(b)<0(C):X(D)×:f(x)(E):f(x)1±3(ACE)


(A)×:log1/412=121(E)×:logb>0b>100=1b<1(BCD)



1603{tan(160)=k>0sin(160)<0cos(160)<0(A)×:sin20>0k1+k2<0(E)×:csc20>0k2+1k<0(BCD)





f(x)=2sin(x+π6)2cosx=2(sinxcosπ6+sinπ6cosx)2cosx=2(32sinx+12cosx)2cosx=3sinxcosx=2))(32sinx12cosx)=2(cosπ6sinxsinπ6cosx)=2sin(xπ6)f(x)={M=2sin(π2π6)=2sinπ3=3x=π/2=αm=2sin(0π6)=1x=0=β{M=3m=1α=π/2β=0Mm=3+1(AD)


(A):ω=cos2π3+isin2π3ω3=cos2π+isin2π=1ω30=1(B):x31=0(x1)(x2+x+1)=0{x=1ω2+ω+1=0(C):(1ω)(1ω2)=1(ω+ω2)+ω3=1(1)+1=3(D)×:(1+ω)(1+ω2)=1+ω+ω2+ω3=1+(1)+1=13(E):11ω+11ω2=2+ω1ω2=2+ω1(ω1)=2+ω2+ω=1(ABCE)



(A)×:...(E)×:(BCD)


(C)×:(ABDE)


(C)×:C95C63C332!(D)×:C95C43C11×3!(ABE)


(A)×:{A=[0101]B=[1100]{AB=[0000]BA=[0200]ABBA(B)×:AB=BA(A+B)(AB)A2B2(C)×:(A):A0B0AB=0(D)×:A=[1001]A2=[1001]=I,AI,AI(E)×:{A=[0101]B=[1100]C=[0000]{AB=[0000]AC=[0000]AB=AC,BC(ABCDE)


-- END --

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