110年國中教育會考(補考)-數學詳解

110年國中教育會考(補考)數學科

第一部分：選擇題 (1 ~ 26 題)

解答：$$(1,2)在(3,3)的左下方，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：$$2021\div {8\over 5}+2021\times {8\over 5} =2021\times {5\over 8}+2021\times {8\over 5} = 2021({5\over 8}+ {8\over 5})，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答：$$(3x-2)(x+1)= 3x^2+3x-2x-2 =3x^2+x-2，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：$$判別式=0代表有重根\\(A)判別式=4^2-4 =12\gt 0 \\(B)判別式=4^2-4\times 2 =8\gt 0 \\(C)判別式=4^2-4\cdot 3=4 \gt 0 \\(D)判別式=4^2-4 \times 4=0 \\，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：

$$b、d互為相反數，原點O位於B、D的中心，見上圖\\(A)\times: \overline{AO} \gt \overline{OC} \Rightarrow |a| \gt |c|\\(B)\times:\overline{AO} \gt \overline{OD} \Rightarrow |a| \gt |d|\\(C) \bigcirc: \overline{AO} \gt \overline{OC} \Rightarrow -a \gt c \Rightarrow a+c\lt 0\\ (D)\times:\times: \overline{AO} \gt \overline{OD} \Rightarrow -a \gt d \Rightarrow a+d\lt 0\\，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答：$$\sqrt 5+\sqrt{25} +\sqrt{45} = \sqrt 5+\sqrt{5^2} +\sqrt{3^2\times 5} = \sqrt 5+5+3\sqrt 5=5+4\sqrt 5，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答：$$(A)公差=1\\(B)公差=1{1\over 7}\\(C) 2{4\over 7}-1{3\over 7}=1{1\over 7}，但4{5\over 7}-2{4\over 7}=2{1\over 7} \ne 1{1\over 7}\\(D)公差=1{2\over 7}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答：$$\cases{\overline{O_1A}=7 \lt 8 \Rightarrow A在圓O_1內\\ \overline{O_2A}=6 \gt 5 \Rightarrow A在圓O_2外} \quad\Rightarrow A在甲區域，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答：$$令\cases{甲袋抽出的數字為A\\ 乙袋抽出的數字為B}，則A\gt B才能符合要求；\\也就是(A,B)= (4,1-3),(3,1-2),(2,1)，共有 3+2+1=6種情形；\\ 而全部有4\times 4=16種情形，因此符合要求的機率為{6\over 16}={3\over 8}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答：$$A=(3x^2+10x-8)(3x^2+4x-4) = ((3x-2)(x+4))((3x-2)(x+2)) \\ =(3x-2)^2(x+2)(x+4) \Rightarrow (3x-2)^2為A的因式，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答：$$509\times 20000=10180000 \approx 10^7，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：$$假設一粒粽子a元，一串粽子有7粒，則\cases{兩串粽子折扣前價格為14a元\\三串粽子折扣前價格為21a元}；\\三串粽子折扣後價格為21(a-1)元，相當於二串粽子再加224元，即21(a-1)=14a+224 \\ \Rightarrow 21a-21=14a+224 \Rightarrow 7a=245 \Rightarrow a=35，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：$$\cases{ABCDEFGH為正八邊形\Rightarrow \overline{AH}\parallel \overline{DE} \\EPQRST為正六邊形\Rightarrow \overline{QR}\parallel \overline{ET} }\quad，又D、E、T在一直線上，所以\overline{AH}\parallel \overline{QR}；\\因此直線AH與直線QR不相交，也就是甲的看法錯誤；\\又\cases{ABCDEFGH為正八邊形\Rightarrow \angle CDE = (8-2)\times 180^\circ\div 8=135^\circ \\EPQRST為正六邊形\Rightarrow \angle ETS=(6-2)\times 180^\circ\div 6=120^\circ} \\ \Rightarrow \angle CDE \ne \angle ETS \Rightarrow \overline{CD} \not \parallel \overline{ST} \Rightarrow \overline{HG} \not \parallel \overline{PQ} \Rightarrow 直線HG與直線PQ會相交於一點\Rightarrow 乙正確\\因此兩人看法中，甲錯誤、乙正確，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：$$\cases{\overline{AD}=\overline{BC}\\ \angle EBC=\angle EAD=50^\circ\\ \angle ECB=\angle EDA= 30^\circ } \Rightarrow \triangle AED \cong \triangle BEC \Rightarrow \cases{\overline{EA}= \overline{EB} \\\overline{EC} =\overline{ED}} \Rightarrow \cases{\angle EAB=\angle 1\\ \angle EDC=\angle 2} \\\Rightarrow 四邊形ABCD內角和=360^\circ =2(30^\circ +50^\circ +\angle 1+ \angle 2) \Rightarrow \angle 1+\angle 2=100^\circ，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答：$$(A)中間百分之五十的資料介於10與30之間(差距20)\\(B)中間百分之五十的資料介於10與25之間(差距15) \\(C)中間百分之五十的資料介於10與15之間(差距5) \\(D)中間百分之五十的資料介於25與35之間(差距10) \\ 因此(A)圖中的百分之五十資料最分散，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答：$$假設杯子的容量為a，由於一杯鮮奶茶的茶:奶=3:1，因此一杯鮮奶茶有{3\over 4}a是紅茶 及{1\over 4}a是鮮奶；\\因此6杯奶茶及4杯鮮奶有\left(6\times {1\over 4}a+4a\right)={22\over 4}a的鮮奶及6\times {3\over 4}a={18\over 4}a的紅茶 \\ \Rightarrow 紅茶:鮮奶= {18\over 4}a:{22\over 4}a =18:22=9:11，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：$$拋物線為左右對稱，因此頂點坐標的x坐標為(4+12)\div 2=8\\(A)y=x^2-16x+40 =(x-8)^2-24\Rightarrow 頂點坐標的x坐標為8 \\(B)y=x^2+ 16x+40 =(x+8)^2-24\Rightarrow 頂點坐標的x坐標為-8 \\(C)y=2x^2-16x+40 =2(x-4)^2+8 \Rightarrow 頂點坐標的x坐標為4 \\(D)y=2x^2+ 16x+40 =2(x+4)^2+8 \Rightarrow 頂點坐標的x坐標為-4\\，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答：

$$\overline{BC} =\overline{BE} +\overline{EC}=5+3=8，又D為\overline{BC}中點，因此\overline{BD}=\overline{DC}=8\div 2=4\\ \Rightarrow \overline{DE}=\overline{DC}-\overline{EC}=4-3=1;\\在直角\triangle GED中，\overline{GD}^2 =\overline{GE}^2+\overline{DE}^2 = 2^2+1^2=5 \Rightarrow \overline{GD}=\sqrt 5;\\又G為重心，因此\overline{AG}= 2\overline{GD} =2\sqrt 5，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：$$9:00至11:00，車子行駛時間為2小時，時速為92-98，因此這兩小時車子走了184\text{~}196公里；\\在9:00時遇見30公里的告示牌，在11:00時，告示牌應為(184+30)\text{~}(196+30)，即214\text{~}226\\，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：

$$\cases{\angle A=180^\circ-2\angle 1\\ \angle C=180^\circ-2\angle 2} \Rightarrow \angle A+\angle C=360^\circ-2(\angle 1+\angle 2) =360^\circ -2(180^\circ-\angle 3) =2\angle 3\\ \Rightarrow 180^\circ-(\angle A+\angle C)=180^\circ-2\angle 3 \Rightarrow \angle B=180^\circ- 2\angle 3\Rightarrow 2\angle 3是\angle B的外角\\ \angle 1 \gt \angle 2 \gt \angle 3 \Rightarrow 2\angle 1 \gt 2\angle 2 \gt 2\angle 3 \Rightarrow (180^\circ-2\angle 1) \lt (180^\circ-2\angle 2) \lt (180^\circ-2\angle 3) \\ \Rightarrow \angle A \lt \angle C\lt \angle B \Rightarrow \overline{AC} \gt \overline{AB} \gt \overline{BC}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：$$\cases{籃球組人數={3\over 2}甲+2\\ 排球組人數={1\over 4}乙+3} \Rightarrow ({3\over 2}甲+2)+({1\over 4}乙+3) =甲+乙 \Rightarrow 甲={3\over 2}乙-10，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：

$$令\overline{DE} =\overline{EF}=a，則\cases{\angle DEB= 180^\circ -\angle BDE-\angle B=180^\circ-90^\circ-45^\circ= 45^\circ\\ \angle EFC=180^\circ-\angle C-\angle FEC=180^\circ-45^\circ-90^\circ=45^\circ } \\ \Rightarrow \cases{\angle B=\angle DEB=45^\circ\\ \angle C=\angle EFC=45^\circ} \Rightarrow \cases{\overline{BD}=\overline{DE}=a  \Rightarrow \overline{BE}=\sqrt 2a\\\overline{EC} =\overline{EF}=a}\\因此\overline{BC}=2\sqrt 2=\overline{BE}+\overline{BC}=\sqrt 2a+a \Rightarrow a={2\sqrt 2\over \sqrt 2+1} =2\sqrt 2(\sqrt 2-1)=4-2\sqrt 2\\，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：

$$作\cases{\overline{EP}\bot \overline{AB}\\ \overline{EQ}\bot \overline{BC} \\ \overline{DR}\bot \overline{PE}}，見上圖；直角\triangle BEC中，\cases{\overline{BC}=10\\ \overline{BE}=8} \Rightarrow \overline{EC}=6；\\又\triangle BCE面積={1\over 2}\overline{BE}\times \overline{EC} ={1\over 2}\overline{BC}\times \overline{EQ} \Rightarrow    \overline{EQ}={8\times 6\over 10}= {24\over 5};\\直角\triangle EQC中，\cases{\overline{EC}=6 \\ \overline{EQ}=24/5} \Rightarrow \overline{QC}={18\over 5}\\ 直角\triangle BPE中，\cases{\overline{BP}= \overline{EQ}=24/5\\ \overline{BE}=8} \Rightarrow \overline{PE}= \sqrt{64-(24/5)^2} ={32\over 5} \\ \Rightarrow \overline{ER}=\overline{PE}-\overline{AD}={32\over 5}-6={2\over 5}\\ 由於\triangle DRE \sim \triangle EQC (AAA) \Rightarrow {\overline{ER}\over \overline{QC}} ={\overline{DE}\over \overline{EC}} \Rightarrow {2/5\over  18/5} ={\overline{DE}\over 6} \Rightarrow \overline{DE}={6\over 9}={2\over 3}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答：$$ \cases{(A) 12=2^2\times 3\\ (B)18=2\times 3^2\\ (C)33=3\times 11\\ (D)44=2^2\times 11} \Rightarrow 3^2是18的因數，但不是其他三個數的因數，\\因此a=2^2\times 3\times 11，則a是12,33,44的公倍數，但不是18的倍數，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：

$$\overline{AB}=\overline{AC} \lt \overline{BC} \Rightarrow \beta=\angle B=\angle C \lt \angle A=\alpha，且\alpha=180^\circ-2\beta；\\由於\cases{D為\overline{BC}中點\\ \angle B=\angle C} \Rightarrow \overline{AD}為\overline{BC}的中垂線，即\angle ADB=90^\circ \Rightarrow \overline{AB}為圓直徑\\ 令\overline{AB}中點O，即為圓心 \Rightarrow \overline{OB}=\overline{OD}=r(圓半徑) \Rightarrow \angle ODB=\angle B= \beta \\\Rightarrow \angle BOD=180^\circ-2\beta=\alpha =\angle A\\ \angle AOE =180^\circ-2\alpha \Rightarrow \angle DOE=180^\circ-\alpha-(180^\circ-2\alpha)=\alpha\\因此\angle BOD=\angle DOE=\alpha \Rightarrow \stackrel{\large{\frown}}{BD} =\stackrel{\large{\frown}}{DE}\\ 又 \angle AOD+\alpha=180^\circ = \alpha +2\beta \Rightarrow \angle AOD=2\beta \Rightarrow \angle AOE +\alpha = \beta+\beta \\ \Rightarrow \beta \gt \angle AOE (\because \alpha \gt \beta) \Rightarrow \alpha \gt \angle AOE \Rightarrow \stackrel{\large{\frown}}{BD} \gt \stackrel{\large{\frown}}{AE}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答：

$$\angle EAB =180^\circ-\angle AEB-\angle EBA=180^\circ-130^\circ-30^\circ =20^\circ \\Q為\overline{AE}中點，並令\cases{\angle APQ=\alpha\\ \angle APD=\beta } \Rightarrow \cases{\angle QAP=90^\circ-\alpha\\ \angle PAD= (180^\circ-\beta)\div 2} \Rightarrow \cases{\angle BAP=70^\circ-\alpha \\ \angle PAD=90-\beta/2} \\ \Rightarrow \angle BAD=90^\circ =\angle BAP+\angle PAD = 70-\alpha+90-\beta/2 \Rightarrow \alpha+\beta/2=70^\circ   \\ \Rightarrow \angle EPD= 2\alpha+\beta=140^\circ，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答：

(1)$$\cases{16的檢核碼:1\times 2+6\times 3=20，再取個位數=0\\ 94的檢核碼:9\times 2+4\times 3=30，再取個位數=0} \qquad\qquad \Rightarrow 兩者\bbox[red,2pt]{相同}$$(2)$$\cases{ab的檢核碼=2a+3b\\ ba的檢核碼=2b+3a}\quad \Rightarrow (2a+3b)的個位數=(2b+3a)的個位數 \\\Rightarrow |(2a+3b)-(2b+3a)|= |b-a|=0 \Rightarrow b-a=10k,k是整數\\ 由於a,b皆為介於0-9的整數，兩者差值的絕對值不超過9，因此k=0，即a=b；\\\Rightarrow 也因此所有可能編碼只能有以下情形:\bbox[red,2pt]{00,11,22,33,44,55,66,77,88,99}$$

解答：

(1)$$分針60分鐘剛好繞一圈360^\circ，因此每分鐘繞360^\circ \div 60=6^\circ；\\假設刻度12代表0度，順時針方向45^\circ、135^\circ、225^\circ、315^\circ指向正方形的四個頂點，\\但45,135,225,315皆不是6的倍數，因此刻度\bbox[red,2pt]{不會}標示在頂點上$$(2)

$$11點與12點夾角為6^\circ\times 5=30^\circ，即\angle BOC=30^\circ；\\同理，12點與1點夾角也是 30^\circ，即\angle COD=30^\circ；\\ 若\overline{AB} =\overline{BC} =\overline{CD} =\overline{DE} =a，則\overline{OC}= \overline{AE}\div 2=2a\\ 因此\overline{OC}為\overline{BD}的中垂線 \Rightarrow \cases{\overline{OB}=\overline{OD}\\ \angle BOD=60^\circ} \Rightarrow \triangle OBD為正\triangle \Rightarrow \overline{OD}=\overline{BD}=2a\\ 在直角\triangle OCD中，斜邊\overline{OD} =2a=\overline{OC}，違反斜邊最長的原則，因此邊長不會被四等分。$$

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