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2022年6月10日 星期五

111年彰化女中教甄-數學詳解

國立彰化女子高級中學111 學年度第二次教師甄選

一、填充題 (每題5 分,共計75 分)

1.某冰淇淋店最少需準備n 桶不同口味的冰淇淋,才能滿足廣告所稱「任選兩球不同口味冰淇淋的組合數超過500 種」。試問來店顧客從n 桶中任選兩球(可為同一口味)共有___________種方法。
解答Cn2>500n(n1)2>500n2n1000>0n>1+4001232.1n=33n=33C331+C332=33+33×322=561
2.彰化女中籃球校隊想招收隊員,某參加甄選的學生聲稱自身的投籃命中率p0.4,校方想透過檢定的方式來決定她的聲稱是否採信。假設「此學生的投籃命中率p0.4」且「投籃直到第一次進球共需X 次」,在顯著水準為0.05的條件之下,求隨機變數X 的拒絕域為__________。( log20.3010log30.4771

解答P(X=k)=(1p)k1pXP(Xk)=1(1p)k0.9510.6k0.950.6k0.05k(log6log10)log5log100k(0.2219)1.301k5.863k6k7
解答x+2022=xy+2022(x+2022)2=(xy+2022)2x+2022+22022x=xy+202222022x=x(y1)2022x=y12>0y122022xx=2022202222(x,y)=(2022,3)(8088,2)
解答n+4n2+7=n+4(n216)+23=n+4(n+4)(n4)+23n+423n+4n2+711000100023=4323n100043=957
解答an=n{a0=1:a1=2:12an=an1+an2a2=3a3=5a4=8a5=13a6=21a7=34a8=55a9=89a10=144
解答n+2n!+(n+1)!+(n+2)!=n+2n!(1+(n+1)+(n+2)(n+1))=n+2n!((n+2)+(n+2)(n+1))=n+2n!(n+2)2=1n!(n+2)=n+1n!(n+1)(n+2)=n+1n+2!=(n+2)1n+2!=1(n+1)!1(n+2)!limnnk=1k+2k!+(k+1)!+(k+2)!=limnnk=1(1(k+1)!1(k+2)!)=limn(12!1(n+2)!)=12
解答
¯BP¯ACD{PAD=θ¯PD=aPDA=180ABDA=60DPC=30¯DC=¯DP=acosPDC=cos120=12=a2+a2¯CP22a2¯CP=3a{ADP:asinθ=¯APsin60¯AP=3a2sinθ(1)ABP:¯APsin80=¯BPsin(40θ)¯AP=sin80sin(40θ)¯BP(2)BCP:3asin20=¯BPsin10¯BP=sin10sin203a(3)(3)(2)¯AP=sin80sin(40θ)×sin10sin203a=3a2sinθsinθ=sin202sin10sin80sin(40θ)=sin20cos70cos90sin(40θ)=sin20cos70sin(40θ)=sin20sin20sin(40θ)=sin(40θ)sinθ=sin(40θ)θ=20
解答y=22n+1x232nx+1=(2nx1)(2n+1x1){Pn(1/2n+1,0)Qn(1/2n,0)Rn(0,1)an=PnQnRn=12(12n12n+1)1=12n+2n=1an=n=112n+2=14
解答
解答



()PQPQ(T)TRSRTS=120¯RS(h)¯RScos120=32+52¯RS2235¯RS=72TRS=35sin120=7hh=15143
解答
¯ABAPBAOBABOP=r{¯PB2=¯AB2¯AP2=4r28¯PB=4r28¯OA2+¯OB2=¯AB2¯OA=¯OB=2r:¯OAׯPB=¯OPׯAB+¯PAׯOB2r4r28=6r+4r2r2(4r28)=100r24r28=50¯PB=4r28=52
解答f(11x)+2f(11x)+3f(x)=12x{x=1f(2)+2f(12)+3f(1)=12x=12f(1)+2f(2)+3f(12)=6x=2f(12)+2f(1)+3f(2)=24{f(1)=f(12)=5f(2)=13
解答a>b>0{F1(c,0)F2(c,0)L:x=a{d(F1,L)=a+cd(F2,L)=acd(F1,L)×d(F2,L)=a2c2=b2b>a>0{F1(0,c)F2(0,c)L:x=a{d(F1,L)=ad(F2,L)=ad(F1,L)×d(F2,L)=a2{b2if a>b>0a2if b>a>0
解答{Γ:y=f(x)=x44x3+10L:y=mx+af(x)=mx+ax44x3mx+(10a)=0α,β滿{α+α+β+β=2(α+β)=4α2+4αβ+β2=(α+β)2+2αβ=02αβ(α+β)=mα2β2=10a{α+β=2αβ=2m=8a=6L:y=8x+6
解答6{O(0,0,0)A(a,0,a)B(0,a,a)C(a,a,0)a=32P=12A+13B+16C=(23a,12a,56a);{A(s,0,s)B(0,t,t)C(u,u,0)PABC{s+u=2at+u=3a/2s+t=5a/2,s,t,uR{s=3a/2t=au=a/2{A(3a/2,0,3a/2)B(0,a,a)C(a/2,a/2,0)OABC=16

二、計算證明題:(共計25 分)

解答e^x = 1+ x+ {x^2 \over 2!} +{x^3\over 3!} + \cdots \Rightarrow e^x \gt 1+x \Rightarrow  e^{\pi/e-1} \gt 1+({\pi\over e}-1) \Rightarrow e^{\pi/e-1} \gt {\pi\over e} \\ \Rightarrow e^{\pi/e} \ge \pi  \Rightarrow \bbox[red,2pt]{e^\pi \gt \pi^e,故得證}
解答P_n在單位圓上 \Rightarrow \overline{OP_n}=1, n=1-2022 \Rightarrow a_1+a_2+ \cdots + a_{2022}\ge 1 \cdots(1)\\ 柯西不等式: (a_1^2 +a_2^2 + \cdots +a_{2022}^2)(1^2+1^2 +\cdots +1^2) \ge (a_1+a_2+\cdots +a_{2022})^2 \\ \Rightarrow {1\over 2022} \cdot 2022 \ge (a_1+a_2+\cdots +a_{2022})^2 \Rightarrow a_1+a_2+\cdots +a_{2022}\le 1 \cdots(2) \\ 由(1)及(2)可知 1\le a_1+a_2+\cdots +a_{2022}\le 1,再由夾擠定理可知a_1+a_2+\cdots +a_{2022}= \bbox[red,2pt]{1}
解答


此題相當於求P(2,0)至單位圓上正九邊形各頂點距離的平方和\\,即|2-\omega|^2 +|2-\omega^2|^2 +\cdots +|2-\omega^8|^2 = \sum_{n=1}^8 \overline{A_nP}^2\\ \triangle OA_nP: \cos \angle A_nOP = \cfrac{1^2+2^2 -\overline{A_nP}^2}{2\cdot 2\cdot 1} \Rightarrow \cos (40^\circ \cdot n) = \cfrac{5 -\overline{A_nP}^2}{ 4} \Rightarrow \overline{A_nP}^2=5-4\cos(40^\circ \cdot n)\\ \Rightarrow \sum_{n=1}^8 \overline{A_nP}^2 =\sum_{n=1}^8 (5-4\cos(40^\circ \cdot n))=40-4(\cos 40^\circ+ \cos 80^\circ +\cdots +320^\circ)\\= 40-8( \cos 40^\circ +\cos 80^\circ +\cos 120^\circ +\cos 160^\circ)=40-8(2\cos 60^\circ\cos 20^\circ-{1\over 2}+\cos 160^\circ) \\ =40-8( \cos 20^\circ+\cos 160^\circ+\cos 160^\circ-{1\over 2}) =40-8( 2\cos 90^\circ\cos 20^\circ-{1\over 2} ) \\ =40-8(-{1\over 2} )= \bbox[red,2pt]{44}

====================== END ======================

解題僅供參考,其他教甄歷年試題及詳解

1 則留言:

  1. 第11題可利用角APO=180-角ABO=135° ,帶餘弦即可解出。

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