新竹市108學年度國民中學數校聯合教師甄選
解答:a⋆b=a2+b3+1⇒{2⋆1=22+13+1=63⋆(−2)=32+(−2)3+1=2⇒(2⋆1)⋆(3⋆(−2))=6⋆2=62+23+1=45,故選(D)解答:sin10∘+sin40∘cos10∘+cos40∘=2sin25∘cos15∘2cos25∘cos15∘=sin25∘cos25∘=tan25∘,故選(B)
解答:4n=(3+1)n=1+3Cn1+32Cn2+33Cn3+⋯+3nCnn⇒4n3=13+Cn1+3Cn2+32Cn3+⋯+3n−1Cnn⇒Cn1+3Cn2+32Cn3+⋯+3n−1Cnn=4n3−13=4n−13,故選(A)
解答:a1=2⇒a2=2−12+1=13⇒a3=−12⇒a4=−3⇒a5=2⇒循環數=42019=4×504+3⇒a2019=a3=−12,故選(B)
解答:y=8nx2−2n(2n+1)x+1=(22nx−1)(2nx−1)⇒Ln=¯AnBn=12n−122n⇒∞∑n=1Ln=∞∑n=1(12n−122n)=1/21−1/2−1/41−1/4=1−13=23,故選(A)
解答:{3的倍數有⌊1003⌋=33個5的倍數有⌊1005⌋=20個15的倍數有⌊10015⌋=6個⇒與15不互質的數有33+20−6=47⇒與15互質的數有100−47=53個,因此機率為53100,故選(C)
解答:{∠B=90∘¯AB=5¯BC=12⇒¯AC=√52+122=13,又{¯AD=5¯CE=12⇒¯DE=¯AD−¯AE=5−(13−12)=4,故選(A)
解答:(√2+√3+√5)(√2+√3−√5)(√2−√3+√5)(−√2+√3+√5)=((√2+√3)2−(√5)2)((√5)2−(√2−√3)2)=2√6⋅2√6=24,故選(D)
解答:{z1=cosx+isinx=eixz2=cosy+isiny=eiy⇒z1+z2=√62+i√22⇒(z1+z2)2=|z1|2+|z2|2+2z1z2=2+2z1z2=2+2ei(x+y)=2+2cos(x+y)+2sin(x+y)i;同時(z1+z2)2=(√62+i√22)2=1+√3i兩者虛部相同,即2sin(x+y)=√3⇒sin(x+y)=√32,故選(C)
解答:{n+292=a2n+200=b2⇒a2−b2=92=2×46=4×23由於a,b∈Z,因此a2−b2=2×46⇒{a=(46+2)÷2=24b=(46−2)÷2=22⇒n=222−200=284,故選(A)
解答:f(x)=11−x=1+x+x2+⋯+xn+⋯⇒f′(x)=1(1−x)2=1+2x+3x2+⋯+nxn−1+⋯⇒f′(12019)=1(2018/2019)2=1+2×(12019)+3×(12019)2+⋯⇒1+2×(12019)+3×(12019)2+⋯=(20192018)2,故選(B)
解答:tan1∘tan2∘tan3∘⋯tan89∘=tan1∘tan2∘tan3∘⋯tan44∘tan45∘tan(90∘−44∘)tan(90∘−43∘)⋯tan(90∘−1∘)=(tan1∘tan2∘tan3∘⋯tan44∘)tan45∘(cot44∘cot43∘⋯cot1∘)=tan45∘=1因此log10(tan1∘)+log10(tan2∘)+⋯+log10(tan89∘)=log10(tan1∘tan2∘tan3∘⋯tan89∘)=log101=0,故選(A)
解答:{3a2+2019a+7=07b2+2019b+3=0⇒{a=−2019±√k6b=−2019±√k14,where k=20192−4⋅3⋅7⇒(a,b)=(−2019+√k6,−2019+√k14)或(−2019−√k6,−2019−√k14)⇒ba=614=37,故選(A)
解答:5<x+y≤10⇒{x+y=6⇒有H24=C54=5組正整數解x+y=7⇒有H25=C65=6組正整數解x+y=8⇒有H26=C76=7組正整數解x+y=9⇒有H27=C87=8組正整數解x+y=10⇒有H28=C98=9組正整數解⇒共有5+6+7+8+9=35組解,故選(D)
解答:甲+乙:乙+丙:甲+丙=2:3:4⇒{甲+乙=2k乙+丙=3k甲+丙=4k,k∈R三式相加⇒2(甲+乙+丙)=9k⇒2×36=9k⇒k=8⇒{甲+乙=16乙+丙=24甲+丙=32⇒{甲=36−24=12乙=36−32=4丙=36−16=20,故選(C)
解答:log(32×416×525)=2log3+32log2+25(1−log2)=2log3+7log2+25=2×0.4771+7×0.301+25=28.0612⇒32×416×525是28+1=29位數,故選(C)
解答:7,17,37,47,67,97,共6個質數,故選(B)
解答:m+knk=mn⇒m+k=mk⇒k=mm−1=1+1m−1⇒k=m=2又13<mn<1⇒13<2n<1⇒n=3,5(4不符,違反m,n互質)⇒mn=23或25,共2個,故選(B)
20. 試問方程式(x2−x−1)x+2=1共有多少個整數解x? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
解答:(x2−x−1)x+2=1⇒{x+2=0⇒x=−2x2−x−1=1⇒x=2,−1x2−x−1=−1且x+2為偶數⇒x=0(1不合)⇒x=−2,−1,0,2,共四組解,故選(C)
21. 已知下面兩個四邊形,¯AB=¯EF、¯BC=¯FG、¯CD=¯GH、¯DA=¯HE,請問增加哪一個選項的條件仍然無法讓兩個四邊形全等?(A) ∠A=∠E (B) ¯BD=¯FH (C) 分別在¯AB、¯AD、¯EF、¯EH上取P、Q、R、S四個點,使得¯AP=¯ER,¯AQ=¯ES,¯PQ=¯RS。 (D) 以上都可以讓兩個四邊形全等。
解答:(A)×:ABCD為鳶形⇒△ABD<△BCD⇒E不是重心(B)×:理由同(A)(C)×:鳶形是左右對稱、非上下對稱,H≠12¯AC(D)◯:與距離成反比,故選(D)
解答:(A)與(B)在平面才成立,(D)空間的歪斜線不等距,故選(C)
解答:假設{甲罐重量為a,且水酒比為3:1乙罐重量為b,且水酒比為1:1,混合後水酒比為(34a+12b):(14a+12b)=k:1因此{b=1⇒k=3a=0⇒k=1⇒1<k<3,故選(A)
解答:{f(0)=3⇒c=3f(3)=3⇒9a+3b=0f(4)=8⇒16a+4b=5⇒{a=5/4b=−15/4c=3⇒f(x)=54x2−154x+3=54(x−32)2+316⇒x=32時有最小值(不是最大值),故選(C)
解答:假設回程花了a分鐘,則早上去程花了a+20分鐘;回程三分之一時間騎車、三分之二時間走路⇒小明家距廟13a×240+23a×80=4003a公尺去程4003a公尺,一半距離走路一半騎車,共花了200a/3240+200a/380=a+20⇒a=180(A)×:小明家與廟的距離:4003a=4003×180=24000公尺=24公里≠36公里(B)×:早上花了a+20=200分鐘,其中一半時間,即100分鐘走路≠160(C)×:下午花了a=180分鐘,其中13a=60分鐘騎車≠50(D)◯:下午走路花了23a=120分鐘=2小時,故選(D)
解答:f(x)=√x−√x−2⇒f′(x)=√x−2−√x2√x(x−2)<0⇒f(x)為嚴格遞減⇒f(13)>f(15)>f(17)⇒a>b>√17−√15>√17−4=c⇒a>b>c,故選(C)
解答:保持平衡代表力矩相等,並非重量相等,故選(C)
解答:{∠1+∠2=180∘∠2+∠3=90∘∠3=25∘⇒∠2=65∘⇒∠1=115∘,故選(B)
解答:500−2×60=380⇒每趟可搬9箱,需搬12趟;前11趟搭電梯11×2=22次,最後一趟搬到十樓就結束了,共23次,故選(D)
解答:H310=C1210=66,故選(B)
解答:(A){a⊚b=ab⊚a=b⇒a⊚b≠b⊚a⇒違反交換律(B){(a⊚b)⊚c=2(a+b)⊚c=2(2(a+b)+c)=4a+4b+2ca⊚(b⊚c)=a⊚2(b+c)=2(a+2(b+c))=2a+4b+4c⇒違反結合律(C){a⊚b=2a+bb⊚a=2b+a⇒a⊚b≠b⊚a⇒違反交換律(D){a⊚b=b⊚a=a+b+1(a⊚b)⊚c=a⊚(b⊚c)=a+b+c+2,故選(D)
解答:{C1:(x+3)2+y2=52⇒{圓心O1(−3,0)半徑r1=5C2:(x−3)2+(y+8)2=52⇒{圓心O2(3,−8)半徑r2=5⇒¯O1O2=10=r1+r2⇒相切,故選(D)
解答:(C)90∘<θ<180∘⇒cosθ<0,而√1−sin2θ>0,故選(C)
解答:f(x)=4x3−6x2+3x−2⇒f′(x)=12x2−12x+3=3(2x−1)2≥0⇒f(x)遞增又{f(0)=−2<0f(1)=−1<0f(2)=12>0⇒f(x)=0,∃x∈(1,2),故選(C)
解答:原式=100∑m=21∑mk=1k=100∑m=22m(m+1)=100∑m=22(1m−1m+1)=2(12−1101)=99101,故選(B)
解答:(A)101100>1(B)|−23|<1(C)|−2|>1(D)|3−12|>1,故選(B)
解答:(A)若a<1,則f(x)為遞減非遞減(C){f(x1⋅x2)=ax1⋅x2f(x1)⋅f(x2)=ax1⋅ax2=ax1+x2⇒f(x1⋅x2)≠f(x1)⋅f(x2)(D)f(x)與y軸恰交於一點(0,1),故選(B)
解答:S=250−1⇒logS≈log250=50log2=50×0.301=15.05⇒S為15+1=16位數,故選(B)
解答:x=3+i⇒(x−3)2=−1⇒x2−6x=−10⇒f(3+i)=(−10)2−2(−10)−3=117,故選(D)
解答:f(x)=ax5+bx3+cx−5⇒g(x)=f(x)+5=ax5+bx3+cx⇒g(3)=f(3)+5=8+5=13g(−3)=−g(3)=f(−3)+5=−13⇒f(−3)=−18,故選(D)
解答:{sin70∘,sin146∘,sin365∘皆為正值sin219∘,sin292∘皆為負值⇒中位數為正值中最小的數,即sin365∘=sin5∘,故選(D)
解答:cos2A+cos2B>1+cos2C⇒1−sin2A+1−sin2B>1+1−sin2C⇒sin2C>sin2A+sin2B⇒(c2R)2>(a2R)2+(b2R)2(∵asinA=bsinB=csinC=2R)⇒c2>a2+b2⇒cosC=a2+b2−c22ab<0⇒C為鈍角,故選(C)
解答:
解答:(A)與(B)在平面才成立,(D)空間的歪斜線不等距,故選(C)
解答:假設{甲罐重量為a,且水酒比為3:1乙罐重量為b,且水酒比為1:1,混合後水酒比為(34a+12b):(14a+12b)=k:1因此{b=1⇒k=3a=0⇒k=1⇒1<k<3,故選(A)
解答:{f(0)=3⇒c=3f(3)=3⇒9a+3b=0f(4)=8⇒16a+4b=5⇒{a=5/4b=−15/4c=3⇒f(x)=54x2−154x+3=54(x−32)2+316⇒x=32時有最小值(不是最大值),故選(C)
解答:假設回程花了a分鐘,則早上去程花了a+20分鐘;回程三分之一時間騎車、三分之二時間走路⇒小明家距廟13a×240+23a×80=4003a公尺去程4003a公尺,一半距離走路一半騎車,共花了200a/3240+200a/380=a+20⇒a=180(A)×:小明家與廟的距離:4003a=4003×180=24000公尺=24公里≠36公里(B)×:早上花了a+20=200分鐘,其中一半時間,即100分鐘走路≠160(C)×:下午花了a=180分鐘,其中13a=60分鐘騎車≠50(D)◯:下午走路花了23a=120分鐘=2小時,故選(D)
解答:f(x)=√x−√x−2⇒f′(x)=√x−2−√x2√x(x−2)<0⇒f(x)為嚴格遞減⇒f(13)>f(15)>f(17)⇒a>b>√17−√15>√17−4=c⇒a>b>c,故選(C)
解答:保持平衡代表力矩相等,並非重量相等,故選(C)
解答:{∠1+∠2=180∘∠2+∠3=90∘∠3=25∘⇒∠2=65∘⇒∠1=115∘,故選(B)
解答:500−2×60=380⇒每趟可搬9箱,需搬12趟;前11趟搭電梯11×2=22次,最後一趟搬到十樓就結束了,共23次,故選(D)
解答:H310=C1210=66,故選(B)
解答:(A){a⊚b=ab⊚a=b⇒a⊚b≠b⊚a⇒違反交換律(B){(a⊚b)⊚c=2(a+b)⊚c=2(2(a+b)+c)=4a+4b+2ca⊚(b⊚c)=a⊚2(b+c)=2(a+2(b+c))=2a+4b+4c⇒違反結合律(C){a⊚b=2a+bb⊚a=2b+a⇒a⊚b≠b⊚a⇒違反交換律(D){a⊚b=b⊚a=a+b+1(a⊚b)⊚c=a⊚(b⊚c)=a+b+c+2,故選(D)
解答:{C1:(x+3)2+y2=52⇒{圓心O1(−3,0)半徑r1=5C2:(x−3)2+(y+8)2=52⇒{圓心O2(3,−8)半徑r2=5⇒¯O1O2=10=r1+r2⇒相切,故選(D)
解答:(C)90∘<θ<180∘⇒cosθ<0,而√1−sin2θ>0,故選(C)
解答:f(x)=4x3−6x2+3x−2⇒f′(x)=12x2−12x+3=3(2x−1)2≥0⇒f(x)遞增又{f(0)=−2<0f(1)=−1<0f(2)=12>0⇒f(x)=0,∃x∈(1,2),故選(C)
解答:原式=100∑m=21∑mk=1k=100∑m=22m(m+1)=100∑m=22(1m−1m+1)=2(12−1101)=99101,故選(B)
解答:(A)101100>1(B)|−23|<1(C)|−2|>1(D)|3−12|>1,故選(B)
解答:(A)若a<1,則f(x)為遞減非遞減(C){f(x1⋅x2)=ax1⋅x2f(x1)⋅f(x2)=ax1⋅ax2=ax1+x2⇒f(x1⋅x2)≠f(x1)⋅f(x2)(D)f(x)與y軸恰交於一點(0,1),故選(B)
解答:S=250−1⇒logS≈log250=50log2=50×0.301=15.05⇒S為15+1=16位數,故選(B)
解答:x=3+i⇒(x−3)2=−1⇒x2−6x=−10⇒f(3+i)=(−10)2−2(−10)−3=117,故選(D)
解答:f(x)=ax5+bx3+cx−5⇒g(x)=f(x)+5=ax5+bx3+cx⇒g(3)=f(3)+5=8+5=13g(−3)=−g(3)=f(−3)+5=−13⇒f(−3)=−18,故選(D)
解答:{sin70∘,sin146∘,sin365∘皆為正值sin219∘,sin292∘皆為負值⇒中位數為正值中最小的數,即sin365∘=sin5∘,故選(D)
解答:cos2A+cos2B>1+cos2C⇒1−sin2A+1−sin2B>1+1−sin2C⇒sin2C>sin2A+sin2B⇒(c2R)2>(a2R)2+(b2R)2(∵asinA=bsinB=csinC=2R)⇒c2>a2+b2⇒cosC=a2+b2−c22ab<0⇒C為鈍角,故選(C)
解答:
範圍小,直接手算:4+4+4+4+3+3+2+1+1=26,故選(C)
解答:{E(X)=40σ(X)=8⇒{E(2X+5)=2E(X)+5=85σ(2X+5)=2σ(X)=16,故選(C)
解答:2log2x=x⇒x=2,4⇒小明說得對,故選(B)
解答:百位數有5種選擇(不能選0)、十位數有5種選擇、個位數有4種選擇,共有5×5×4=100,故選(B)
解答:14=1248=1352=1456=1560=1768=1872=1976=2184=2496,共九種,故選(C)
解答:原式=15∑k=4k3=15∑k=1k3−3∑k=1k3=(15⋅162)2−(3⋅42)2=1202−62=14400−36=14364,故選(C)
解答:y=f(x)=2x3⇒f(x−1)=2(x−1)3=2x3−6x2+6x−2⇒f(x−1)+1=2x3−6x2+6x−1⇒向右1單位,再向上1單位,故選(A)
解答:{E(X)=40σ(X)=8⇒{E(2X+5)=2E(X)+5=85σ(2X+5)=2σ(X)=16,故選(C)
解答:2log2x=x⇒x=2,4⇒小明說得對,故選(B)
解答:百位數有5種選擇(不能選0)、十位數有5種選擇、個位數有4種選擇,共有5×5×4=100,故選(B)
解答:14=1248=1352=1456=1560=1768=1872=1976=2184=2496,共九種,故選(C)
解答:原式=15∑k=4k3=15∑k=1k3−3∑k=1k3=(15⋅162)2−(3⋅42)2=1202−62=14400−36=14364,故選(C)
解答:y=f(x)=2x3⇒f(x−1)=2(x−1)3=2x3−6x2+6x−2⇒f(x−1)+1=2x3−6x2+6x−1⇒向右1單位,再向上1單位,故選(A)
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解題僅供參考,其他教甄歷年試題及詳解
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