新竹市立香山高級中學111學年度教師甄選
一、單選題(每題4分,共計60分)
解答:1+2+⋯+9=45為3的倍數⇒任取2數a與b,只要a+b是3的倍數,剩下的7個數字和也是3的倍數;因此(a,b)=(1,2),(1,5),(1,8),(2,4),(2,7),(3,6),(3,9),(4,5),(4,8),(5,7),(6,9),(7,8),共12組,故選(D)解答:正弦定理:27sinA=48sin3A⇒9sinA=163sinA−4sin3A⇒27sinA−36sin3A=16sinA⇒36sin3A−11sinA=0⇒sinA(36sin2A−11)=0⇒sinA=√116⇒cosA=56⇒56=482+¯AC2−27296¯AC⇒¯AC2−80¯AC+1575=0⇒(¯AC−35)(¯AC−45)=0⇒¯AC=35或45,故選(B)
解答:
{sin2x+cos2y=y2⋯(1)sin2y+cos2x=x2⋯(2),{(1)+(2)(2)−(1)⇒{x2+y2=2:一圓x2−y2=cos(2x)−cos(2y):兩直線⇒兩圖形交於四點{A(1,1)B(−1,1)C(−1,−1)D(1,−1),故選(B)
解答:{z1=−1+i√32=e2πi/3z2=−1−i√32=e4πi/3⇒{z1011=e202πi/3=e66π+4πi/3=e4πi/3=z2z1012=e404πi/3=e134π+2πi/3=e2πi/3=z1⇒z1011+z1012=z2+z1=−1,故選(A)
解答:cosx=1−12x2+14!x4−⋯⇒cosx2=1−12x4+14!x8−⋯⇒{1−cosx=12x2−14!x4+⋯1−cosx2=12x4−14!x8+⋯⇒limx→0√1−cosx21−cosx=√(1/2)1/2=√2,故選(D)
解答:x2+18x+30=2√(x+9)2−36⇒(x+9)2−36−15=2√(x+9)2−36⇒a−15=2√a, where a=(x+9)2−36⇒a2−34a+225=0⇒(a−25)(a−9)=0⇒{(x+9)2−36=a=25(x+9)2−36=a=9,不合(∵a−15=2√a<0)⇒(x+9)2=61⇒x=−9±√61⇒兩根之積=81−61=20,故選(A)
解答:5n−23n−7=5+12n−7⇒n−7=±1,±2,±3,±4,±6,±12⇒共12個解,故選(C)
解答:取{a=3b=4c=5滿足a,b,c成等差;因此{tanA=3/4⇒tan(A/2)=1/3tan(C/2)=tan45∘=1⇒tanA2⋅tanC2=13,故選(B)
解答:{3a2+2022a+8=08b2+2022b+3=0⇒{a=−2022±√k6b=−2022±√k16,where k=20222−4⋅3⋅8⇒(a,b)=(−2022+√k6,−2022+√k16)或(−2022−√k6,−2022−√k16)⇒ab=166=83另兩組解將造成ab=1,不符要求,故選(C)
解答:limx→0x3sin1xsinx=limx→0(x3sin1x)′(sinx)′=limx→03x2sin1x−xcos1xcosx=01=0,故選(B)
解答:limn→∞1√n(1+1√2+1√3+⋯+1√n)=limn→∞n∑k=11√n⋅1√k=limn→∞n∑k=11n⋅1√(k/n)=∫101√xdx=[2√x]|10=2,故選(C)
解答:令¯AB=a,則cosC=√32=(2+2√3)2+16−a28(2+2√3)⇒a2=8⇒¯AB=2√2cosB=42+(2√2)2−(2+2√3)216√2=√2−√64<0⇒B=180∘−75∘=105∘,故選(D)
解答:y=8nx2−2n(2n+1)x+1=(22nx−1)(2nx−1)⇒Ln=¯AnBn=12n−122n⇒∞∑n=1Ln=∞∑n=1(12n−122n)=1/21−1/2−1/41−1/4=1−13=23,故選(D)
解答:令{f(x,y,z)=cos2x+cos2y+cos2zg(x,y,z)=cosx+cosy+cosz⇒−3≤f,g,≤3,則原式af+2(1−a)g=9a−6⇒a(f−2g)+2g=9a−6⇒a=6+2g9−f+2g為整數⇒a=1,0{a=0⇒2g=−6⇒g=cosx+cosy+cosz=−3⇒(x,y,z)=(π,π,π)a=1⇒f=cos2x+cos2y+cos2z=3⇒(x,y,z)=(0,0,0),(π,π,π),(2π,2π,2π)因此共有三組解,故選(C)但a=1時,(x,y,z)=(0,0,2π),(0,2π,0),...也成立,應該有23+1(π,π,π)=9組解
解答:假設m>n+1⇒4m>4n+4⇒m2−4m<m2−4n−4⇒(m−2)2<m2−4n又m2−4n<m2,因此(m−2)2<m2−4n<m2⇒m2−4n=(m−1)2=m2−2m+1⇒2m=4n+1⇒偶數=奇數,矛盾,因此m≯n+1;只剩下m=n+1,m=n兩種情況;當m=n+1時,則{m2−4n=(n+1)2−4n=(n−1)2為一完全平方數n2−4m=n2−4n−4=(n−2)2−8⇒n=5⇒m=6當m=n時,則n2−4m=m2−4n=n2−4n⇒m=n=4同理,n>m+1亦矛盾,僅剩n=m+1與n=m兩種情形;因此(m,n)=(4,4),(5,6),(6,5)三組正整數解,故選(C)
解答:{z1=−1+i√32=e2πi/3z2=−1−i√32=e4πi/3⇒{z1011=e202πi/3=e66π+4πi/3=e4πi/3=z2z1012=e404πi/3=e134π+2πi/3=e2πi/3=z1⇒z1011+z1012=z2+z1=−1,故選(A)
解答:cosx=1−12x2+14!x4−⋯⇒cosx2=1−12x4+14!x8−⋯⇒{1−cosx=12x2−14!x4+⋯1−cosx2=12x4−14!x8+⋯⇒limx→0√1−cosx21−cosx=√(1/2)1/2=√2,故選(D)
解答:x2+18x+30=2√(x+9)2−36⇒(x+9)2−36−15=2√(x+9)2−36⇒a−15=2√a, where a=(x+9)2−36⇒a2−34a+225=0⇒(a−25)(a−9)=0⇒{(x+9)2−36=a=25(x+9)2−36=a=9,不合(∵a−15=2√a<0)⇒(x+9)2=61⇒x=−9±√61⇒兩根之積=81−61=20,故選(A)
解答:5n−23n−7=5+12n−7⇒n−7=±1,±2,±3,±4,±6,±12⇒共12個解,故選(C)
解答:取{a=3b=4c=5滿足a,b,c成等差;因此{tanA=3/4⇒tan(A/2)=1/3tan(C/2)=tan45∘=1⇒tanA2⋅tanC2=13,故選(B)
解答:{3a2+2022a+8=08b2+2022b+3=0⇒{a=−2022±√k6b=−2022±√k16,where k=20222−4⋅3⋅8⇒(a,b)=(−2022+√k6,−2022+√k16)或(−2022−√k6,−2022−√k16)⇒ab=166=83另兩組解將造成ab=1,不符要求,故選(C)
解答:limx→0x3sin1xsinx=limx→0(x3sin1x)′(sinx)′=limx→03x2sin1x−xcos1xcosx=01=0,故選(B)
解答:limn→∞1√n(1+1√2+1√3+⋯+1√n)=limn→∞n∑k=11√n⋅1√k=limn→∞n∑k=11n⋅1√(k/n)=∫101√xdx=[2√x]|10=2,故選(C)
解答:令¯AB=a,則cosC=√32=(2+2√3)2+16−a28(2+2√3)⇒a2=8⇒¯AB=2√2cosB=42+(2√2)2−(2+2√3)216√2=√2−√64<0⇒B=180∘−75∘=105∘,故選(D)
解答:y=8nx2−2n(2n+1)x+1=(22nx−1)(2nx−1)⇒Ln=¯AnBn=12n−122n⇒∞∑n=1Ln=∞∑n=1(12n−122n)=1/21−1/2−1/41−1/4=1−13=23,故選(D)
解答:令{f(x,y,z)=cos2x+cos2y+cos2zg(x,y,z)=cosx+cosy+cosz⇒−3≤f,g,≤3,則原式af+2(1−a)g=9a−6⇒a(f−2g)+2g=9a−6⇒a=6+2g9−f+2g為整數⇒a=1,0{a=0⇒2g=−6⇒g=cosx+cosy+cosz=−3⇒(x,y,z)=(π,π,π)a=1⇒f=cos2x+cos2y+cos2z=3⇒(x,y,z)=(0,0,0),(π,π,π),(2π,2π,2π)因此共有三組解,故選(C)但a=1時,(x,y,z)=(0,0,2π),(0,2π,0),...也成立,應該有23+1(π,π,π)=9組解
解答:假設m>n+1⇒4m>4n+4⇒m2−4m<m2−4n−4⇒(m−2)2<m2−4n又m2−4n<m2,因此(m−2)2<m2−4n<m2⇒m2−4n=(m−1)2=m2−2m+1⇒2m=4n+1⇒偶數=奇數,矛盾,因此m≯n+1;只剩下m=n+1,m=n兩種情況;當m=n+1時,則{m2−4n=(n+1)2−4n=(n−1)2為一完全平方數n2−4m=n2−4n−4=(n−2)2−8⇒n=5⇒m=6當m=n時,則n2−4m=m2−4n=n2−4n⇒m=n=4同理,n>m+1亦矛盾,僅剩n=m+1與n=m兩種情形;因此(m,n)=(4,4),(5,6),(6,5)三組正整數解,故選(C)
二、多選題(每題8分,共計40分;每題有5個選項,至少有一個是正確的選項)
解答:(A)◯:∠EAF=∠A−∠BAE−∠DAF=90∘−30∘−15∘=45∘(B)×:{¯DF=2√3⋅tan15∘=4√3−6⇒¯CF=2√3−(4√3−6)=6−2√3¯BE=2√3⋅tan30∘=2⇒¯CE=2√3−2⇒¯CF/¯CE=√3⇒∠FEC=60∘⇒∠AEF=60∘≠75∘(C)◯:∠CFE=180∘−∠AEF−∠C=30∘(D)◯:由(B)可知:¯CE=2√3−2(E)◯:¯EF=2¯CE=4√3−4,故選(ACDE)
解答:sinA與sinB為(m+5)x2−(2m−5)x+12=0的二實根⇒{sinA+sinB=(2m−5)/(m+5)sinAsinB=12/(m+5)因此(sinA+sinB)2=sin2A+sin2B+2sinAsinB=1+2sinAsinB⇒(2m−5m+5)2=1+2⋅12m+5=m+29m+5⇒(2m−5)2=(m+29)(m+5)⇒m2−18m−40=0⇒(m−20)(m+2)=0⇒m=20(∵m>0,m=−2不合)⇒25x2−35x+12=0⇒(5x−3)(5x−4)=0⇒{sinA=3/5sinB=4/5⇒asinA=bsinB=2R=4⇒{a=12/5b=16/5⇒{a2+b2=c2=40025⇒c=205=4a+b=28/5ab=192/25,故選(BCD)
解答:由題意可知:{a2+b2=c2a+b+c=126ab=630×2=1260⇒{(a+b)2=(126−c)2=c2−252c+1262(a+b)2=a2+b2+2ab=c2+2ab=c2+2520⇒c2−252c+1262=c2+2520⇒252c=13356⇒c=53⇒a+b=126−53=73⇒ab=a(73−a)=1260⇒a2−73a+1260=0⇒(a−45)(a−28)=0⇒{(a,b)=(28,45)(a,b)=(45,28)不合,違反b>a⇒{b−a=45−28=17≠15c−b=53−45=8c−a=53−28=25a+b+c=周長=126≠120,故選(BCD)
解答:(D)×:令{g(x)=2/|x|f(x)=1/|x|,滿足g(x)>f(x)∀x≠0,但{limx→0f(x)=∞limx→0g(x)=∞,因此limx→0f(x)≮limx→0g(x)(E)×:令{g(x)=2/xf(x)=x⇒limx→0(f(x)×g(x))=limx→02=2,但limx→0g(x)不存在其餘皆正確,故選(ABC)
解答:a=√2+b代入2ab+2√2c2+1=0⇒2(√2+b)b+2√2c2+1=0⇒2b2+2√2b+2√2c2+1=0有實數解⇒(2√2)2−4⋅2⋅(2c2+1)≥0⇒16c2≤0⇒c=0⇒2b2+2√2b+1=0⇒b=−√22⇒a=√2−√22=√22⇒{a=√2/2b=−√2/2c=0a+b+c=0,故選(BCE)
解答:由題意可知:{a2+b2=c2a+b+c=126ab=630×2=1260⇒{(a+b)2=(126−c)2=c2−252c+1262(a+b)2=a2+b2+2ab=c2+2ab=c2+2520⇒c2−252c+1262=c2+2520⇒252c=13356⇒c=53⇒a+b=126−53=73⇒ab=a(73−a)=1260⇒a2−73a+1260=0⇒(a−45)(a−28)=0⇒{(a,b)=(28,45)(a,b)=(45,28)不合,違反b>a⇒{b−a=45−28=17≠15c−b=53−45=8c−a=53−28=25a+b+c=周長=126≠120,故選(BCD)
解答:(D)×:令{g(x)=2/|x|f(x)=1/|x|,滿足g(x)>f(x)∀x≠0,但{limx→0f(x)=∞limx→0g(x)=∞,因此limx→0f(x)≮limx→0g(x)(E)×:令{g(x)=2/xf(x)=x⇒limx→0(f(x)×g(x))=limx→02=2,但limx→0g(x)不存在其餘皆正確,故選(ABC)
解答:a=√2+b代入2ab+2√2c2+1=0⇒2(√2+b)b+2√2c2+1=0⇒2b2+2√2b+2√2c2+1=0有實數解⇒(2√2)2−4⋅2⋅(2c2+1)≥0⇒16c2≤0⇒c=0⇒2b2+2√2b+1=0⇒b=−√22⇒a=√2−√22=√22⇒{a=√2/2b=−√2/2c=0a+b+c=0,故選(BCE)
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解題僅供參考,其他教甄歷年試題及詳解
感謝老師的詳解,獲益良多
回覆刪除但發現一點小筆誤,第15題最後答案應該是(4,4)、(6,5)、(5,6)
感謝指正,已修訂!!
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