國立屏東女子高級中學 112 學年度代理教師甄選數學科題目卷
一、單一選擇題:每題全對得5分。共10分。
解答:xsinθ=r⇒x=rsinθ,故選(A)解答:A=[xzyu]=[1−yzy1−z]⇒det(A)=(1−y)(1−z)−yz=1−(y+z)=2.44=0.6⇒y+z=1−0.6=0.4,故選(B)
二、多重選擇題:每題全對得6分,答錯1個選項得4分,答錯2個選項得2分。共36分。
解答:(A)◯:銳角三角形一定不是鈍角三角形,因此A,C互斥(B)×:(1,5,7)與(5,7,11)皆為直角三角形,因此B不是基本事件(C)◯:任取非直線上的三點為一三角形,因此共有P123/3!個三角形(D)◯:直徑共有六條,每一條與另外10個點形成一直角三角形,共有60個直角三角形(E)×:P123/3!=220不是3的倍數,因此不可能a=b=c故選(ACD)
解答:loga−logx=log(a−x)⇒xa=a−x⇒x2−ax+a=0有兩相異實根⇒判別式>0⇒a2−4a>0⇒a>4(a<0不合),故選(E)
解答:(1)◯:(a,b,0)⋅(0,0,1)=0⇒→u與z軸垂直(2)×:柯西不等式:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2⇒9≥(ac+bd)2⇒3≥ac+bd≥−3⇒→u⋅→v=ac+bd的最大值=3≠√3(3)×:cosθ=→u⋅→v|→u||→v|=ac+bd√3⋅√3=13(ac+bd)⇒−1≤cosθ≤1⇒θ最大值為180∘(4)◯:a2+b2)(d2+(−c)2)≥(ad−bc)2⇒−3≤ad−bc≤3⇒ad−bc可能為2(5)×:→u×→v=(3b,−3a,ad−bc)⇒|→u×→v|=√9(a2+b2)+(ad−bc)2=√27+(ad−bc)2≤√27+9=6≠2√3故選(14)
解答:(A)×:△ABC面積=12‖1214312−11‖=5≠10(B)◯:→AB與→AC所圍平行四邊形面積=10⇒10⋅(2−(−1))⋅(3−1)=60(C)◯:假設D為¯BC中點⇒{→AP=23→AD→AD=12(→AB+→AC)⇒→AP=13(→AB+→AC)
解答:(A)◯:[abcd][11]=[a+bc+d]=[−11]⇒a+b+c+d=−1+1=0(B)×:若A是轉移矩陣⇒{a+c=1b+d=1⇒a+b+c+d=2≠0(C)◯:A=[cos90∘−sin90∘sin90∘cos90∘]=[0−110]⇒A[11]=[−11]⇒A可能是旋轉矩陣(D)◯:A=[1k=−201]⇒A[11]=[−11]⇒A可能是推移矩陣(E)◯:A=[cos180∘sin180∘sin180∘−cos180∘]=[−1001]⇒A[11]=[−11]⇒A可能是鏡射矩陣故選(ACDE)
解答:假設A為原點,摺起來後{A(0,0,0)M(1,2,0)N(2,1,0)⇒B(a,a,b)⇒{¯AB2=2a2+b2=22=4¯BN2=(a−2)2+(a−1)2+b2=1⇒{a=4/3b=2/3⇒{→AM=(1,2,0)→AB=(4/3,4/3,2/3)⇒→n=→AB×→AM=23(−2,1,2)⇒{平面AMN的法向量=→n1=(0,0,1)平面ABM的法向量=→n2=(−2,1,2)⇒cosθ=→n1⋅→n2|→n1||→n2|=23⇒sinθ=√53
解答:→AD⋅→AF=11=|→AD||→AF|cos∠DAF=16cos∠DAF⇒cos∠DAF=1116⇒1116=42+42−¯DF22⋅4⋅4⇒¯DF=√10,又¯CE=¯DF⇒cos∠CAE=(4√2)2+(4√2)2−(√10)22⋅4√2⋅4√2=5464⇒→AC⋅→AE=|→AC||→AE|cos∠CAE=4√2⋅4√2⋅5464=27
解答:{p=0.7q=0.9,依貝氏搜索理論p′=p(1−q)1−p+p(1−q)=0.7⋅0.10.3+0.7⋅0.1=737
解答:
解答:(1)◯:(a,b,0)⋅(0,0,1)=0⇒→u與z軸垂直(2)×:柯西不等式:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2⇒9≥(ac+bd)2⇒3≥ac+bd≥−3⇒→u⋅→v=ac+bd的最大值=3≠√3(3)×:cosθ=→u⋅→v|→u||→v|=ac+bd√3⋅√3=13(ac+bd)⇒−1≤cosθ≤1⇒θ最大值為180∘(4)◯:a2+b2)(d2+(−c)2)≥(ad−bc)2⇒−3≤ad−bc≤3⇒ad−bc可能為2(5)×:→u×→v=(3b,−3a,ad−bc)⇒|→u×→v|=√9(a2+b2)+(ad−bc)2=√27+(ad−bc)2≤√27+9=6≠2√3故選(14)
解答:(A)×:△ABC面積=12‖1214312−11‖=5≠10(B)◯:→AB與→AC所圍平行四邊形面積=10⇒10⋅(2−(−1))⋅(3−1)=60(C)◯:假設D為¯BC中點⇒{→AP=23→AD→AD=12(→AB+→AC)⇒→AP=13(→AB+→AC)
解答:(A)◯:[abcd][11]=[a+bc+d]=[−11]⇒a+b+c+d=−1+1=0(B)×:若A是轉移矩陣⇒{a+c=1b+d=1⇒a+b+c+d=2≠0(C)◯:A=[cos90∘−sin90∘sin90∘cos90∘]=[0−110]⇒A[11]=[−11]⇒A可能是旋轉矩陣(D)◯:A=[1k=−201]⇒A[11]=[−11]⇒A可能是推移矩陣(E)◯:A=[cos180∘sin180∘sin180∘−cos180∘]=[−1001]⇒A[11]=[−11]⇒A可能是鏡射矩陣故選(ACDE)
解答:(A)◯:sin0=02,又{sinπ/6=1/2>(π/6)2sinπ/2=1<(π/2)2⇒在區間(π6,π2)有另一交點,共兩個交點(B)◯:sin0=03,又{sinπ/6=1/2>(π/6)3sinπ/2=1<(π/2)3⇒在區間(π6,π2)有另一交點,且兩圖形對稱原點因此在區間(−π2,−π6)有另一個交點,共三個交點(C)×:兩圖形僅有一個交點,即原點(D)◯:x>1⇒{sinx≤1x2>1⇒x2>sinx(E)×:兩圖形在0<x<1有一交點,因此不成立故選(ABD)
三、填充題:每題全對得 5 分。共 25 分。
解答:假設A為原點,摺起來後{A(0,0,0)M(1,2,0)N(2,1,0)⇒B(a,a,b)⇒{¯AB2=2a2+b2=22=4¯BN2=(a−2)2+(a−1)2+b2=1⇒{a=4/3b=2/3⇒{→AM=(1,2,0)→AB=(4/3,4/3,2/3)⇒→n=→AB×→AM=23(−2,1,2)⇒{平面AMN的法向量=→n1=(0,0,1)平面ABM的法向量=→n2=(−2,1,2)⇒cosθ=→n1⋅→n2|→n1||→n2|=23⇒sinθ=√53
解答:空間三點{A(a,b,1)B(c,0,d)C(1,2,−1)O(0,0,0)⇒{¯OA=√a2+b2+1=3¯OB=√c2+d2=2√6¯OC=√1+4+1=√6⇒體積=3×2√6×√6=36⇒行列式的最小值=−36
解答:→AD⋅→AF=11=|→AD||→AF|cos∠DAF=16cos∠DAF⇒cos∠DAF=1116⇒1116=42+42−¯DF22⋅4⋅4⇒¯DF=√10,又¯CE=¯DF⇒cos∠CAE=(4√2)2+(4√2)2−(√10)22⋅4√2⋅4√2=5464⇒→AC⋅→AE=|→AC||→AE|cos∠CAE=4√2⋅4√2⋅5464=27
解答:{p=0.7q=0.9,依貝氏搜索理論p′=p(1−q)1−p+p(1−q)=0.7⋅0.10.3+0.7⋅0.1=737
解答:[cos2θsin2θsin2θ−cos2θ][7−1]=[17]⇒{−sin2θ+7cos2θ=17sin2θ+cos2θ=7⇒{cos2θ=7/25sin2θ=24/25⇒[abcd]=[7/2524/2524/25−7/25]⇒d=−725
四、計算證明題:19 分
解答:14(a−b)2≥0⇒14(a2−2ab+b2)≥0⇒14(a2+b2)≥ab2⇒14(a2+b2+2ab)≥ab2+ab2=ab⇒(a+b)24≥ab⇒a+b2≥√ab,故得證等號成立時⇒a+b2=√ab⇒14(a2+2ab+b2)=ab⇒14(a2−2ab+b2)=0⇒14(a−b)2=0⇒a=b,故得證解答:
假設D為垂足,即¯BD⊥¯AC,如上圖若∠A為銳角⇒¯AD=ccosA⇒¯CD=b−ccosA⇒¯BD2=c2−(ccosA)2=a2−(b−ccosA)2⇒c2−c2cos2A=a2−b2+2bccosA−c2cos2A⇒a2=b2+c2−2bccosA若∠A為鈍角⇒¯AD=ccos(π−A)=−ccosA⇒¯CD=b−ccosA⇒¯BD2=c2−(−ccosA)2=a2−(b−ccosA)2⇒a2=b2+c2−2bccosA若∠A為直角⇒a2=b2+c2−2bccosA(cosA=0)因此無論∠A為銳角、鈍角或直角皆滿足a2=b2+c2−2bccosA,故得證
解答:{左式=(a21+a22)(b21+b22)=a21b21+a21b22+a22b21+a22b22右式=(a1b1+a2b2)2=a21b21+2a1a2b1b2+a22b22⇒左式−右式=a21b22+a22b21−2a1a2b1b2=(a1b2−a2b1)2≥0⇒(a21+a22)(b21+b22)≥(a1b1+a2b2)2,故得證等號成立時⇒(a1b2−a2b1)2=0⇒a1b2=a2b1,故得證
解答:{左式=(a21+a22)(b21+b22)=a21b21+a21b22+a22b21+a22b22右式=(a1b1+a2b2)2=a21b21+2a1a2b1b2+a22b22⇒左式−右式=a21b22+a22b21−2a1a2b1b2=(a1b2−a2b1)2≥0⇒(a21+a22)(b21+b22)≥(a1b1+a2b2)2,故得證等號成立時⇒(a1b2−a2b1)2=0⇒a1b2=a2b1,故得證
解題僅供參考,其他教甄試題及詳解
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