112年嘉義女中教甄-數學詳解

國立嘉義女子高級中學 112 學年度第 1 次教師甄選

一、填充題（計16題，每題5分，共80分，全對才計分）：

解答：$$15,\square\square\square,\square\square\square,\square\square\square,\square\square\square,\square\square\square =k^{15}\\ \Rightarrow 15\times 10^{15}\lt k^{15} \lt 16\times 10^{15} \Rightarrow 15+\log 15\lt 15\log k \lt 15+\log 16 \\ \Rightarrow 16.176\lt 15\log k \lt 16.204\\ 由於\log 12 =\log3+2\log 2=0.4771+2 \cdot 0.301=1.0791 \Rightarrow 15\log 12=16.186\\ 因此k=\bbox[red, 2pt]{12}$$

解答：$$x\ge -{a\over 2} \Rightarrow ||2x+a|+x-a|=|3x|=5 \Rightarrow \cases{x=5/3\ge -a/2\\ x=-5/3 \ge -a/2} \Rightarrow a\ge {10\over 3}\\ \qquad 也就是說,當a\ge {10\over 3}時，可得兩根x=\pm {5\over 3} \\ x\le -{a\over 2} \Rightarrow ||2x+a|+x-a|=|-x-2a|=5 \Rightarrow \cases{-x-2a=5\\ -x-2a=-5}  \\\qquad 若a={10\over 3}\Rightarrow \cases{x=-5-2a =-{35\over 3}\\ x=5-2a =-{5\over 3}} \\ 因此a=\bbox[red,2pt]{10\over 3}時，恰有三解，分別是\pm {5\over 3},-{35\over 3}$$

解答：

$$\Gamma:{x^2\over 7^2}-{y^2\over (4\sqrt{15})^2}=1 \Rightarrow c=\sqrt{49+240}=17 \Rightarrow \cases{左焦點F(-17,0)\\ 右焦點F'(17,0) \\左頂點A(-7,0)\\ 右頂點B(7,0)\\ 中心O(0,0)}\\ 假設P(a,b) \Rightarrow \cos \angle FPF' \lt 0 \Rightarrow (a+17)^2+b^2+(a-17)^2+b^2-34^2\lt 0\\ \Rightarrow a^2+b^2\lt 289=17^2,又\overline{OP}=\sqrt{a^2+b^2}\in \mathbb N 且\overline{OP} \gt \overline{OB}=7\\ \Rightarrow \overline{OP}=8,9,\dots,16，共9點\Rightarrow 四個象限共\bbox[red, 2pt]{36}種可能$$

解答：$$\cases{aX+bY= A\\ X+Y=I} \Rightarrow \cases{X={1\over a-b}(A-bI)\\ Y= {1\over a-b}(aI-A)} \Rightarrow XY={1\over (a-b)^2}(A-bI)(aI-A)=0 \\ \Rightarrow (A-bI)(aI-A)=0 \Rightarrow \begin{bmatrix}2-b & 4 \\1 & -1-b \end{bmatrix} \begin{bmatrix}a-2 & -4 \\-1 & a+1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0 & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix} \\ \Rightarrow \begin{bmatrix}2a-ab+2b-8 & 4a+4b-4 \\a+b-1 & -a-ab-b-5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix} \Rightarrow \cases{2a-ab+2b=8 \\a+b=1 \\a+ab+b=-5} \\ \Rightarrow (a,b)=(3,-2) ((-2,3)不合，違反a\gt b) \Rightarrow a^b=3^{-2}=\bbox[red, 2pt]{1\over 9}$$

5. 小美每天早上起床後必先完成洗臉、刷牙、穿衣服、穿裙子、戴隱形眼鏡和吃早餐等六件事情，其中洗臉後才能戴隱形眼鏡，刷牙和洗臉後才會吃早餐，例如：洗臉→穿衣服→穿裙子→刷牙→戴隱形眼鏡→吃早餐。請問小美完成這六件事情，依前後順序的不同，共有__________種方法。

解答：$$穿衣服與穿裙子與其他四項(洗臉，刷牙，戴眼鏡，吃早餐)的順序無關，因此先考慮四項的順序:\\ \cases{ 洗臉，刷牙，吃早餐，戴眼鏡\\  洗臉，刷牙，戴眼鏡，吃早餐\\ 刷牙，洗臉，戴眼鏡，吃早餐 \\刷牙，洗臉，戴眼鏡，吃早餐\\ 洗臉，戴眼鏡，刷牙，吃早餐}，接著將穿衣服與穿裙子插入五個間隔中\\ 因此共有H^5_2\times 2\times 5=\bbox[red, 2pt]{150}種排法$$

6. 由正整數 1 至 20 等 20 個數字中，甲任意取出兩個相異數 a 與 b 之後，再由乙任意取出另兩個相異數 c 與 d 。若每一個數字被取出的機會均等，則在已知 a+b 為偶數的條件下， c+d 為奇數的機率為__________。

解答：$$a+b為偶數\Rightarrow \cases{a,b皆為偶數 \Rightarrow 剩下8偶10奇\\ a,b皆為奇數 \Rightarrow 剩下8奇10偶}\\　c+d為奇數 \Rightarrow 1奇1偶 \Rightarrow 機率為{C^8_1C^{10}_1 \over C^{18}_2} ={8\cdot 10\over 18\cdot 17/2} =\bbox[red, 2pt]{80\over 153}$$

7. 設 n 為正奇數，黑箱中有 n 枚硬幣，其中 1 枚兩面都是人頭（Head），1 枚兩面都是字（Tail），其餘的硬幣都是一面人頭和一面字。已知每個硬幣被取出的機會均等，每個硬幣兩面放在手心後朝上的機會也是均等的；將手伸入箱中握住三枚硬幣，取出後將手打開，在此三枚硬幣朝上的面是 2 個人頭和 1 個字的條件下，若此三硬幣的另一面是 1 個人頭和 2 個字的機率為 \({4\over 7}\)，則正奇數 n＝ _____。 

解答：$$假設\cases{兩面都是人頭的硬幣為A \\兩面都是字的硬幣為B \\正常硬幣為C}，因此有1個A,1個B及(n-2)個C\\ 出現２個人頭及1個字的情形\cases{ACB \Rightarrow P(ACB)=3/n(n-1)\\ ACC \Rightarrow P(ACC)=6/4n(n-1)\\ CCB \Rightarrow P(CCB)=3/4n(n-1)\\ CCC \Rightarrow P(CCC)=3/8n(n-1)}，\\而翻面後是1個人頭2個字的情形只有兩種\cases{ACB\\ CCC} \\\Rightarrow 機率為{3+{3\over 8}(n-3)(n-4)\over 3+{9\over 4}(n-3)+{3\over 8}(n-3)(n-4)}={4\over 7} \Rightarrow n^2-15n+44=0\\ \Rightarrow (n-11)(n-4)=0 \Rightarrow n=\bbox[2pt,red]{11}(4不是正奇數)$$

解答：$$\alpha^2+4\beta^2+5\gamma^2 = 2\gamma(\alpha+4\beta) \Rightarrow \alpha^2-2\alpha\gamma+\gamma^2 = -4(\beta^2-2\beta\gamma +\gamma^2) \\ \Rightarrow (\alpha-\gamma)^2=-4(\beta-\gamma)^2 \Rightarrow \alpha-\gamma = \pm 2i(\beta-\gamma) \Rightarrow |\alpha-\gamma|= 2|\beta-\gamma|\\ \Rightarrow \overline{AC} \bot \overline{BC} 且\overline{AC} =2\overline{BC} \Rightarrow \overline{BC}={4\over 2}=2 \Rightarrow \overline{AB}^2= \overline{AC}^2+ \overline{BC}^2 =4^2+2^2=20\\ \Rightarrow \overline{AC}= \bbox[red, 2pt]{2\sqrt 5}$$

解答：$$取g(x)=f(x+1) \Rightarrow \cases{g(0) =f(1)=2\\ g(4)=f(5)=8\\ g(8)=f(9)=11} \Rightarrow 令g(x)=ax(x-4)(x-8)+ bx(x-8)+cx+2\\ \Rightarrow \cases{g(4)=8=-16b+4c+2\\ g(8)=11 = 8c+2} \Rightarrow \cases{b=-3/32\\ c=9/8} \\\Rightarrow g(x)=ax(x-4)(x-8)-{3\over 32}x(x-8)+{9\over 8}x+2 \\=ax^3-(12a+{3\over 32})x^2+(32a+{15\over 8})x+2 \Rightarrow \int_1^9 f(x)\,dx =\int_0^8 g(x)\,dx \\= \left.\left[ {1\over 4}ax^4-(4a+{1\over 32})x^3 +(16a+{15\over 16}x^2 +2x) \right] \right|_0^8 =\bbox[red, 2pt]{60}$$

解答：$$f(x)=4x^3-12x^2+8x+20-\int_1^x f(t)\,dt \Rightarrow f'(x)=12x^2-24x+8-f(x)\\ \Rightarrow f'(x)+f(x)=12x^2-24x+8 \Rightarrow f(x)為2次多項式 \Rightarrow f(x)=ax^2+bx+c\\ \Rightarrow f'(x)=2ax+b \Rightarrow f(x)+f'(x)=ax^2+(2a+b)x+b+c \Rightarrow \cases{a=12\\ 2a+b=-24\\ b+c=8} \\ \Rightarrow \cases{a=12\\ b=-48\\ c=56} \Rightarrow f(x)=\bbox[red, 2pt]{12x^2-48x+56}$$

解答：$$f'(x)=a(x-1)(x-3) =a(x^2-4x+3) \Rightarrow f''(x)=a(2x-4)\\ (b,5)為反曲點\Rightarrow f''(b)=0 \Rightarrow b=2 \Rightarrow f(2)=5\\ f'(x)為二次式 \Rightarrow f(x)為三次式\Rightarrow (2,5)也是對稱中心\Rightarrow {f(0)+f(4)\over 2}=f(2)=5 \\\Rightarrow \int_0^4 f(x)\,dx = 4\times f(2)=\bbox[red, 2pt]{20}$$

解答：$$\int_0^1(tf(t))dt 是一個常數，假設為Ｃ，則f(x)=4x^2-3ax+4C\\ \Rightarrow \int_0^1tf(t)dt =\int_0^14t^3-3at^2+4Ct\,dt =\left. \left[ t^4-at^3+2Ct^2\right]\right|_0^1 =1-a+2C =C\\ \Rightarrow C=a-1 \Rightarrow f(x)=4x^2-3ax+4a-4\\ g(x)=x^2+4x+a-\int_0^x(t+1)g'(t)\,dt \Rightarrow g'(x)=2x+4-(x+1)g'(x) \Rightarrow g'(x)={2x+4\over x+2}=2\\ \Rightarrow \int_0^x(t+1)g'(t)\,dt =\int_0^x(t+1)2\,dt =x^2+2x \Rightarrow g(x)=x^2+4x+a-(x^2+2x) \\ \Rightarrow g(x)=2x+a \Rightarrow f(x)-xg(x)=4x^2-3ax+4a-4-(2x^2+ax)=2x^2-4ax+4a-4\\ \Rightarrow f(x)-xg(x)=0的兩根\alpha,\beta滿足\cases{\alpha+\beta =2a\\ \alpha\beta=2a-2} \\ 因此{1\over \beta-\alpha} \int_\alpha^\beta (3x^2-2ax+a^2)dx={1\over \beta-\alpha}\left( (\beta^3-\alpha^3)-a(\beta^2-\alpha^2)+a^2(\beta-\alpha)\right) \\=(\beta^2+\alpha\beta+ \alpha^2)-a(\beta+ \alpha)+a^2 =4a^2-(2a-2)-2a^2+a^2=3a^2-2a+2\\ =3(a-{1\over 3})^2+{5\over 3} \Rightarrow 最小值=\bbox[red,2pt]{5\over 3}$$

解答：

$$假設\cases{\overline{GH} \bot \overline{BC}\\ \overline{BC}=a} ，並取s=(\overline{GB}+ \overline{GC}+\overline{BC}) \div 2= 5+{a\over 2} \\ \Rightarrow \triangle GBC面積=\sqrt{s(s-7)(s-3)(s-a)} ={1\over 2}\cdot a\cdot \overline{GH} \Rightarrow a^4-100a^2+1600=0 \\ \Rightarrow (a^2-80)(a^2-20) \Rightarrow a=4\sqrt 5或2\sqrt 5(負值不合)\\ \text{Cases I }a=4\sqrt 5：\cos \angle GPB=-\cos \angle GPC \Rightarrow 20+\overline{GP}^2-49 =-(20+ \overline{GP}^2-9)\\ \qquad \Rightarrow \overline{GP}=3 \Rightarrow \overline{GA}=6\\  \text{Cases I }a=2\sqrt 5: 5+\overline{GP}^2-49=-(5+\overline{GP}^2-9) \Rightarrow \overline{GP}=2\sqrt 6  \Rightarrow \overline{GA}=4\sqrt 6\\ 因此\overline{GA} =\bbox[red,2pt]{6或4\sqrt 6}$$

解答：

$$假設P,Q,R,S為切點，圓心為O，圓半徑=r，如上圖， 因此假設\cases{\overline{AP}= \overline{AS} =a \\\overline{BR}= \overline{BS} =b \\\overline{CQ}= \overline{CR} =c \\\overline{DP}= \overline{DQ} =d }\\ \cases{\triangle ODP: r=\sqrt 3d\\ \triangle CDT: 2r=(c+d)\sqrt 3/2} \Rightarrow c=3d\\ \cases{\triangle APO: \overline{AO}^2= a^2+r^2\\ \triangle OBR:\overline{BO}^2= r^2+b^2} 又\overline{AD}\parallel \overline{BC} \Rightarrow \angle A+\angle B=180^\circ \Rightarrow \angle BAO+ \angle ABO=90^\circ \\\Rightarrow \angle AOB=90^\circ \Rightarrow \overline{AB}^2= \overline{AO}^2+\overline{OB}^2 \Rightarrow (a+b)^2 =a^2+r^2+b^2+r^2 \\\Rightarrow r^2=ab= 3d^2 \Rightarrow a={3d^2\over b}，因此我們有\cases{a+d=5\\  b+c=10\\ c=3d \\ a=3d^2/b} \Rightarrow d=2 \Rightarrow r=\sqrt 3d=2\sqrt 3\\ \Rightarrow 梯形面積={5+10\over 2}\cdot 2r=\bbox[red, 2pt]{30\sqrt 3}$$

解答：

$$\Gamma:(x-4\sqrt 2)^2+(y-4\sqrt 2)^2=4^2 \Rightarrow \cases{圓心C(4 \sqrt 2,4\sqrt 2)\\ 圓徑r=4} \Rightarrow \overline{OC}=8\\ \overrightarrow{OP}+ \overrightarrow{OM}= \vec 0 \Rightarrow 取M，使得\overline{OM}最大，也就是M=\overleftrightarrow{OC} \cap \Gamma 且離原點O最遠的交點\\ \Rightarrow M(6\sqrt 2,6\sqrt 2) \Rightarrow P(-6\sqrt 2,-6\sqrt 2)\\ 又\overrightarrow{MC}= -2\overrightarrow{MQ} \Rightarrow Q(7\sqrt 2,7\sqrt 2) \Rightarrow \overline{PQ}=\bbox[red, 2pt]{26}$$

解答：

$$假設A以\overline{BD}為轉軸摺起的點為A' \Rightarrow \angle A'CD=90^\circ \Rightarrow \overline{A'C}=\sqrt{10^2-5^2} =5\sqrt 3 \\ \Rightarrow \triangle A'CD面積={1\over 2}\times 5\times 5\sqrt 3={25\over 2}\sqrt 3\\ 假設B至平面\triangle A'CD的距離=h \Rightarrow 四面體A'BCD體積={1\over 3}\times {25\over 2}\sqrt 3\times h=20\\ \Rightarrow h={120\over 25\sqrt 3}=\bbox[red, 2pt]{{8\over 5}\sqrt 3}$$

二、計算證明題（計2題，每題10分，共20分）：

解答：$$學校提供的解答如後$$

解答：$$學校提供的解答如後$$

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解題僅供參考，其他教甄試題及詳解