國立暨南國際大學112學年度碩士班入學考試
科目: 工程數學(線性代數、微分方程)
適用:電機系
解答:(a)2xyy′=y2−x2⇒y′=y2x−x2y⇒y′−y2x=−x2y,此為n=−1的Bernoulli Equation因此令u=y2⇒u′=2yy′代回原式⇒xu′=u−x2⇒u′−ux=−x積分因子I(x)=e−∫1xdx=1x⇒u′x−ux2=−1⇒(ux)′=−1⇒ux=−x+C⇒u=y2=−x2+Cx⇒y=±√−x2+Cx,C為常數 (b)y″−4y′+4y=0⇒λ2−4λ+4=0⇒(λ−2)2=0⇒y=c1e2x+c2xe2x,c1及c2為常數(c)y‴+12y″+48y′+64y=0⇒λ3+12λ2+48λ+64=0⇒(λ+4)3=0⇒y=e−4x(c1+c2x+c3x2),c1,c2,c3皆為常數

解答:(a)L{f(t)}=F(s)=∫∞0f(t)e−stdtf(t)=L−1{F(s)}⟺F(s)=L{f(t)}(b)F(s)=∫∞0f(t)e−stdt⇒ddsF(s)=∫∞0−tf(t)e−stdt=−L{tf(t)}⇒L{tf(t)}=−ddsF(s)(c)L{tcos(kt)}=−ddsL{cos(kt)}=−ddsss2+k2=s2−k2(s2+k2)2L{tsin(kt)}=−ddsL{sin(kt)}=−ddsks2+k2=2ks(s2+k2)2(d)L{y″}+16L{y}=L{cos(4t)}⇒s2Y(s)−sy(0)−y′(0)+16Y(s)=ss2+16⇒Y(s)(s2+16)−1=ss2+16⇒Y(s)=s(s2+16)2+1s2+16⇒y(t)=L−1{s(s2+16)2}+L−1{1s2+16}=L−1{164⋅4s2+42−116⋅s2−42(s2+16)2}+L−1{14⋅4s2+42}=164sin(4t)−116tcos(4t)+14sin(4t)=1764sin(4t)−116tcos(4t)⇒y(t)=1764sin(4t)−116tcos(4t)
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