國立高雄大學 112 學年度轉學招生考試試題(轉二年級)
科目:微積分
考試時間:80 分鐘
系所:資訊工程學系(無組別)
一﹑選擇題 Choose the best answer for each question (每題 3 分,共 30 分)
解答:limx→023x√23x+9−3=limx→0ddx23xddx(√23x+9−3)=limx→02323/2√23x+9=limx→02√23x+9=6,故選(b)
解答:f(x)=ex+23x⇒f′(x)=ex+23⇒f′(0)=1+23=24⇒圖形在(0,23)的切線斜率=24,故選(c)
解答:f(x)=xsin(3x)⇒f′(x)=sin(3x)+3xcos(3x)⇒f″(x)=3cos(3x)+3cos(3x)−9xsin(3x)=6cos(3x)−9xsin(3x)⇒f″(0)=6,故選(d)
解答:ddx23√2x=23√2x⇒ddxe23√2x=23√2xe23√2x,故選(c)
解答:ddxarctanx=11+x2⇒ddxarctan(x3)=3x21+x6,故選(d)
解答:limx→−∞23x+1√x2−x=limx→−∞23x+1|x|√1−1/x=−23,故選(d)
解答:ddxF(x)=sin√x4⋅ddxx4=4x3sinx2,故選(c)
解答:∫1x2+8x+41dx=∫1(x+4)2+25dx=125∫1(x+45)2+1dx=125⋅5arctan(x+45)+C=15arctan(x+45)+C,故選(c)
解答:4<√23<5⇒∫542x(x2−23)2dx=∞,故選(a)
二﹑填充題 Please fill in the following blanks (每題 5 分,共 25 分)
解答:f(x)=26−25x⇒f′(x)=25x2⇒{f′(c)=25c2f(25)−f(1)25−1=1⇒25c2=1⇒c=5(−5∉(1,25))解答:∫10x2+x+1x+1dx=∫10x+1x+1dx=[12x2+ln(x+1)]|10=12+ln2
解答:cos2x=12(cos2x+1)⇒cos6x=18(cos2x+1)3=18(cos3(2x)+3cos2(2x)+3cos(2x)+1)=18(cos(2x)(1−sin2(2x))+32(cos(4x)+1)+3cos(2x)+1)=18(4cos(2x)−cos(2x)sin2(2x)+32cos(4x)+52)⇒∫π0cos6xdx=∫π012cos(2x)−18cos(2x)sin2(2x)+316cos(4x)+516dx=[14sin(2x)−148sin3(2x)+364sin(4x)+516x]|π0=516π
解答:u=tanx⇒du=sec2xdx⇒∫π/6012(secx)3dx=12∫1/√30√1+u2du=12[12u√1+u2+12ln(u+√1+u2)]|1/√30=12(13+14ln3)=4+3ln3
解答:{x=f(t)=∫2t0√sinzdzy=g(t)=∫2t0√4+3sinzdz⇒{x′(t)=2√sin(2t)y′(t)=2√4+3sin(2t)⇒曲線長=∫π0√x′(t)2+y′(t)2dt=∫π0√4sin(2t)+16+12sin(2t)dt=∫π04√sin(2t)+1dt=∫π04√cos(π/2−2t)+1dt=∫π04√2cos2(π/4−t)dt=4√2∫π0cos(π4−t)dt=4√2[−sin(π4−t)]|π0=4√2⋅√2=8
三﹑計算題 Problems (每題 15 分,共 45 分)
解答:f(x)=g(x)⇒x=0,4且f(x)≥g(x),∀x∈[0,4]⇒繞x軸旋轉體積=∫40π(f2(x)−g2(x))dx=π∫4012√x−5x−14x2dx=π[8x3/2−52x2−112x3]|40=56π3解答:2−x2−y2=2−y⇒x2+(y−12)2=(12)2⇒取{x=rcosθy=rsinθ+1/2⇒所圍體積=∫2π0∫1/20(14−r2)rdrdθ=π32
解答:{F1=6xyF2=3x+3y⇒ddxF2−ddyF1=3−6x⇒∫C6xydx+(3x+3y)dy=∫1−1∫1−x20(3−6x)dydx=∫1−1(1−x2)(3−6x)dx=∫1−13−6x−3x2+6x3dx=[3x−3x2−x3+32x4]|1−1=4
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解題僅供參考,其他歷年試題及詳解
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