114學年度四技二專統測--數學(A)詳解

114 學年度科技校院四年制與專科學校二年制
統 一 入 學 測 驗-數學(A)

解答: $$，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答: $$\cases{4x-5\lt 4+x\\ 5-x\gt a} \Rightarrow \cases{3x \lt 9 \Rightarrow x\lt 3\\ x\lt 5-a} \Rightarrow 5-a=3 \Rightarrow a=2，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答: $$a_5^2=a_4\cdot a_6=8\cdot 18=144 \Rightarrow a_5=\sqrt{144} =12，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答: $$4\times C^{n+1}_4=11\times C^{n+1}_3 \Rightarrow 4\times {(n+1)!\over (n-3)!4!} =11\times {(n+1)!\over (n-2)! 3!}  \Rightarrow   {4\over (n-3)!4!} =  {11\over (n-2)! 3!} \\ \Rightarrow {4\over 4} ={11\over n-2} \Rightarrow n=13，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答: $$f(x)=-x^2+8x+9 =-(x^2-8x+16)+25 =-(x-4)^2+25\\ \Rightarrow 最高點坐標:(4,f(4))=(4,25)，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答: $$\cases{小卡車運量:3x\\ 大卡車運量:6y} \Rightarrow 3x+6y\ge 7200，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$


解答: $$\cases{第一次點數:a\\ 第2次點數: b} \Rightarrow a+b=4k \Rightarrow (a,b)=(1,3), (2,2), (2,6),(3, 1), (3,5), (4,4), \\\qquad (5, 3), (6,2), (6,6) \Rightarrow 共9種情形，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答: $$\cases{第1個數取到質數的可能數:C^{10}_1\\第2個數取到與第1個不同質數的可能數:C^9_1\\ 30個數任取2個數的可能數: C^{30}_2} \Rightarrow 欲求之機率={C^{10}_1C^9_1\over C^{30}_2} ={10\cdot 9\over 30\cdot 29} ={3\over 29}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答: $$\cases{m_1={ a-3\over 4-2} ={a-3\over 2} \\ m_2= {a-7\over 4-5} =7-a} \Rightarrow m_1+m_2={a-3\over 2} +7-a=0 \Rightarrow a=11，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答: $$(-3,5)至直線4x-3y-13=0的距離={|-12-15-13| \over \sqrt{4^2+3^2}} ={40\over 5} =8，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$


解答: $$f(x)=x^3+2x^2+bx+c \Rightarrow \cases{f(0)=c=0\\ f(1)= 1+2+b+c=0} \Rightarrow \cases{b=-3\\ c=0} \Rightarrow b-c=-3，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答: $$行駛距離= 192-x \Rightarrow 通行費= (192-x)\times 0.9=84 \Rightarrow x=129-{84\over 0.9} ={296\over 3} \approx 98.67\\，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答: $$100萬\times 0.03\% =0.03萬 =300 \Rightarrow 獲利500-300=200，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答: $$\cases{E(X) =50 \Rightarrow E(0.7X+30) =0.7E(X)+30=0.7\times 50+30=65 \\ Var(X)=10^2 \Rightarrow Var(0.7X+30) =0.7^2Var(X)=0.49\times 100=49 \Rightarrow \sigma(X)=\sqrt{49}=7} \\ \Rightarrow \cases{算術平均數=65\\ 標準差=7}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答: $$\cases{數學及格人數=60\times 70\%=42\\ 英文及格人數=60\times 60\% =36 \\ 兩科都及格人數=60\times 45\%=27} \Rightarrow 至少一科及格的人數=42+36-27= 51 \\ \Rightarrow 兩科都不及格人數=60-51=9，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$




解答: $$\cases{個位數為0的四位數有6\times 5\times 4=120個\\ 個位數為5的四位數有5\times 5\times 4=100個 } \Rightarrow 共有120+100=220個，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}\\註:千位數不得為0$$


解答: $$900= (最高+最矮)\times {5\over 2} \Rightarrow 最高+最矮=360，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答: $$f(x) =2\sin x+1 \Rightarrow f(0)=1 \Rightarrow 只有(A)與(B)符合此要求，又圖形y=f(x)週期為2\pi \\，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$


解答: $$x^2+4x+y^2-6y+k=0 \Rightarrow (x+2)^2+ (y-3)^2=13-k \Rightarrow \cases{圓心O(-2,3) \\ 圓半徑r=\sqrt{13-k}} \\ 圖形與x軸相切\Rightarrow 圓心至x軸距離=半徑 \Rightarrow 3=\sqrt{13-k} \Rightarrow k=4，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答: $$成本=f(x,y)=50x+ 36y \Rightarrow \cases{f(6,20) =1020\\ f(10,20) =1220\\ f(6,12) =732} \Rightarrow 最低成本732元，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答: $$\cases{a=\log_3 4\\ b=2\log_3 5=\log_35^2 =\log_3 25\\ c=\log_3 16} \Rightarrow b\gt c\gt a，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$


解答: $$10^9 \text{ nm} =10^{12} \text{ pm} \Rightarrow 1\text{ nm} =10^3\text{ pm} \\ \Rightarrow {120 \text{ nm} \over 280 \text{ pm}} ={120\times 10^3\over 280} \approx 428.57，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答: $$M={\log (8.4\times 10^{13})-4.8\over 1.5} = {\log (2.1\times 4\times 10^{13})-4.8\over 1.5} ={(\log (2.1)+ 2\log 2+13)-4.8\over 1.5} \\= {0.3222+2\times 0.301+13-4.8\over 1.5} = 6.0828，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$


解答: $$f(x)=g(x) \Rightarrow 10x+200 = 0.0025x^2+8x+200 \Rightarrow 0.0025x^2-2x=0 \\ \Rightarrow x(0.0025x-2)=0 \Rightarrow 0.0025x=2 \Rightarrow x={2\over 0.0025} =800，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答: $$\cases{d(A,L_1) -a\ge 2.5 \\ d(A,L_2) -a\ge 2.5 \\ d(A,L_3)-a \ge 2.5} \Rightarrow \cases{{24\over 5} -a\ge 2.5 \\ {23\over 5}-a\ge 2.5\\ 4-a\ge 2.5} \Rightarrow \cases{a\le 2.3\\ a\le 2.1\\ a\le 1.5} \Rightarrow a\le 1.5，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

====================== END ==========================
解題僅供參考，其他統測試題及詳解