114年台北科大土木碩士班-工程數學詳解

國立臺北科技大學114學年度碩士班招生考試

系所組別:3120 土木工程系土木與防災碩士班乙組
第二節 工程數學 試題

解答: $$\textbf{1. }{dy\over dt}=y^2(1+t^2) \Rightarrow \int {1 \over y^2}\,dy = \int (1+t^2)\, dt \Rightarrow -{1\over y} =t+{1\over 3}t^3 +c_1 \Rightarrow y=-{1\over t^3/3+t+c_1} \\\quad  \Rightarrow y(0)=-{1\over c_1}=1 \Rightarrow c_1=-1 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{y=-{3\over t^3 +3t-3}} \\\textbf{2. }y''-y'-6y=0 \Rightarrow \lambda^2-\lambda-6=0 \Rightarrow (\lambda-3)(\lambda+2) =0 \Rightarrow \lambda=3,-2\\\quad \Rightarrow y=c_1e^{3t} +c_2e^{-2t} \Rightarrow y'=3c_1e^{3t}-2c_2 e^{-2t} \Rightarrow \cases{y(0) =c_1+c_2=2 \\y'(0)= 3c_1-2c_2=0} \Rightarrow \cases{c_1= 4/5\\ c_2= 6/5} \\ \quad \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{y={4\over 5}e^{3t}+{6\over 5}e^{-2t}} \\\textbf{3. }y''+2y'-3y=2e^{-3x} \Rightarrow \lambda^2+2\lambda-3=0 \Rightarrow (\lambda+3)(\lambda-1) =0 \Rightarrow \lambda=-3, 1\\\quad \Rightarrow y=c_1e^{-3x} +c_2e^{x} \Rightarrow  y_p=Axe^{-3x } \Rightarrow y_p'=Ae^{-3x}-3Axe^{-3x} \Rightarrow y_p''=-6Ae^{-3x} +9Axe^{-3x} \\ \quad \Rightarrow   y_p''+2y_p'-3y_p =-4Ae^{-3x} =2e^{-3x} \Rightarrow A=-{1\over 2} \Rightarrow y_p=-{1\over 2}xe^{-3x} \\\quad \Rightarrow y=y_h +y_p \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{y= c_1e^{-3x} +c_2e^{x}-{1\over 2}xe^{-3x}} \\\textbf{4. }2y^{(4)}+ 11y'''+ 18y''+4y'-8y=0 \Rightarrow 2\lambda^4 +11\lambda^3 +18\lambda^2+ 4\lambda-8=0 \Rightarrow  (x+2)^2(2x-1)=0\\ \quad \Rightarrow x=-2,{1\over 2} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{y=c_1e^{x/2} +c_2e^{-2x} +c_3xe^{-2x} +c_4x^2e^{-2x}}$$

解答: $$A= \begin{bmatrix}-2 & -4 & 2 \\-2 & 1 & 2 \\4 & 2 & 5\end{bmatrix} \Rightarrow \det(A-\lambda I) =-(\lambda-3) (\lambda+5) (\lambda-6) =0 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\text{ eigenvalues: }3,-5,6}  \\ \lambda_1=3 \Rightarrow (A-\lambda_1 I)v=0  \Rightarrow \begin{bmatrix} -5 & -4 & 2 \\-2 & -2 & 2 \\4 & 2 & 2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{bmatrix} =0 \Rightarrow \cases{x_1+2x_3=0\\ x_2=3x_3} \\\qquad \Rightarrow v= x_3\begin{bmatrix} -2\\ 3\\ 1\end{bmatrix}, \text{ choose } v_1=\begin{bmatrix} -2\\ 3\\ 1\end{bmatrix} \\ \lambda_2=-5 \Rightarrow (A-\lambda_2I)v=0  \Rightarrow \begin{bmatrix} 3 & -4 & 2 \\-2 & 6 & 2 \\4 & 2 & 10\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{bmatrix} =0 \Rightarrow \cases{x_1+ 2x_3 =0\\ x_2+x_3=0} \\\qquad \Rightarrow v= x_3\begin{bmatrix} -2\\ -1\\ 1\end{bmatrix}, \text{ choose } v_2=\begin{bmatrix} -2\\ -1\\ 1\end{bmatrix}\\ \lambda_3=6 \Rightarrow (A-\lambda_3 I)v=0  \Rightarrow \begin{bmatrix} -8 & -4 & 2 \\-2 & -5 & 2 \\4 & 2 & -1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{bmatrix} =0 \Rightarrow \cases{16x_1=x_3 \\ 8x_2=3x_3} \\\qquad \Rightarrow v= x_3\begin{bmatrix} 1/16\\ 3/8\\ 1\end{bmatrix}, \text{ choose } v_3= \begin{bmatrix} 1/16\\ 3/8\\ 1\end{bmatrix} \\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\text{ eigenvectors: }\begin{bmatrix} -2\\ 3\\ 1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2\\ -1\\ 1\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1/16\\ 3/8\\ 1\end{bmatrix} }$$

解答: $$L\{y''\}-6L\{y'\}+15L\{ y\} =2L\{\sin 3t\} \Rightarrow s^2Y(s)+s+4-6sY(s)-6+15Y(s) =2\cdot { 3\over s^2+3^2} \\ \Rightarrow (s^2-6s+15)Y(s) ={{6\over s^2+9}}-s+2 \Rightarrow Y(s)={6\over (s^2+9)(s^2-6s+15)} -{s-2\over s^2-6s+15} \\ \Rightarrow y(t)= L^{-1}\{Y(s)\}=L^{-1}\left\{ {6\over (s^2+9)(s^2-6s+15)} -{s-2\over s^2-6s+15}\right\} \\ =L^{-1}\left\{ {6\over (s^2+9)(s^2-6s+15)}  \right\}-L^{-1}\left\{  {s-2\over s^2-6s+15}\right\} \\=L^{-1}\left\{ {s\over 10(s^2+9)} +{1\over 5}\cdot {1 \over (s-3)^2+6}+{1\over 10(s^2+9)} -{1\over 10}\cdot {s-3\over (s-3)^2+6}\right\}\\-L^{-1}\left\{ {s-3\over (s-3)^2+6}+{1\over (s-3)^2+6}\right\} \\={1\over 10} \cos(3t)+ {1\over 5\sqrt 6}e^{3t} \sin(\sqrt 6 t)+{1\over 30}\sin(3t)-{1\over 10}e^{3t} \cos(\sqrt 6 t) \\\qquad -\left( e^{3t} \cos(\sqrt 6t)+{1\over \sqrt 6}e^{3t} \sin(\sqrt 6)t\right) \\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{y(t) ={1\over 10} \cos(3t)+{1\over 30}\sin(3t)- e^{3t} \left( {11\over 10}\cos(\sqrt 6t)+{2\sqrt 6\over 15} \sin(\sqrt 6 t)\right)}$$

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