114年消防三等-微積分詳解

 114年一般警察人員考試

考 試 別：一般警察人員考試
等 別：三等考試
類科組別：消防警察人員
科 目：微積分

解答：$$\textbf{(一) }F(x)={x^2+1\over x^2-1} ={x^2+1\over (x-1)(x+1)}\Rightarrow 定義域D=\{x \mid x\ne\pm 1, x\in \mathbb R\} \\ \Rightarrow 除了在x=\pm 1外，F皆為連續 \\\textbf{(二) }L =(1+{r\over n})^n \Rightarrow \ln L=n\ln(1+{r\over n}) \Rightarrow \lim_{n\to \infty} \ln L=\lim_{n\to \infty} {\ln(1+{r\over n})\over {1\over n}} =\lim_{n\to \infty} {{n\over n+r}\cdot (-{r\over n^2}) \over -{1\over n^2}} \\ \qquad =\lim_{n\to \infty} {nr\over n+r} =r \Rightarrow \lim_{n\to \infty} (1+{r\over n})^n =e^r\\t=1 \Rightarrow \lim_{n\to \infty} A= \lim_{n\to \infty} P(1+{r\over n})^n= \bbox[red, 2pt]{Pe^r}$$

解答：

$$f(x)=x^4+x^3-3x^2+1 \Rightarrow f'(x) =4x^3+3x^2-6x \Rightarrow f''(x)=12x^2+6x-6\\ f''(x)=0 \Rightarrow 6(2x^2+x-1) =6(2x-1)(x+1)=0 \Rightarrow x=-1,1/2 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\begin{cases}凹向上& x\ge 1/2\\ 凹向下& -1\le x\le 1/2\\ 凹向上& x\le -1 \end{cases}}$$

解答：$${d C\over dx} =32-0.04x \Rightarrow C= \int (32-0.04x)\,dx=32x-0.02x^2+c_1\\ C(1)=50 \Rightarrow 32-0.02+c_1=50 \Rightarrow c_1=18.02 \Rightarrow C(x)=32x-0.02x^2+18.02\\ \Rightarrow C(200)=32\cdot 200-0.02\cdot 200^2+18.02= 5618.02 \Rightarrow 總成本為\bbox[red, 2pt]{5618.02元}$$

解答：$$f(x)=-x^2+x =x(-x+1)=0 \Rightarrow x=0,1 \\ \Rightarrow 繞x軸旋轉體積=\int_0^1 (-x^2+x)^2 \pi\,dx =\pi \int_0^1 (x^4-2x^3+x^2)\,dx = \pi \left. \left[ {1\over 5}x^5-{1\over 2}x^4+{1\over 3}x^3 \right] \right|_0^1 \\= \bbox[red, 2pt]{{1\over 30}\pi}$$

解答：$$f(x)={1\over \sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} \Rightarrow f'(x) =-{x\over \sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} \Rightarrow f''(x)=-{1\over \sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} +{x^2\over \sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} \\ 若 f''(x)=0 \Rightarrow (x^2-1)\cdot {1\over \sqrt{2\pi}}e^{-x^2} =0 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1 \\ 又\cases{\lim_{x\to 1^+} f''(x)\gt 0 \\\lim_{x\to 1^-} f''(x)\lt 0} 且\cases{\lim_{x\to -1^+} f''(x)\lt 0 \\\lim_{x\to -1^-} f''(x)\gt 0 } \Rightarrow x=\pm 1為反曲點.\quad \bbox[red, 2pt]{QED}$$

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