朱式幸福: 99年大學學測數學詳解

2018年4月30日星期一

99年大學學測數學詳解

99 學年度學科能力測驗

數學科詳解

一、單選題

解：
假設數列有

$m$ 個1，及

$(10-m)$ 個-1，因此數列和為

$m\times 1+(10-m)\times(-1)=2m-10$ 。
由於

$m=0,1,2,\dots ,10$ 共有11種結果，故選

$\bbox[red,2pt]{(2)}$

解：

$\begin{vmatrix} 5 & a \\ b & 7 \end{vmatrix}=4\Rightarrow ab=31\Rightarrow (a,b)=(\pm 1,\pm 31),(\pm 31,\pm 1)\Rightarrow a+b=32或-32\Rightarrow \left| a+b \right| =32$ ，故選

$\bbox[red,2pt]{(3)}$

解：

6球取2球，共有

$C^6_2=15$ 種取法；三紅球取一球且三白球取一球，共有

$C^3_1\times C^3_1=9$ 種取法。因此取出異色球的機率為

$\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$ ，期望值為

$100\times \frac{3}{5}=60$ ，故選

$\bbox[red,2pt]{(5)}$

解：

三個三角形都是以

$\overline{AB}$ 為底，只要計算P、Q、R三點至

$\overline{AB}$ 的距離，就可判斷出面積之大小。
由A=(1,0)、B=(0,1)可知直線

$L:\overline{AB}$ 方程式為

$x+y-1=0$

$\overline{PL}=\frac{\pi}{\sqrt{2}},\overline{QL}=\frac{5-\sqrt{3}}{\sqrt{2}},\overline{RL}=\frac{3.5}{\sqrt{2}}\Rightarrow r>q>p$ ，故選

$\bbox[red,2pt]{(1)}$

解：

100小時後細菌的數量為

$1000\times (1+0.08)^{100}$ ，由於各選項的單位為「千隻」，因此只要計算

$(1.08)^{100}$ 的數值就可以了。

$\log { (1.08)^{ 100 } } =100\times \log { \frac { 108 }{ 100 } } =100\left( \log { 108 } -2 \right) =100\left( \log { \left( 3^{ 3 }\times 2^{ 2 } \right) } -2 \right) \\ =100\left( 3\log { 3 } +2\log { 2 } -2 \right) =100\left( 3\times 0.4771+2\times 0.301-2 \right) =100\times 0.0333\\ =3.33\Rightarrow \left( 1.08 \right) ^{ 100 }=10^{ 3.33 }=1000\times 10^{ 0.33 }\\ \because \log { 2 } =0.301<0.33\ll 0.4771=\log { 3 } \therefore 10^{ 0.33 }=2.xxx\\ 又0.33\approx\frac{1}{3}\Rightarrow10^{0.33}\approx\sqrt[3]{10}=2.15$

故選

$\bbox[red,2pt]{(3)}$

解：

令P=(a,b,c)，則P需滿足

$\begin{cases}a^2+b^2+c^2=16\\ a+2b+c=6\end{cases}$ ，也就是一個球面與一個平面的交集。由於球心至平面的距離=

$\left| \frac { 0+0+0-6 }{ \sqrt { 1^{ 2 }+2^{ 2 }+1^{ 1 } } } \right| =\sqrt { 6 } <4$ (球半徑)，所以交集為一個圓，故選

$\bbox[red,2pt]{(4)}$

解：

$\begin{cases} \Gamma _{ 1 }:\frac { x^{ 2 } }{ 5^{ 2 } } +\frac { y^{ 2 } }{ 3^{ 2 } } =1\Rightarrow a=5\Rightarrow l_{ 1 }=2a=10 \\ \Gamma _{ 2 }:\frac { x^{ 2 } }{ 5^{ 2 } } +\frac { y^{ 2 } }{ 3^{ 2 } } =2\Rightarrow \frac { x^{ 2 } }{ (5\sqrt { 2 } )^{ 2 } } +\frac { y^{ 2 } }{ (3\sqrt { 2 } )^{ 2 } } =1\Rightarrow a=5\sqrt { 2 } \Rightarrow l_{ 2 }=2a=10\sqrt { 2 } \\ \Gamma _{ 3 }:\frac { x^{ 2 } }{ 5^{ 2 } } +\frac { y^{ 2 } }{ 3^{ 2 } } =\frac { 2x }{ 5 } \Rightarrow \frac { x^{ 2 }-10x }{ 5^{ 2 } } +\frac { y^{ 2 } }{ 3^{ 2 } } =0\Rightarrow \frac { x^{ 2 }-10x+5^{ 2 } }{ 5^{ 2 } } +\frac { y^{ 2 } }{ 3^{ 2 } } =1 \\ \Rightarrow \frac { { \left( x-5 \right) }^{ 2 } }{ 5^{ 2 } } +\frac { y^{ 2 } }{ 3^{ 2 } } =1\Rightarrow a=5\Rightarrow l_{ 3 }=2a=10 \end{cases}\\ \Rightarrow l_2>l_1=l_3$

故選

$\bbox[red,2pt]{(4)}$

二、多選題

解：

$(1)\times :\cos { \frac { \pi }{ 4 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } >\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow \frac { \pi }{ 4 } <\theta _{ 1 }\\ (2)\bigcirc :\theta _{ 1 }與\theta _{ 2 }對稱於y軸\Rightarrow \theta _{ 1 }+\theta _{ 2 }=\pi \\ (3)\bigcirc :\theta _{ 3 }在第三象限\Rightarrow \cos { \theta _{ 3 } } <0\Rightarrow \cos { \theta _{ 3 } } =-\frac { 1 }{ 3 } \\ (4)\times :\theta _{ 4 }在第四象限\Rightarrow \sin { \theta _{ 4 } } <0\\ (5)\times :\theta _{ 4 }-\theta _{ 3 }=\theta _{ 2 }-\theta _{ 1 },又\theta _{ 1 }+\theta _{ 2 }=\pi ;若\theta _{ 2 }-\theta _{ 1 }=\frac { \pi }{ 2 } \Rightarrow \theta _{ 1 }=\frac { \pi }{ 4 } 與(1)矛盾$

答：

$\bbox[red,2pt]{(2,3)}$

解：

$(1)\bigcirc: 奇數次多項式至少有一實根\\(2)\times:2^x>0且2^{-x}>0，兩正數相加不可能為0\\(3)\times:令\log_{2}{x}=a\Rightarrow \log_{x}{2}=\frac{1}{a}\Rightarrow a+\frac{1}{a}=1 \\\Rightarrow a^2-a+1=0 無實根\Rightarrow \log_{2}{x}+\log_{x}{2}=1無實根\\(4)\times: \sin{x}\le 1, \cos{2x}\le 1, 兩者相加不可能為3\\(5)\bigcirc:4\sin{x}+3\cos{x}=\frac{9}{2}\Rightarrow 5\left(\frac{4}{5}\sin{x}+\frac{3}{5}\cos{x}\right)=\frac{9}{2}\\ \Rightarrow 5\sin(\alpha+x)=\frac{9}{2}\Rightarrow \sin(\alpha+x)=\frac{9}{10}有實數解$

故選：

$\bbox[red,2pt]{(1,5)}$

解：

$(1)\times:a_2=a_{1+1}=\frac{1(1+1)}{2}-a_1=1-1=0\ne 1\\ (2)\bigcirc: \frac{n(n+1)}{2}為整數，整數減整數仍為整數\\(3)\bigcirc: 整數減去無理數為無理數\\(4)\bigcirc: a_{n+2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}-a_{n+1}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}-\left[\frac{n(n+1)}{2}-a_n\right]\\ =a_n+(n+1)\Rightarrow a_{n+2}\ge a_{n}\\(5)\times: a_{k+2}=a_{k}+(k+1)\Rightarrow 若k為偶數, 則a_k+(k+1)=奇+奇=偶$

故選：

$\bbox[red,2pt]{(2,3,4)}$

解：

由題意知: L不只一條。假設原點在L上的投影點為P，Q=(2,2,2)，O=(0,0,0), L的法向量為

$\vec{n}=(2,-1,0)$ ，則P需滿足: P在平面2x-y=2上，且

$\vec{PQ}\cdot\vec{n}=0$ 及

$\vec{OP}\cdot\vec{QP}=0$ 。故選

$\bbox[red,2pt]{(1,3,5)}$

解：

$(1)\times:抽樣結並不代表全體\\(2)\bigcirc:95\%的信心水準之下，信賴區間為\left[\hat{p}-2\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p}}{n}},\hat{p}+2\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p}}{n}}\right] \\= \left[0.52-2\times 0.02,0.52+2\times 0.02\right]=[0.48,0.56]\\(3)\times: \begin{cases} 男性標準差=0.04 \\ 女性標準差=0.02 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 0.04=\sqrt { \frac { 0.59\times (1-0.59) }{ n_{ 男 } } } \\ 0.02=\sqrt { \frac { 0.52\times (1-0.52) }{ n_{ 女 } } } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} n_{ 男 }\approx 151 \\ n_{ 女 }=624 \end{cases}\\\Rightarrow 女性抽樣人數多於男性\\ (4)\bigcirc:\frac { 151\times 0.59+624\times 0.52 }{ 624+151 } =\frac { 413.57 }{ 775 } \approx 0.53\\(5)\times:\sqrt { \frac { 0.53\times 0.47 }{ 775 } } \approx 0.018<0.02$

故選：

$\bbox[red,2pt]{(2,4)}$

三、選填題

解：

假設C=(12,a)，且a>0，及D=(x,y)如上圖。

$\vec{AD}=\vec{BC}\Rightarrow (x-2,y-1)=(4,a-2)\Rightarrow x=6,y=a-1$
由

$\vec{AD}=(4,a-2)及\vec{AB}=(6,1)$ 可求平行四邊形面積=38=

$\left| \begin{vmatrix} 4 & a-2 \\ 6 & 1 \end{vmatrix} \right| =\left| 16-6a \right| \Rightarrow a=9$ ，因此D=(x,y)=(6,a-1)=

$\bbox[red,2pt]{(6,8)}$

解：

$\begin{cases} x=3-2i \\ x=i \\ x=5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x-3=-2i \\ x^{ 2 }=-1 \\ x-5=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x^{ 2 }-6x+13=0 \\ x^{ 2 }+1=0 \\ x-5=0 \end{cases}\\ \Rightarrow f\left( x \right) =\left( x^{ 2 }-6x+13 \right) \left( x^{ 2 }+1 \right) \left( x-5 \right) \Rightarrow 常數項=13\times1\times(-5)=\bbox[red,2pt]{-65}$

解：
(a)1、2在同一橫列:同在第一列有

$P^3_2=6$ 種排法，同在第二列也有6種排法；剩下四格有4!=24種排法；因此共有

$6\times 2\times 24=288$ 種排法；
(b)1、2在同一直行:同在第一行有2種排法，共有3行，有

$2\times 3=6$ 種排法；剩下四格有4!=24種排法；因此共有

$6\times 24=144$ 種排法；
(a)+(b)=288+144=

$\bbox[red,2pt]{432}$ 種排法

解：

$2x-y=1\Rightarrow y=2x-1\Rightarrow \begin{cases} x-2y=a \\ x-ay=122 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x-2\left( 2x-1 \right) =a \\ x-a\left( 2x-1 \right) =122 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} x=\frac { 2-a }{ 3 } \\ x=\frac { 122-a }{ 1-2a } \end{cases}\Rightarrow \frac { 2-a }{ 3 } =\frac { 122-a }{ 1-2a } \Rightarrow a^{ 2 }-a-182=0\Rightarrow a=\frac { 1\pm \sqrt { 729 } }{ 2 } \\ \Rightarrow a=\frac { 1\pm 27 }{ 2 } =\bbox[red,2pt]{14}(-13不合,\because a>0)$

解：

$\angle ABC=\alpha \Rightarrow \cos { \alpha } =\frac { \overline { AB } }{ \overline { BC } } =\frac { 5 }{ 6 } \\ \angle ABD=2\alpha \Rightarrow \cos { 2\alpha } =\frac { \overline { AB } }{ \overline { BD } } =\frac { 5 }{ \overline { BD } } =2\cos ^{ 2 }{ \alpha } -1=2\times \left( \frac { 5 }{ 6 } \right) ^{ 2 }-1=\frac { 14 }{ 36 } \\ \Rightarrow \overline { BD } =\frac { 5\times 36 }{ 14 } =\bbox[red,2pt]{\frac { 90 }{ 7 } }$

解：

令P=(7,0)、Q=(0,0)則拋物線

$y=x^2+ax+b=x(x-7)=x^2-7x\Rightarrow x^2+ax+(b+2)=x^2-7x+2=0$ 的解為

$x=\frac{7\pm\sqrt{41}}{2}$ ，該兩根的距離就是

$\overline{RS}=\bbox[red,2pt]{\sqrt{41}}$

解：

令

$\angle C=\theta, \angle A=2\theta, \overline{AC}=a$ ，如上圖。

先用正弦定理，即

$\frac{2}{\sin{\theta}}=\frac{3}{\sin{2\theta}}=\frac{3}{2\sin{\theta}\cos{\theta}} \Rightarrow \frac{2}{1}=\frac{3}{2\cos{\theta}}\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{3}{4}$ 再用餘弦定理:

$\cos{\theta}=\frac{a^2+3^2-2^2}{2\times 3\times a}\Rightarrow \frac{3}{4} = \frac{a^2+5}{6a}\Rightarrow a=\frac{5}{2},2(不合)$

若

$a=2\Rightarrow \angle B=\angle C=\theta\Rightarrow \angle A+\angle B+\angle C=180\Rightarrow 4\theta=180\Rightarrow \theta=45$

$\Rightarrow \angle A=90^\circ \Rightarrow {\overline{BC}}^2={\overline{AB}}^2+{\overline{AC}}^2\Rightarrow 9=4+4(矛盾)$

故:

$\overline{AC}=\bbox[red,2pt]{\frac{5}{2}}$

另一種解法: 作

$\angle A$ 的平分線，交

$\overline{AC}$ 於D點，並作

$\overline{DE}\bot\overline{AC}$ ，如上圖。

由於

$\angle BAD=\angle C=\theta 且\angle B=\angle B$ ，所以

$\triangle BAD\sim\triangle BCA$ ，因此我們有

$\frac { \overline { AB } }{ \overline { BC } } =\frac { \overline { BD } }{ \overline { AB } } =\frac { \overline { DA } }{ \overline { AC } } \Rightarrow \frac { 2 }{ 3 } =\frac { \overline { BD } }{ 2 } =\frac { \overline { DC } }{ a } =\frac { 3-\overline { BD } }{ a } \\ \Rightarrow \overline { BD } =\frac { 4 }{ 3 } \Rightarrow a=\frac { 3\left( 3-\overline { BD } \right) }{ 2 } =\frac { 5 }{ 2 }$

解：

拋物線

$\Gamma:x^2=8y\Rightarrow$ 其準線方程式為

$L':y=-2$ ，焦點F=(0,2)。
拋物線上的點至焦點的距離等於至準線的距線，即

$\overline{PF}=\overline{PB}=d(P,L')$ 。

$\overline{PF}\le\overline{AF}+\overline{AP}=\frac{9}{4}+\overline{AP}\Rightarrow -\overline{AP}\le \frac{9}{4}-\overline{PF}\\ \Rightarrow \overline{PC}-\overline{AP}\le \overline{PC}+\frac{9}{4}-\overline{PF}\Rightarrow |d(P,L)-\overline{AP}|\le \overline{PF}+3 +\frac{9}{4}-\overline{PF}=\frac{21}{4}\\\Rightarrow |d(P,L)-\overline{AP}|的最大值為\bbox[red,2pt]{\frac{21}{4}}$

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