108學年度高中運動績優生甄試--數學科詳解

108學年度高級中等以上學校運動成績優良學生

升學輔導甄試學科考試--數學科詳解

說明：單選題共 40 題，請在「答案卡」上劃記。每題 2.5 分，共 100 分。

解： $$1.5+40+10=51.5$$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$21.6=70\div 身高\div 身高=70\div 身高^{ 2 }\Rightarrow 身高^{ 2 }=70\div 21.6\approx 3.24\\ \Rightarrow 身高\approx \sqrt { 3.24 } =1.8公尺=180公分，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$f\left( x \right) =\left( x^{ 2 }-3x+2 \right) \left( 2x+1 \right) +x-4\Rightarrow f\left( -1 \right) =\left( 1+3+2 \right) \left( -2+1 \right) -1-4\\=6\times (-1)-5=-11，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\left( A \right) 斜率為0\\(B)斜率為1\\(C)y-1=2(x+1)\Rightarrow y=2x+3,斜率為2\\ (D)x-2y+1=0\Rightarrow y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2},斜率為\frac{1}{2}\\(E) 2x+y+1=0\Rightarrow y=-2x-1,斜率為-2\\，故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

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解：令$O=(0,0)$，由$\overrightarrow{OP}=(4,3)$可知$P=(4,3)$；令$Q=(x,y)$，由$\overrightarrow{PQ}=(2,5)$可知$x-4,y-3)=(2,5)\Rightarrow (x,y)=(6,8)$，因此$|\overrightarrow{OQ}|=\sqrt{6^2+8^2}=10$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$\left| x-7 \right| \le n\Rightarrow -n\le x-7\le n\Rightarrow 7-n\le x\le n+7\equiv 4\le x\le 10\\ \Rightarrow \begin{cases} 7-n=4 \\ n+7=10 \end{cases}\Rightarrow n=3，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$x^2+y^2=1296=36^2 \Rightarrow r=36\Rightarrow 田徑場長度=86\times 2+2\times 36\times \pi = 172+72\pi \\=172+226.08=398.08，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$f(x)=x^2+2x+3=(x+1)^2+2\Rightarrow 當x=-1時, f(x)有最小值2，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：

假設D為原點，則$D=(1,0,0), A=(0,1,0), H=(0,0,1)$，見上圖。因此 $$\begin{cases}\overrightarrow {AH}=(0,-1,1)\\\overrightarrow {AC}=(1,-1,0)\end{cases} \Rightarrow \cos{\angle HAC}=\frac{\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AH}|| \overrightarrow{AC}|} =\frac{1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \angle {HAC}=60^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\sum _{ k=1 }^{ 10 }{ k^{ 2 } } =\frac { 10\left( 10+1 \right) \left( 2\times 10+1 \right) }{ 6 } =\frac { 10\cdot 11\cdot 21 }{ 6 } =385，故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

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解：六人取四人有$C^6_4=15$種取法，每一種取法又有4!=24種不同捧次排法，因此共有$15\times 24=360$種名單，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$\cos { 105° } =\cos { \left( 45°+60° \right) } =\cos { 45° } \cdot \cos { 60° } -\sin { 45° } \cdot \sin { 60° } =\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } \cdot \frac { 1 }{ 2 } -\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } \cdot \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \\ =\frac { \sqrt { 2 } -\sqrt { 6 } }{ 4 } ，故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

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解： $$(A)a_2=a_1+4=1+4=5\\(B)a_3=a_2+4=5+4=9\\ (C)<a_n>為等差數列\\(D) a_{10}=a_1+9d=1+9\times4=37\\(E)a_n=4n為等比數列\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：刪除最高分15.42及最低分15.12，剩下五個分數的平均為 (15.32+15.22+15.3+15.35 +15.12)   $\div$5=15.266，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$P在圖形上 \Rightarrow 32=a^5 \Rightarrow a=2\\ Q在圖形上 \Rightarrow m=a^9=2^9=512，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\begin{cases} XY=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 36 & 50 \end{bmatrix} \\ YX=\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{bmatrix} \end{cases}\Rightarrow XY\neq YX ，故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

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解： $$\triangle ABC面積=\frac { 1 }{ 2 } \overline { AB }\cdot \overline { AC } \cdot\sin{\angle A}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$2x^2-5x-3=0\Rightarrow (2x+1)(x-3)\Rightarrow \begin{cases}x=-\frac{1}{2}=\cos{\theta}\\x=3\ne\cos{\theta}(\cos{\theta}需\le1)\end{cases}\\\Rightarrow \sin{\theta}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=-\sqrt{3}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：每種球的數量都超過7個，因此此題相當於求$x+y+z=10$有幾組非負整數解，即$H^3_7  =C^9_7=36$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$5x^2+y^2-40x+4y+79=0\Rightarrow 5(x^2-8x+16)+(y^2+4y+4)+79=80+4\\ \Rightarrow 5(x-4)^2+(y+2)^2=5\Rightarrow \frac{(x-4)^2}{1}+\frac{(y+2)^2}{5}=1\Rightarrow 中心點(4,-2)，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$y=0.55\times 90+43.5=49.5+43.5=93，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$面積=\left\| \begin{matrix} \vec { u }  \\ \vec { v }  \end{matrix} \right\| =\begin{Vmatrix} 1 & x \\ y & 2 \end{Vmatrix}=\left| -4 \right| =4，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\begin{cases} 60=10\cdot \log { w_{ 1 } }  \\ 120=10\cdot \log { w_{ 2 } }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \log { w_{ 1 } } =6 \\ \log { w_{ 2 } } =12 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}  w_1=10^6\\ w_2=10^{12} \end{cases}\Rightarrow \frac{w_2}{w_1}=\frac{10^{12}}{10^6}=10^6，故選\bbox[red,2pt]{(E)}。$$

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解：將三頂點代入求最小值，即 $$\begin{cases}3-2\cdot 5=-7\\ 1-2\cdot 3=-5\\ 6-2\cdot 1=4\end{cases}\Rightarrow 最小值為-7，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$r=\frac { a_{ 1 }+a_{ 3 } }{ a_{ 2 } } =\frac { a_{ 1 }+a_{ 1 }+2d }{ a_{ 1 }+d } =\frac { 2a_{ 1 }+2 }{ a_{ 1 }+1 } =\frac { 2(a_{ 1 }+1) }{ a_{ 1 }+1 } =2，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$(3+i)x+(2-3i)y=3x+2y+(x-3y)i=1-7i\Rightarrow \begin{cases} 3x+2y=1 \\ x-3y=-7 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 3x+2y=1 \\ x-3y=-7 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} x=-1 \\ y=2 \end{cases}\Rightarrow x+y=-1+2=1，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$2.69\times 2.54=6.8326 ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：第一球進球之後，第二球進球的機率為0.9，故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

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解：穩定狀態時，前一球進球機率等於下一球進球機率，即$p=0.9p+0.7(1-p) \Rightarrow 0.8p=0.7 \Rightarrow 7/8=0.875$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：

當$3x=y$時，柯西不等式成為等式，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$\begin{cases} P=(0,0,8) \\ Q=(1,2,4) \end{cases}\Rightarrow \overline { PQ } 直線方程式:\frac { x }{ 1 } =\frac { y }{ 2 } =\frac { z-8 }{ -4 } \\ \Rightarrow 直線上的點可表示成(t,2t,-4t+8)\\ \Rightarrow 直線與XY平面的交點，即-4t+8=0\Rightarrow t=2\\ \Rightarrow 交點為(2,4,0)=(a,b,c)\Rightarrow a+b+c=2+4+0=6，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$令P=(x,y), A=(2,0), B=(-2,0)，則\left|\sqrt{(x-2)^2+y^2}-\sqrt{(x+2)^2+y^2}\right|= \left|\overline{PA}-\overline{PB}\right| =2\\ 此為雙曲線的定義，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\begin{cases} P=(1,2,3) \\ Q=(-1,3,5) \end{cases}\Rightarrow \vec { n } =\overrightarrow { PQ } =(-2,1,2)\Rightarrow (2,-1,-2)//\vec { n } ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$恆在x軸上方\Rightarrow f(x)>0 \Rightarrow x^2-4x+k=(x-2)^2+k-4>0 \Rightarrow k-4>0 \Rightarrow k>4，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：一正兩反的排列數為3!/2!=3，三枚硬幣正反的排列數為$2^3=8$，因此機率為3/8，故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

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解：5個選項，猜對的機率為1/5，因此期望值為$\frac{1}{5}\times 2.5=0.5$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：此題相當於4個甲與2個乙排列共有$\frac{6!}{4!2!}=15$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$p(t)=110+24\sin{(160\pi\cdot t)}\ge 110+24\cdot 1=134，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$(1+0.2)^{ 2 }\ge 10\Rightarrow \log { (1+0.2)^{ n } } \ge \log { 10 } \Rightarrow n\log { 1.2 } \ge 1\\ \Rightarrow n\ge \frac { 1 }{ \log { 1.2 }  } =\frac { 1 }{ 0.0792 } \approx 12.6\Rightarrow n=13，故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

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解：

檢驗呈陽性的比率為$0.06\times 0.9+0.94\times 0.05=0.054+0.047=0.101$，其中0.054為確實服用此藥，比率為$0.054/0.101\approx 0.535$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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-- END --