106學年度臺北市聯合轉學考-高職升高三-數學科詳解

臺北市立高級職業學校暨進修學校106 學年度聯合招考轉學生招生考試
升高三數學科試題

1. 有一等差數列，公差為- 2，第 10 項為 11，則首項為 

(A) 29 (B) - 7 (C) 20 (D) 13 

解：
$$\begin{cases}d=-2\\a_{10}=11\end{cases} \Rightarrow 11=a_1+9\times (-2) \Rightarrow a_1=29， 故選：\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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2. 設 a，b，c，d 四正數成等比數列，若$ac=\cfrac{bd}{16}$，則此數列的公比為 

(A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 16

解： $$\begin{cases}a\\b=ar \\c=ar^2 \\d=ar^3\end{cases}  \Rightarrow ac={bd\over 16} \Rightarrow a^2r^2={a^2r^4 \over 16} \Rightarrow r^2=16 \Rightarrow r=4， 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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3. 點P(-1,-3)至圓方程式$(x-1)^2+(y-2)^2=13$之切線段長為 

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 

解：

$$(x-1)^2+(y-2)^2=13 \Rightarrow  \begin{cases}圓心O(1,2)\\ 半徑r=\sqrt{13}\end{cases}  \Rightarrow \overline{PO}= \sqrt{(-2)^2+(-5)^2} =\sqrt{29} \\\Rightarrow 切線段長 \overline{PQ} =\sqrt{\overline{PO}^2-r^2}=\sqrt{29-13}=\sqrt{16}=4， 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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4. 若二次曲線方程式為${x^2 \over k^2-k-2}+{y^2\over 4}=1$ ，則下列敘述何者正確？

(A) 當方程式表一圓時，k = -3 (B) 當- 2 < k < 0，方程式表一橢圓 
(C) 當k > 2時，方程式表一雙曲線 (D) 當k = -2時，方程式表一圓

解： $$(A)\times:k=-3 \Rightarrow k^2-k-2=9+3-2=10 \Rightarrow {x^2\over 10}+{y^2\over 4}=1不是圓\\(B)\times:k=-1\Rightarrow k^2-k-2=1+1-2=0 \Rightarrow {x^2\over 0}+{y^2\over 4}=1不是橢圓\\(C)\times:k=5\Rightarrow k^2-k-2=18 \Rightarrow {x^2\over 18}+{y^2\over 4}=1不是雙曲線\\(D)\bigcirc:k=-2 \Rightarrow k^2-k-2=4+2-2=4\Rightarrow {x^2\over 4}+{y^2\over 4}=1\Rightarrow x^2+y^2=4為一圓\\， 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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5. 已知一拋物線方程式為$16x=-8y-y^2$，則下列何者與此拋物線焦點相同？

(A)$16y=-8x-x^2$ (B)$12x=y^2+8y+4$ 

(C)$-12y=x^2+8x+16$ (D)$-12x=y^2+8y+16$

解： $$16x=-8y-y^2  \Rightarrow 16x=16-(y^2+8y+16)=16-(y+4)^2 \Rightarrow (y+4)^2=-16(x-1)\\ \Rightarrow  \begin{cases}頂點(1,-4) \\c=4\end{cases}  \Rightarrow 焦點F=(1-4,-4)=(-3,-4)\\(A)\times:16y=-8x-x^2 \Rightarrow (x+4)^2=-16(y-1) \Rightarrow 焦點=(-4,1-4)=(-4,-3)\\(B)\times:12x=y^2+8y+4 \Rightarrow (y+4)^2=12(x+1)\Rightarrow 焦點=(-1+3,-4) =(2,-4)\\(C)\times:-12y=x^2+8x+16 \Rightarrow (x+4)^2=-12y \Rightarrow 焦點=(-4,0-3)=(-4,-3)\\(D)\bigcirc: -12x=y^2+8y+16 \Rightarrow (y+4)^2=-12x \Rightarrow 焦點=(0-3,-4)= (-3,-4)\\， 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
$$\begin{cases}焦點為(4,5) \\準線為 y 軸\end{cases} \Rightarrow 頂點為(4/2,5)=(2,5) \Rightarrow 只有(A)的頂點是(2,5)， 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解：
$$由題意可知橢圓方程式為{x^2 \over 9}+{y^2 \over 25}=1 \Rightarrow \begin{cases}a = 5\\b = 3 \\ c=4\end{cases} \Rightarrow 焦點(0,\pm c)=(0,\pm 4)\\ 雙曲線 \begin{cases}2a = 6\\c = 4 \end{cases} \Rightarrow b^2=4^2-3^2=7 \Rightarrow b=\sqrt 7 \Rightarrow {y^2\over 9}-{x^2\over 7}=1， 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$漸進線x-2y=0 \Rightarrow 雙曲線 (x-2y)(x+2y)=k  \Rightarrow x^2-4y^2=k\\ 雙曲線經過(0,2) \Rightarrow k=-16 \Rightarrow 雙曲線: x^2-4y^2=-16 \Rightarrow -{x^2\over 4^2}+{y^2\over 2^2}=1\\  \Rightarrow a=2  \Rightarrow 貫軸長=2a=4，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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9. 一平面上共有10 個點，其中有 4 點共線，其餘無三點共線，試求可連成多少個三角形？ 

(A) 116 (B) 120 (C) 600 (D) 696 

解： $$不共線的6點，任取三點，可形成{6\choose 3}=20個\triangle\\不共線的6點任取2點，與共線的4點任取1點，可形成{6\choose 2}{4\choose 1}=36個\triangle\\不共線的6點任取1點，與共線的4點任取2點，可形成{6\choose 1}{4\choose 2}=60個\triangle\\因此總共可形成20+36+60=116個三角形，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$(a+b)^n=\sum_{i=0}^n{n\choose i}a^ib^{n-i} \Rightarrow (x-{1\over x})^{50}=\sum_{i=0}^{50}{50\choose i}x^i{1\over (-x)^{n-i}} \Rightarrow 常數項為{50\choose 25}(-1)^{25}\\ =-{50\choose 25}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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11. 一袋中有大小相同的 3 紅球、3 白球，從袋中取出一球，若取得紅球可得 5 元，取得白球可得10 元，試求由袋中任取 2 球之期望值為何？ 

(A) 10 (B) 15 (C) 20 (D) 25 

解： $$任取兩球:\\ (紅紅):機率為{3\over 6}\times{2\over 5}={1\over 5}\\ (紅白):機率為{3\over 6}\times{3\over 5}={3\over 10}\\ (白紅):機率為{3\over 6}\times{3\over 5}={3\over 10}\\ (白白):機率為{3\over 6}\times{2\over 5}={1\over 5}\\ 期望值10\times {1\over 5}+15\times {3\over 10}+15\times {3\over 10}+ 20\times {1\over 5}=2+{9\over 2}+{9\over 2}+4=15，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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12. 小明班上的各科月考成績均呈常態分配，其中英文科的月考平均成績為 45 分，標準差為7 分；數學科的月考平均成績為 50 分，標準差為 3 分；國文科的月考平均成績為 55 分，標準差為5 分。已知小明的英文月考成績為 50 分、數學月考成績為55 分、國文月考成績為 60 分，則以下何者敘述正確？ 

(A) 小明的數學成績在班上的排序最好 (B) 小明的國文成績在班上的排序最好 

(C) 小明的英文成績在班上的排序最好 (D) 小明的國英數成績在班上的排序均相同

解：

小明的數學成績比(平均成績再加上一個標準差)還大，其它科分數皆在平均數再加上一個標準差之內，所以數學成績在班的排序最好，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$\log_2 308-\log_2 11-\log_27 = \log_2{308\over 11\times 7}=\log_2 4=2，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：

$$3^x=2 \Rightarrow (3^x)^3=2^3 \Rightarrow 3^{3x}=8 \Rightarrow 27^x=8 \Rightarrow 27^{-x}={1\over 8}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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15.一袋中有3 個紅球，4 個白球，今自袋中任取 3 球，每球被取到之機率均等，則取出 3 球為同色之機率為 

解：
$$任取3球相當依序取1球不放回，因此3球同色的情形為(紅紅紅) 或(白白白)，\\機率為{3\times 2\times 1\over 7\times 6\times 5}+{4\times 3\times 2\over 7\times 6\times 5}= {6+24\over 210} ={1\over 7} ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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16. 將 $(a+b+c)\times (x+y) \times (p+q)$ 展開，共可得多少個不同的項？ 

(A) 18 (B) 12 (C) 10 (D) 8   

解： $$3\times 2\times 2=12，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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17. 設A、B 為樣本空間 S 中之二事件，已知 $P(A)=\cfrac{1}{2}，P(B)=\cfrac{2}{3}，P(A\cup B)=\cfrac{11}{12}$，則$P(A\cap B)=$

(A)$\cfrac{1}{3}$ (B)$\cfrac{2}{3}$ (C)$\cfrac{1}{4}$ (D)$\cfrac{4}{5}$

解： $$P(A\cup B)= P(A)+P(B)-P(A\cap B) \Rightarrow {11\over 12}={1\over 2}+ {2\over 3}-P(A\cap B)  \Rightarrow P(A\cap B) ={1\over 2}+ {2\over 3}-{11\over 12}\\ ={7\over 6}-{11\over 12}={3\over 12}={1\over 4}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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18. 如下圖所示，一棋盤式街道有直街 5 條，橫街 4 條，則由 A 到 B 的捷徑中，共有多少種走法？ 

 (A) 35 (B) 60 (C) 90 (D) 96 種

解： $$A到B的捷徑，只能向右或向上，而且有4個向右、3個向上；\\此題相當於求4個→及3↑排列，因此有{7!\over 4!3!} =35，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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19. 甲、乙、丙3 人在排成一列的 8 個座位中，選坐 3 個相連的座位，其坐法共有幾種？ 

(A) 48 (B) 36 (C) 24 (D) 12 種

解：

8個座位有6種3個相連的情形：(123),(234),...,(678)；
甲乙丙排列有3!=6種排法，因此共有$6\times 6=36$種坐法，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$全部出現反面的機率為{1\over 2^4}={1\over 16} \Rightarrow 至少出現一個正面的機率為1-{1\over 16}= {15\over 16}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$(A)\times: x=1不連續\\(B)f(x)={x-1\over x^2+x-2}= {1\over x+2} \Rightarrow x=-2不連續\\ (C)\bigcirc: x=1代入x^2+1, x+1 及-x+3皆為2 \Rightarrow 連續\\(D)\times: x=1不連續\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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 (A)- 2688 (B) -336 (C) 336 (D) 2688

解：

$$f(x)=(1-2x)^8 \Rightarrow f'(x)=8(1-2x)^7(-2)=-16(1-2x)^7 \Rightarrow f''(x)=-112(1-2x)^6(-2)\\ =224(1-2x)^6 \Rightarrow f'''(x)=1344(1-2x)^6(-2)=-2688(1-2x)^5  \Rightarrow f'''(0)=-2688，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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23. 若$f(x)=-x^3+2x^2-x+3$，則 f (x) 於下列哪一個區間中為遞增函數？ ? 

 (A)x>1 (B) x<1/3 (C) 1/3<x<1 (D)x<-1

解： $$f(x)=-x^3+2x^2-x+3 \Rightarrow f'(x)=-3x^2+4x-1 \Rightarrow f''(x)=-6x+4\\ f'(x)=0 \Rightarrow (3x-1)(x-1)=0 \Rightarrow x=1/3,1有極值 \Rightarrow  \begin{cases}f''(1/3) = -2+4=2>0\\f''(1)=-6+4=-2<0\end{cases} \\ \Rightarrow   \begin{cases}f(1/3) 為極小值 \\f(1)為極大值 \end{cases} \Rightarrow f為 \begin{cases}遞增 & 1/3<x<1\\遞減 & 其它\end{cases} ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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24. 若$f(x)=x^3+4x^2-16x-7$，則下列敘述何者正確？

(A) 當x = 4 ， f (x) 有極大值 (B) 當x = -4， f (x) 有極小值 
(C) 當x=3/4， f (x) 有極大值 (D) 當x=4/3， f (x) 有極小值 

解： $$f(x)=x^3+4x^2-16x-7 \Rightarrow f'(x)=3x^2+8x-16 \Rightarrow f''(x)=6x+8\\ f'(x)=0 \Rightarrow (3x-4)(x+4)=0 \Rightarrow x=4/3,-4有極值 \Rightarrow  \begin{cases}f''(4/3) = 8+8=16>0\\f''(-4)=-24+8=-16<0\end{cases} \\ \Rightarrow   \begin{cases}f(4/3) 為極小值 \\f(-4)為極大值 \end{cases} ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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25. 若$f(x) = x^3+4x^2 -16x -7$ ，則其反曲點的x 坐標為何？

(A) $\cfrac{3}{4}$  (B) $\cfrac{4}{3}$  (C) $\cfrac{-4}{3}$  (D) $\cfrac{-3}{4}$  

解：

$$f(x)=x^3+4x^2-16x-7 \Rightarrow f'(x)=3x^2+8x-16 \Rightarrow f''(x)=6x+8\\ f''(x)=0 \Rightarrow 6x+8=0 \Rightarrow x=-4/3，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解題僅供參考