107學年度臺北市聯合轉學考-高職升高三-數學科詳解

臺北市立高級職業學校暨進修學校107 學年度聯合招考轉學生招生考試
升高三數學科試題

1. 如右圖，由一個正六面體的一頂點 A 沿著稜線走捷徑到對角線的另一頂角G，每一個頂點只能經過一次，有幾種走法? 

(A)6  (B)7  (C)8  (D)9 

解：
由於是走捷徑，從A至G要走3步，即
A→D→H→G、A→D→C→G ，
A→B→C→G、A→B→F→G ，
A→E→F→G、A→E→H→G ，
共六種走法， 故選：$\bbox[red,2pt]{(A)}$

---

2. 試求540 的正因數個數? 

 (A)20 (B)22 (C)24 (D)26

解： $$540=5\times 2^2\times 3^3 \Rightarrow 正因數個數為(1+1)(2+1)(3+1) = 2\times 3\times 4=24 ， 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

---

3. 將 10 件相同的衣服分給三位同學，每位同學至少拿一件，則其方法數為何? 

 (A)120 (B)84 (C)36 (D)28

解：
$$本題相當於求x+y+z=10-3=7的非負整數解有幾組？即H^3_7 =C^9_7= 36， 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

---

4. 設n 正整數，且$n\times 5!=(7!-6!)$ ，求n= ? 

(A)36 (B)24 (C)14 (D)6

解： $$n\times 5!=(7!-6!)=(7\times 6!-6!)=6!(7-1)=6\times 6!  \Rightarrow n=\cfrac{6\times 6!}{5!} =6\times 6=36， 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

---

5. 甲，乙，丙，丁，戊，己六人排成一列，若甲乙要相鄰且丙丁要相鄰，排列的方法數為? 

(A)24 (B)96 (C)48 (D)72

解： $$甲乙綁在一起變成一個人、丙丁綁在一起也變成一個人，則原來六人變成四人排列，\\共有4!=24種排法；由於甲乙兩人可以是甲乙或乙甲，丙丁也是有2種排法，因此共有\\ 24\times 2\times 2=96排法， 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

---

6. 將 2 枚相同的五元硬幣，3 枚相同的十元硬幣分給 7 位同學，每人至多一枚，有幾種分法? 

(A)10 (B)420 (C)120 (D)210 

解：
此題相當於將2個紅球(五元硬幣)、3個白球(十元硬幣)及2個藍球(沒分到球)排列，
共有$\cfrac{7!}{2!3!2!}=\cfrac{5040}{24}=210$排法， 故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

---

7. 將 6 本不同的書分給三位同學，每位同學均拿兩本，其方法數為 

 (A)90 (B)15 (C) 720 (D)540 

解：
6本書排列共有6!排法，其中前2本給第一位同學、後2本給第二位同學、最後2本給第三位同學；因此方法數為$\cfrac{6!}{2!2!2!}=\cfrac{720}{8}=90$， 故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

---

8. 試計算$21^{15}$ 除以100的餘數為何? 

(A) 61 (B)41 (C)21 (D)1

解： $$21^{15}=(20+1)^{15}=C^{15}_020^{15}1^0 +C^{15}_120^{14}1^1 + \cdots + C^{15}_{15}20^{0}1^{15} \\ =C^{15}_020^{15} +C^{15}_120^{14} + \cdots + C^{15}_{13}20^{2} + C^{15}_{14}20^{1} + C^{15}_{15}20^{0}\\ 21^{15}除以100的餘數只要看最後2項，即C^{15}_{14}20^{1} + C^{15}_{15}20^{0}=15\times 20+1= 301\\ \Rightarrow 301 除  以100的餘數為1，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

---

9. 從十個人中選四位圍圓桌而坐，其方法數為 

(A)210 (B)1260 (C)2520 (D)5040

解： $$\cfrac{P^{10}_4}{4}=1260，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

---

10. 若$C^{20}_0+C^{20}_2+C^{20}_4+\cdots +C^{20}_{20}= 2^n$ ，則n 的值為 

(A)20 (B)19 (C)18 (D)17

解： $$f(x,y)=(x+y)^{20} =C^{20}_0y^{20} +C^{20}_1xy^{19} +C^{20}_2x^2y^{18}+\cdots +C^{20}_{20}x^{20}\\  \Rightarrow  \begin{cases}f(1,-1) = 0= C^{20}_0-C^{20}_1 +C^{20}_2-\cdots+C^{20}_{20}\\f(1,1)=2^{20}= C^{20}_0+C^{20}_1 +C^{20}_2+ \cdots+C^{20}_{20}\end{cases} \\ \Rightarrow C^{20}_0+C^{20}_2 +C^{20}_4+ \cdots+C^{20}_{20}= (f(1,-1)+f(1,1))\div 2=2^{20}\div 2=2^{19}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

---

11. 設A 、B 為某隨機試驗的兩事件且$P(A\cup B)={5\over 12}，P(A)={1\over 4}，P(B)= {1\over 3}$，求$P(A\mid B)=$

(A)${1\over 6}$  (B) ${1 \over 2}$ (C) ${2 \over 3}$ (D) ${ 3\over 4}$

解： $$P(A\mid B)=\cfrac{P(A\cap B)}{P(B)} =\cfrac{P(A)+ P(B)-P(A\cup B)}{P(B)} = \cfrac{1/4+1/3 -5/12}{1/3} = \cfrac{1/6}{1/3} =1/2\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

---

12. 表格內為某公司100 名員工的年齡人數表，求其年齡的中位數? 

 (A)42 (B)43 (C)44 (D)45

解：

100名員工的中位數即第50與第51的平均值，也就是中位數落在40~50的區間；

由於50=9+25+16=24+20+6，因此40~50的區間拆成16:24=2:3，其分隔位置就是中位數；

該區間有40個人，每一個人占了10/40=1/4年齡比重，16人占了16/4=4年齡比重，

所以中位數=40+4=44，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

---

13. 有一筆抽樣資料，分別為 63，81，75，67，54，86，試求其標準差(四捨五入至個位)？ 

(A)11 (B)12 (C)13 (D)14 

解： $$樣本平均值\bar x=(63+81+75 +67+54 +86)\div 6=71\\  \Rightarrow s^2=(63-71)^2 + (81-71)^2 +(75-71)^2 +(67-71)^2 +(54-71)^2 +(86-71)^2 \\ =64+100 +16+16+289+225 = 710 \Rightarrow 樣本標準差=\sqrt{710\over 6-1} = \sqrt{142} \approx 12，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

---

14. 設圓$C: x^2 + y^2 = k$，若A(3,-1)在圓 C 的內部，B(-2,5) 在圓 C 的外部，求 k 的範圍為何? 

(A)10 < k < 29 (B) k <10 或 k > 29 (C) k <10 (D) k > 29 

解：

$$x^2+y^2=k \Rightarrow \begin{cases}圓心O(0,0)\\半徑r=\sqrt{k}\end{cases} \\又 \begin{cases} A(3,-1)在圓內\\ B(-2,5)在圓外\end{cases}  \Rightarrow \begin{cases}\overline{AO}<r\\ \overline{OB}>r\end{cases}  \Rightarrow \begin{cases}\sqrt{10}< \sqrt{k}\\ \sqrt{29}> \sqrt{k}\end{cases} \Rightarrow 10<k<29，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

---

15. 已經A(0,-3) , B(4,-3)，$\overline{AB}$ 為圓 C 的直徑，若P(x, y) 為此圓 C 上之動點，求$3x - 4y$ 之最大值為何? 

(A)6 (B)10 (C)25 (D)28

解：
$$\begin{cases}A(0,-3)\\B(4,-3)\end{cases}  \Rightarrow \begin{cases} 圓心O(2,-3)\\ 半徑r=\overline{AB}\div 2=4\div 2=2\end{cases}  \Rightarrow 圓C:(x-2)^2+(y+3)^2=2^2 \\ \Rightarrow P(x,y) =P(2\cos \theta+2,2\sin\theta -3)  \Rightarrow 3x-4y=6\cos \theta+6-8\sin \theta+12 =6\cos \theta-8\sin \theta+18 \\=10\left({6\over 10}\cos \theta-{8 \over 10}\sin \theta \right)+18 =10(\sin \alpha\cos \theta-\cos \alpha\sin \theta)+18 =10\sin(\alpha-\theta)+18 \\ \Rightarrow 最大值為10+18=28，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

---

16. 求平行直線L : 3x + 2y =11且與圓 $C: x^2 + y^2 - 4x + 6y -3 = 0$ 相切之切線方程式為?

(A)$3x+2y\pm 4\sqrt{13}=0$  (B)$3x+2y-2\pm 3\sqrt{13}=0$   
 (C)$3x+2y\pm 2\sqrt{13}=0$   (D)$3x+2y+1\pm \sqrt{13}=0$  
解： $$圓C:x^2+y^2-4x+6y-3=0 \Rightarrow (x-2)^2+(y+3)^2=4^2 \Rightarrow  \begin{cases}圓心O(2,-3) \\半徑r=4\end{cases} \\ 與L平行的直線M:方程式為3x+2y+k=0，又M與圓相切 \Rightarrow \text{dist}(M,O)=r\\  \Rightarrow \left| {6-6+k\over \sqrt{3^2+2^2}}\right|=4 \Rightarrow {k \over \sqrt{13}}=\pm 4 \Rightarrow k=\pm 4\sqrt{13}\\ \Rightarrow 直線M:3x+2y\pm 4\sqrt{13}=0，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

---

17. 關於抛物線: $x^2 - 2x - 4y + 9 = 0$，下列敘述何者正確? 

 (A)頂點(2,1) (B)焦點(2,2) (C)準線:y=1 (D)正焦弦長為 1

解： $$x^2-2x-4y+9=0 \Rightarrow x^2-2x+1=4y-8 \Rightarrow (x-1)^2=4(y-2) \Rightarrow  \begin{cases} 頂點(1,2)\\ c=1\end{cases} \\ \Rightarrow 焦點(1,2+1)=(1,3) \Rightarrow 準線: y=2-1=1\\又y=3時 \Rightarrow (x-1)^2=4 \Rightarrow x=3或-1 \Rightarrow 正焦弦長=3-(-1)=4，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

---

18. 平面上，與兩點(1,6) , (1,-4) 距離差之絕對值為 6 的圖形，其正焦弦長為? 

 (A)8 (B)10 (C) ${16\over 5}$ (D) ${32\over 3}$

解： $$由題意可知: \begin{cases}F_1(1,6)\\ F_2(1,-4) \\ 2a=6 \Rightarrow a=3\end{cases}  \Rightarrow \overline{F_1F_2}=10=2c  \Rightarrow c=5   \Rightarrow b= \sqrt{c^2-a^2}=4\\ \Rightarrow 正焦弦長= \cfrac{2b^2}{a}= \cfrac{2 \times 4^2}{3}= \cfrac{32}{3}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

---

19. 若點P 為橢圓$\cfrac{x^2}{9} +\cfrac{y^2}{25}=1$，求點P 到此橢圓中心距離為整數的點，共有幾個? 

 (A)2 (B)4 (C)8 (D)12

解：

由方程式可知：長軸兩端點距中心點為5、短軸兩端點距中心點為3，因此橢圓還有四點距中心點為4，因此有2+2+4=8個點到中心點的距離為整數點，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

---

20. 若函數 $f (x) = (2x +1)(x^2 -3x +5)$ ，求 f ' (0) =？ 

 (A)0 (B)7 (C) -3 (D) -5

解： $$f(x)=(2x+1)(x^2-3x+5) \Rightarrow f'(x)=2(x^2-3x+5) +(2x+1)(2x-3)\\ \Rightarrow f'(0)=2\cdot 5-3=7，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

---

21. 設$a_n=(1-{1\over 4})(1-{1\over 9})(1-{1\over 16})\cdots (1-{1\over n^2})$，求$\lim_{n\to\infty} a_n=$？

(A) 不存在  (B) ${3\over 4}$  (C) 2   (D) ${1\over 2}$

解： $$a_n=(1-{1\over 4})(1-{1\over 9})\cdots (1-{1\over n^2}) ={2^2-1\over 2^2}\cdot {3^2-1\over 3^2}\cdots{n^2-1\over n^2}\\ ={(2-1)(2+1) \over 2^2} \cdot {(3-1)(3+1) \over 3^2} \cdots {(n-1)(n+1) \over n^2} \\ = {1\cdot 3 \over 2^2} \cdot {2\cdot 4 \over 3^2}\cdot {3\cdot 5 \over 4^2} \cdots {(n-3)(n-1) \over (n-2)^2} \cdot{(n-2)(n) \over (n-1)^2} \cdot {(n-1)(n+1) \over n^2} \\ = \cfrac{1\cdot 2\cdot 3^2 \cdot 4^2\cdots (n-1)^2\cdot n\cdot (n+1)}{2^2\cdot 3^2\cdots (n-1)^2\cdot n^2} =  \cfrac{1\cdot 2\cdot  n\cdot (n+1)}{2^2\cdot  n^2} =\cfrac{n(n+1)}{2n^2} \\ \Rightarrow \lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty} \cfrac{n(n+1)}{2n^2} =\cfrac{1}{2}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

---

22. 求$f (x) = 2x^3 -3x^2 -12x +5$在區間[0,3]的最大值為何? 

 (A)5 (B) -15 (C)12 (D) -3

解：

$$f (x) = 2x^3 -3x^2 -12x +5 \Rightarrow f'(x)=6x^2-6x-12 \Rightarrow f''(x)=12x-6\\ f'(x)=0  \Rightarrow 6x^2-6x-12=0 \Rightarrow (x-2)(x+1)=0 \Rightarrow x=2,-1有極值\\ 又 \begin{cases}f''(2)= 24-6>0\\ f''(-1)=-12-6<0\end{cases}  \Rightarrow  \begin{cases}f(2)為極小值\\f(-1)為極大值\end{cases} \Rightarrow  \begin{cases}f(x)在區間[0,2]為遞減\\ f(x) 在區間[2,3]為遞增\end{cases}  \\\Rightarrow f(x)在區間[0,3]的最大值為f(0)或f(3)，由f(0)=5及f(3)=54-27-36+5=-4\\  \Rightarrow f(0)>f(3) \Rightarrow f(x)在區間[0,3]的最大值為f(0)=5，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

---

23. 設deg f (x) = 3，已知 f (0) = -1, f ' (0) = 2, f '' (0) = -12, f ''' (0) = 6，求 f (2) = ? 

 (A)24 (B) -13 (C) -3 (D)1

解： $$\text{deg }f=3 \Rightarrow f=ax^3+bx^2+cx +d \Rightarrow  \begin{cases}f'(x) = 3ax^2+2bx +c\\ f''(x)=6ax+2b \\ f'''(x)=6a\end{cases} \\ 因此  \begin{cases}f(0)=-1\\f'(0) = 2 \\ f''(0)=-12 \\ f'''(0)=6\end{cases}  \Rightarrow \begin{cases}d=-1\\c = 2 \\ 2b=-12  \Rightarrow b=-6\\ 6a=6  \Rightarrow a=1\end{cases}\\ \Rightarrow f(x)=x^3-6x^2+2x-1 \Rightarrow f(2)=8-24+4-1=-13，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

---

24. 試求$\int_{-3}^3|x|\;dx=$？

(A)0 (B)3 (C)6 (D)9 

解： $$\int_{-3}^3|x|\;dx= 2\int_0^3x\;dx= \left . x^2 \right|_0^3=9，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

---

25. 求$y = -x^2 + 2x + 4$ 與 y = x - 2所圍區域面積為何?

(A) $\cfrac{12}{5}$  (B) $\cfrac{25}{2}$  (C) $\cfrac{125}{6}$  (D) $\cfrac{64}{3}$  

解：

$$\begin{cases}y = -x^2+2x+4\\ y=x-2\end{cases}  \Rightarrow 求交點: -x^2+2x+4= x-2 \Rightarrow x^2-x-6=0 \Rightarrow (x-3)(x+2)=0\\  \Rightarrow  \begin{cases}x = 3 \Rightarrow y=3-2=1\\ x=-2  \Rightarrow y=-2-2=-4\end{cases}  \Rightarrow 交點 \begin{cases}A(-2,-4)\\B(3,1)\end{cases}  \\\Rightarrow 面積=\int_{-2}^3 (-x^2+2x+4)-(x-2)\;dx = \int_{-2}^3 -x^2+x+6\;dx= \left. \left[ -{1\over 3}x^3+ {1\over 2}x^2+6x\right] \right|_{-2}^3 \\ = \left( -9+{9\over 2}+18 \right) - \left({8\over 3}+2-12 \right) =9+{9\over 2}+10-{8\over 3}=19+{11\over 6}= {125 \over 6}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

---

解題僅供參考