100學年度臺北市聯合轉學考-高中升高二-數學科詳解

臺北市高級中等學校 100 學年度聯合轉學考招生考試
升高二數學科試題

一、單選題

解：
$$\sqrt{ 17-2\sqrt{72}} = \sqrt{(\sqrt 9-\sqrt 8)^2} =\sqrt 9-\sqrt 8=3-2\sqrt 2 =3-2\times 1.414 =0.172， 故選：\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$y=f(x)=-(x-3)(x+5) =-(x^2+2x-15) =-((x+1)^2-16) \Rightarrow 對稱於x+1=0\\， 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
$$\begin{cases} f(x_1)=y_1 \\ f(x_2)=y_2 \\ f(x_3)=y_3 \\ f(x_4)=y_4 \\\end{cases} ,\text{由 Lagrange 插值多項式可知:}\\ f(x)= y_1{(x-x_2) (x-x_3)(x-x_4) \over (x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_1-x_4)} +y_2{(x-x_1) (x-x_3)(x-x_4) \over (x_2-x_3)(x_2-x_3)(x_2-x_4)} \\ \qquad +y_3{(x-x_1) (x-x_2)(x-x_4) \over (x_3-x_1)(x_3-x_2)(x_3-x_4)} +y_4{(x-x_1) (x-x_2)(x-x_3) \over (x_4-x_1)(x_4-x_2)(x_4-x_3)}\\ 現在\begin{cases} f(2)=4 \\ f(3)=5 \\ f(-3)=6 \\ f(1)=6 \\\end{cases} \Rightarrow f(x)=4{(x-3)(x+3)(x-1) \over -1\cdot 5\cdot 1} +5{(x-2)(x+3)(x-1) \over 1\cdot 6\cdot 2}\\ \qquad \qquad+6{(x-2)(x-3)(x-1) \over -5\cdot (-6)\cdot (-4)} + 6{(x-2)(x-3)(x+3) \over -1\cdot (-2)\cdot 4} \\ \Rightarrow f(-2)= f(x)=4{(-2-3)(-2+3)(-2-1) \over -5} +5{(-2-2)(-2+3)(-2-1) \over 12}\\\qquad +6{(-2-2)(-2-3)(-2-1) \over -120} + 6{(-2-2)(-2-3)(-2+3) \over 8} \\= -{4\over 5}\times 15+ {5\over 12}\times 12-{1\over 20}\times (-60) +{3\over 4}\times 20 =-12+5+3+15 = 11， 故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

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解： $$\begin{cases} \log \sqrt 2= {1\over 2}\log 2= {1\over 2} \times 0.301 =0.1505\\ \log \sqrt[3]{3} ={1\over 3} \log 3 ={1\over 3} \times 0.4771 =0.159 \\ \log \sqrt[4]{4} ={1\over 4} \log 4 ={1\over 2} \log 2 =0.1505 \\ \log \sqrt[5]{5} ={1\over 5} \log 5 ={1\over 5} (1-\log 2)={1\over 5} \times(1- 0.301) =0.139 \\\end{cases} \Rightarrow \sqrt[3] 3 最大， 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
$$mx^2+10x+m+6>2 \Rightarrow mx^2+10x+m+4 >0 \Rightarrow \begin{cases} 判別式小於0 \\ m>0 \end{cases} \\\Rightarrow 100-4m(m+4)< 0 \Rightarrow m^2+4m-25>0 \Rightarrow \begin{cases} m>-2+\sqrt{29} \\ m<-2-\sqrt{29}(不合, \because m>0) \end{cases}\\， 故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

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解：
$${1\over 3x-2} \ge x \Rightarrow {1\over 3x-2}-x \ge 0 \Rightarrow {1-3x^2+2x \over 3x-2} \ge 0 \Rightarrow (3x-2)(3x^2-2x-1) \le 0 \\ \Rightarrow (3x-2)(3x+1)(x-1) \le 0 \Rightarrow \begin{cases} 2/3< x \le 1 \\ x< -1/3\end{cases}， 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：

$$x^{1/2}+x^{-1/2} =3 \Rightarrow (x^{1/2}+x^{-1/2})^2 =3^2 \Rightarrow x+x^{-1}=9-2=7\\ \Rightarrow (x^{1/2}+x^{-1/2})(x+x^{-1})= 3\times 7 \Rightarrow (x^{1/2}+x^{-1/2})+ (x^{3/2}+x^{-3/2})=21\\ \Rightarrow x^{3/2}+x^{-3/2}=21-3=18 \Rightarrow \cfrac{x^{3/2}+x^{-3/2}+2}{x+x^{-1} +3} =\cfrac{18+2}{ 7+3} =2， 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\log(\log x)的首數為0 \Rightarrow 1\le \log x <10 \Rightarrow 10 \le x< 10^{10} \Rightarrow 共有10^{10}-10個整數，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：

$$a_n= 5n+a_{n-1}-(2n-1) = a_{n-1}+3n+1 \Rightarrow a_4=a_3+3\times 4+1 = 22+13=35 \\ \Rightarrow a_5= 35+3\times 5+1=51，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\begin{array}{} a_1& = &1 \\ a_2 &=& a_1+2^2 \\ a_3 & = & a_2+3^2 \\ \cdots\\ a_{n-1} &= & a_{n-2}+(n-1)^2 \\ a_n &=& a_{n-1}+n^2 \\\hline a_n &=& 1+2^2+\cdots +n^2 \\ &=& n(n+1)(2n+1) \div 6 \end{array} \Rightarrow \begin{cases} a_5= 5\times 6 \times 11 \div 6= 55 \\ a_6 = 6\times 7\times 13 \div 6=91 \\ a_7= 7\times 8 \times 15 \div 6=140 \\ a_8= 8\times 9\times 17 \div 6=204 \\ a_9= 9\times 10\times 19 \div 6= 285 \end{cases}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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11. 某次旅遊多收了 6 個客人，將這 6 人編入甲、乙、丙三輛遊覽車中，但每車不得分配超過 4 人，請問有多少種分配的方法？

(A) 690 (B) 696 (C) 702 (D) 708 (E) 714

解：

$$6人分3車，共有3^6 = 729種分配法；有車超過4人的分法:\\ (甲,乙,丙)=(5,1,0) 排列，有3!種排法，每1種有C^6_5分法，共有3!\times C^6_5=36種分配;\\ (甲,乙,丙)=(6,0,0)排列，有3種排法，每1種有C^6_6分法，共有3\times C^6_6=3種分配；\\ 因此共有729-36-3= 690 種分配法，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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12. 如右圖，一個正八面體由 8 個正三角形組成，從上方頂點 A 沿著稜線走到下方另一頂點 B，但同一點不能重複經過(不一定經過所有的頂點)，請問有多少種不同的走法？

(A) 16

(B) 18

(C) 20

(D) 24

(E) 28

解：

走2步: A→{P,Q,R,S}→B，共4種

走3步: A→{P→{Q,S}, Q→{P,R},R→{S,Q},S→{P,R}}→B，共4x2=8種;

走4步: A→{P→{Q→R,S→R}, Q→{P→S,R→S},R→{S→P,Q→P},S→{P→,R→Q}}→B，共4x2=8種;

走5步: A→{P→{Q→R→S,S→R→Q}, Q→{P→S→R,R→S→P},R→{S→P→Q,Q→P→S}, S→{P→Q→R, R→Q→P}}→B，共4x2=8種;

總共有4+8+8+8 =28，故選$\bbox[red, 2pt]{(E)}$。

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13. 設袋中有編號 1～10 的 10 個球，每次任意取一球，取後不放回，共取三次。則三次所得球號之和等於 10 的機率為何？

(A) 1/18  (B) 1/24  (C) 1/30  (D) 1/32  (E) 1/36

解： $$10= 1+2+7 = 1+3+6=1+4+5 = 2+3+5 ，共有四組數字，每一組數字有3!=6種排列\\，因此共有4\times 6=24種組合，機率為24/(10\times 9\times 8) =1/30，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：

$$標準差=\sqrt{EX^2-(EX)^2} =\sqrt{{2440\over 10}-({120\over 10})^2} = \sqrt{244-144}=10，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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二、多重選擇題

解：
$$(B)\times:\begin{cases}a=\sqrt 3\\b=-\sqrt 3\\ a-b=2\sqrt 3\end{cases} \Rightarrow a+b=0為有理數 \\(C) \times: a=\sqrt[3] 3 為無理數\Rightarrow \begin{cases} a^3=3 \\ a^6=9\end{cases}皆為有理數\\，故選\bbox[red,2pt]{(ADE)}$$

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解：
$$1+2+\cdots+n = {n(n+1) \over 2} = \begin{cases} 190 & n=19 \\ 210 & n=20 \end{cases}\Rightarrow 198 在第20個括號內\\又第20個括號(191,192,\dots,198,\dots,209) \Rightarrow 198在第8個\Rightarrow \begin{cases} a=20 \\ b=8\end{cases}，故選\bbox[red,2pt]{(ABCE)}$$

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解：
$$水平線、垂直線與圓形都是零相關，故選\bbox[red,2pt]{(CD)}$$

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18. 宴會在場的 50 位賓客有人偷了主人的珠寶，警方動用測謊器，且只問每個客人一個問題：「你有沒有偷珠寶？」，而所有的客人均不承認偷竊。已知若某人說謊，則測謊器顯示他說謊的機率為 99％；若某人誠實，則測謊器顯示他誠實的機率是 90％。下列敘述何者正確？

(A) 假設竊賊只有一人，當賓客受測時，測謊器顯示賓客說謊的機率大於 10％。

(B) 假設竊賊只有一人，當測謊器顯示一賓客說謊時，該賓客正是竊賊的機率大於 50％。

(C) 假設竊賊只有一人，當測謊器顯示一賓客誠實時，該賓客卻是竊賊的機率小於 20％。

(D) 當測謊器顯示一賓客說謊時，該賓客是竊賊的機率，並不因竊賊人數多少而改變。

(E) 假設竊賊只有一人，則測謊器顯示所有賓客均未說謊的機率為 0。

解：
$$全都不承認偷竊 \Rightarrow 小偷說謊且其他人都誠實\\ (A)\bigcirc:測謊器顯示賓客說謊的平均機率:{49\times 10\%+ 1\times 99\% \over 50}= 11.78\% > 10\% \\(B) \times: {竊賊說謊且顯示說謊 \over 測謊器顯示賓客說謊} = {{1\over 50}\times 0.99 \over 0.1178} = 0.168 < 50\% \\ (C) \bigcirc:  {竊賊說謊但顯示誠實 \over 測謊器顯示賓客誠實} = {{1\over 50}\times 1\% \over {1\over 50}\times 1\% +{49 \over 50}\times 90\%} ={10 \over 451} =0.022 < 0.2 \\ (D) \times: 若竊賊有x人，其他有50-x人，則{竊賊說謊且顯示說謊 \over 測謊器顯示賓客說謊}={{x\over 50}\times 99\% \over {x\over 50}\times 99\% +{50-x \over 50}\times 10\%}\\ \qquad ={99x \over 89x+500}  \Rightarrow 機率隨著竊賊人數而改變 \\ (E) \times: 由(C)知該機率並非0\\，故選\bbox[red,2pt]{(AC)}$$

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解： $$\begin{array}{c|cc|ccc}i & x_i & y_i & x_iy_i & x_i^2 & y_i^2 \\\hline 1 & 7 & 5 & 35 & 49 & 25 \\ 2 & 5 & 5 & 25 & 25 & 25 \\ 3 & 1 & 6 & 6 & 1 & 36 \\ 4 & 4 & 4 & 16 & 16 & 16 \\ 5 & 3 & 5 & 15 & 9 & 25 \\\hline \sum & 20 & 25 &97 & 100&127\end{array} \\\Rightarrow 斜率m={\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y) \over \sum (x_i-\bar x)^2} = {n\sum x_iy_i - \sum x_i \sum y_i \over n\sum x_i^2 -(\sum x_i)^2} = {5\times 97-20\times 25 \over 5\times 100-20^2}=-{3\over 20}\\ 迴歸直線: y=-{3\over 20}x+k, 並經過(\bar x,\bar y)=(20/5,25/5) =(4,5) \Rightarrow 5=-{3\over 5}+k \Rightarrow k={28\over 5}\\ \Rightarrow 迴歸直線: y=-{3\over 20}x+ {28\over 5} \Rightarrow 3x+20y=112 \Rightarrow \begin{cases} a=3\\ b=20 \end{cases} \rightarrow b-5a=20-15=5>0\\，故選\bbox[red,2pt]{(BE)}$$

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解題僅供參考