109年公務人員普通考試試題
類科:氣象科目:微積分

解:
h(x)=f(g(x))+f(2x)f(2x)+g(x)⇒h′(x)=f′(g(x))g′(x)+2f′(2x)f(2x)+g(x)−f(2x)(2f′(2x)+g′(x))(f(2x)+g(x))2⇒h(1)=f(g(1))+f(2)f(2)+g(1)=f(2)+f(2)f(2)+g(1)=2+22+2=52⇒h′(1)=f′(2)g′(1)+2f′(2)f(2)+g(1)−f(2)(2f′(2)+g′(1))(f(2)+g(1))2=9+64−2(6+3)42=758過(1,h(1))=(1,5/2)的直線斜率為75/8⇒方程式為:y−52=758(x−1)⇒75x−8y=55
解:
先計算左半部:∫e5xcos2xdxcos2x+isin2x=e2xi⇒∫e5x⋅e2xidx=∫e(5+2i)xdx=15+2ie(5+2i)x=15+2ie5x(cos2x+isin2x)=5−2i29e5x(cos2x+isin2x),實數部份為529e5xcos2x+229e5xsin2x=e5x29(5cos2x+2sin2x)再計算右半部:∫xsecx2dx令u=x2⇒du=2xdx⇒∫xsecx2dx=12∫secudu=12ln|secu+tanu|=12ln|secx2+tanx2|⇒∫e5xcos2x+xsecx2dx=e5x29(5cos2x+2sin2x)+12ln|secx2+tanx2|+C
解:
f(x,y,z)=2√x2+y2+z2=2(x2+y2+z2)−1/2⇒{∂f∂x=−2x(x2+y2+z2)−3/2∂f∂y=−2y(x2+y2+z2)−3/2∂f∂z=−2z(x2+y2+z2)−3/2⇒{∂2f∂x2=−2(x2+y2+z2)−3/2+6x2(x2+y2+z2)−5/2∂2f∂y2=−2(x2+y2+z2)−3/2+6y2(x2+y2+z2)−5/2∂2f∂z2=−2(x2+y2+z2)−3/2+6z2(x2+y2+z2)−5/2⇒∂2f∂x2+∂2f∂y2+∂2f∂z2=−6(x2+y2+z2)−3/2+6(x2+y2+z2)−3/2=0

解:
{Fx=λGx+μHxFy=λGy+μHyFz=λGz+μHzG=2H=1⇒{1=2λx+μ3=18λy5=5μx2+9y2=2x+5z=1⇒{λx=0λy=1/6μ=1x2+9y2=2x+5z=1λx=0⇒λ=0或x=0,若λ=0⇒λy≠1/6,因此λ≠0⇒x=0⇒{9y2=25z=1⇒(0,±√2/3,1/5)為臨界點⇒{F(0,√2/3,1/5)=0+√2+1=√2+1F(0,−√2/3,1/5)=0−√2+1=1−√2最大值:1+√2,最小值:1−√2
{Fx=λGx+μHxFy=λGy+μHyFz=λGz+μHzG=2H=1⇒{1=2λx+μ3=18λy5=5μx2+9y2=2x+5z=1⇒{λx=0λy=1/6μ=1x2+9y2=2x+5z=1λx=0⇒λ=0或x=0,若λ=0⇒λy≠1/6,因此λ≠0⇒x=0⇒{9y2=25z=1⇒(0,±√2/3,1/5)為臨界點⇒{F(0,√2/3,1/5)=0+√2+1=√2+1F(0,−√2/3,1/5)=0−√2+1=1−√2最大值:1+√2,最小值:1−√2
解:
∭V(x+y3+z5)2dxdydz=∫50∫(15−3z)/50∫(15−5y−3z)/150(x+y3+z5)2dxdydz=∫50∫(15−3z)/50[13(x+y3+z5)3]|1−y/3−z/50dydz=∫50∫(15−3z)/5013(1−(13y+15z)3)dydz=13∫50[y−34(13y+15z)4]|(15−3z)/50=∫5034−15z+14(15z)4dz=[34z−110z2+14(15z)5]|50=32
-- END (僅供參考) --
感謝分析解答
回覆刪除第五題的第二行 x代入上限1-y/3-z/5 減掉x下限0。 應該是1/3-1/3*(y/3+z/5)的三次方
是否有漏掉呢?
已修訂,謝謝提醒
刪除https://imgur.com/HAidoDU
刪除第五題是不是應該這樣算呢?
謝謝提供資料,感覺差不多,我再細算,看看差異
刪除謝謝,已修訂完畢
刪除第一題h(1)是 5/2 喔
回覆刪除已修訂,謝謝提醒
刪除第五題倒數第二個式子的第一個正負號相反了喔
回覆刪除應該是負號~
-(1/10)z^2
對!已修訂,謝謝!
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