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2020年7月6日 星期一

109年大學指考數學甲詳解


109學年度指定科目考試試題
數學甲
第壹部分:選擇題
一、單選題

解:
45<θ<50{sinθ>22>cosθ>0tanθ>1{a=1cos2θ=sin2θ>1212<a<1b=1cosθcosθ=1cos2θcosθ=acosθ>ac=tanθtan2θ+1=12sin2θ=sinθcosθ<sinθsinθ=aa>cb>a>c(5)

2.有A,B兩個箱子,其中A箱有6顆白球與4顆紅球,B箱有8顆白球與2顆藍球。現
有三種抽獎方式(各箱中每顆球被抽取的機率相同):
(一)先在A箱中抽取一球,若抽中紅球則停止,若抽到白球則再從B箱中抽取一球;
(二)先在B箱中抽取一球,若抽中藍球則停止,若抽到白球則再從A箱中抽取一球;
(三)同時分別在A,B箱中各抽取一球。
給獎方式為:在紅、藍這兩種色球當中,若只抽到紅球得50元獎金;若只抽到藍球得100元獎金;若兩種色球都抽到,則仍只得100元獎金;若都沒抽到,則無獎金。將上列(一)、(二)、(三)這3種抽獎方式所得獎金的期望值分別記為E1E2E3, 試 選 出 正 確 的 選 項 。(1)E1>E2>E3(2)E1=E2>E3(3)E2=E3>E1(4)E1=E3>E2(5)E3>E2>E1

解:
()A4/105020A,B610×81000A,B610×21010012()B21010020B,A810×61000B,A810×4105016()A,B610×81000A,B610×21010012A,B410×8105016A,B410×2101008{E1=20+12=32E2=20+16=36E3=12+16+8=36E2=E3>E1(3)



解:
1000×2.4x3.5=4×1010log(1000×2.4x3.5)=log(4×1010)3+x3.5log2.4=10+2log2x=3.5×(7+2log2)log2.4=3.5×(7+2log2)log3+3log21=3.5×(7+2×0.301)0.4771+3×0.3011=3.5×7.6020.3801=3.5×20=70(2)

二、多重選擇題

解:
(1)×:{A=(1,0)B=(1,0)OA+OB=(1,0)+(1,0)=(0,0)=O(2)×:{A=(3,0)B=(1,0){OC1=(2,0)OC2=(1,0)OC3=(0,0)¯OC1>¯OC2>¯OC3(3)×:(2){OA=(3,0)OC1=(2,0)OC2=(1,0)OC3=(0,0){OAOC1=6OAOC2=3OAOC3=0OAOC1>OAOC2>OAOC3(4):{OC1=OA+OBOC2=OA+2OBOC3=OA+3OB{OC1OB=OAOB+|OB|2OC2OB=OAOB+2|OB|2OC3OB=OAOB+3|OB|2OC1OB<OC2OB<OC3OB(5):OC3OC1OC2OC1=2OBOB=C1,C2,C3(4,5)


解:
(1):[a]滿a1<[a]a(2)×:nθ1<[nθ]nθnθ1n<[nθ]nnθnθ1n<[nθ]nθlimn(θ1n)<limn[nθ]nlimnθθ<limn[nθ]nθlimnbn=θbn(3)×:nθ1<[nθ]nθnθ1n<[nθ]nnθnθ1n<[nθ]nθlimn(θ1n)<limn[nθ]nlimn(θ)θ<limn[nθ]nθlimncn=θcn(4)×:limnn[θn]=limn[θn]1/n=limn([θn])(1/n)=limn01/n2=0limndn=0dn:([x])={0,x,x(5):limnn[θn]=limnn×limn[θn]=×(1)=en(1,5)


解:(1):F(x)=f(x)F(x)F(0)=x0f(t)dtF(a)F(0)=a0f(t)dt(2):F(x)=xQ(x)+C,CF(x)=Q(x)+xQ(x)F(0)=f(0)=Q(0)+0f(0)=Q(0)(3)×:f(x)=x(x+1)=x2+xF(x)=13x3+12x2+cF(x)F(0)=13x3+12x2=(x+1)2(13x16)+16(x+1)2(4)×:F(x)=x2F(x)12x2=12x20F(x)12x2f(x)=F(x)=2xf(x)x=x0(5)×:f(x)={x0x1x21<xx>0,f(x)xF(x)={12x20x113x31<x{F(1.1)=131.130.44121.12=0.605x=1.1F(x)12x2(1,2)


解:

z=cosθ+isinθz+1=(1+cosθ)+isinθ|z+1|=1(1+cosθ)2+sin2θ=12+2cosθ=1cosθ=12θ={2π/34π/4z={cos(2π/3)+isin(2π/3)cos(4π/3)+isin(4π/3)z={1/2+i3/2A1/2i3/2A(1):BA()¯AB(2)×:OAB(3)×:A(4):z={cos(2π/3)+isin(2π/3)cos(4π/3)+isin(4π/3)z3={cos2π+isin2π=1cos4π+isin4π=1z3=1(5):z=A()1z=A1+A=B(1,4,5)


解:

(1)×:{A3=AA2=I(2):B=[cosθsinθsinθcosθ]B3=[cos3θsin3θsin3θcos3θ]=[1001]3θ=π±2kπ,kZθ=π3±23kπθ=π3,π,53π,...B={[1/23/23/21/2]=B1,θ=π3[1001]=B2,θ=33π[1/23/23/21/2]=B3,θ=53π(3)×:{A=[0110]B=B1=[1/23/23/21/2]{AB=[3/21/21/23/2]BA=[3/21/21/23/2]ABBA(4)×:{det(A)=1det(B)=1det(AB)=det(A)det(B)=1AB(5):{AB1AB1=IAB2AB2=IAB3AB3=IABAB=I(2,5)

三、選填題(36%)

解:
{x3y5z=0(1)x3y+2z=0(2)x+y=t(3)(1)(2){z=0x3y=0(4)(3)(4){x=3t/4y=t/4P(3t4,t4)¯OP=10=9t216+t216100=10t216t2=160t=410(t>0)




{A(1,1)B(x,y)P(4,2){¯AB¯BP=310{PAPB=(3,1)(x4,y2)=0(x4)2+(y2)2=90(1)3x+12y+2=0y=143x(1)(x4)2+(3x12)2=90x28x+7=0(x7)(x1)=0x={17y={117B(7,7)(B(1,11)B4)




解:

{O(0,0,0)P(0,0,150)A(m,n,0)B(p,q,0)C(m+p2,n+q2){PO=(0,0.150)PA=(m,n,150)PB=(p,q,150)PC=(m+p2,n+q2,150){cos(9030)=PAPO|PA||PO|cos(9060)=PBPO|PB||PO|cos(9045)=PCPO|PC||PO|{cos60=(m,n,150)(0,0,150)m2+n2+1502×150=12cos30=(p,q,150)(0,0,150)p2+q2+1502×150=32cos45=((m+p)/2,(n+q)/2,150)(0,0,150)(m+p)24+(n+q)24+1502×150=22{m2+n2=67500p2+q2=7500(m+p)2+(n+q)2=900002mp+2nq=90000675007500=15000mp+nq=7500OAB=12|OA|2|OB|2(OAOB)2=12(m2+n2)(p2+q2)(mp+nq)2=1267500×750075002=1245×107=10002450=500152×2=75002


解:

(1)y=ax+bC(3,2)D(4,0){2=3a+b0=4a+b{a=2b=8(2):y=f(x)A(0,0)D(4,0){f(0)=0f(4)=0x=0,4f(x)=0f(x)f(x)=x(x4)(px+q)f(x)x(x4)=x24x(3)(1)A(0,0)B(1,4)y=4x{L1:y=4xL2:y=2x+8{m1=4m2=2{f(0)=4f(4)=2(2)f(x)=x(x4)(px+q)=px3+(q4p)x24qxf(x)=3px2+2(q4p)x4qf(0)=4q=4q=1f(x)=3px2+2(14p)x+4f(4)=48p+8(14p)+4=2p=1/8f(x)=18x332x2+4x(4)f(x)=x(x4)(18x1)=18x332x2+4x62|8f(x)|dx=8(|42f(x)dx|+|64f(x)dx|)=8(|[132x412x3+2x2]|42|+|[132x412x3+2x2]|64|)=8(|892|+|928|)=8×7=56

解:

(1){C(0,1,0)G(0,1,1)P=(C+G)/2=(0,1,12)(2) ¯BQ=tQ(1,1,t)QP=(1,0,12t);AQPRAR=QP=(1,0,12t) (3)=13|(AR×AQ)PG|=13|((1,0,12t)×(0,1,t))(0,0,12)|=13|(t12,t,1)(0,0,12)|=1312=16t(4)(3):dist(G,E)=|2t12t2+1|=|12|18+1=1/29/8=1/23/22=23

-- END   (僅供參考)  --

10 則留言:

  1. 老師
    有沒有考慮提供,109數甲補考的詳解 謝謝

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  2. 請問第五題的解法中(4)使用了L'Hopital rule,但同樣的方法在(5)中使用會適用嗎?

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    1. 因為(4)分子分母都趨近於0,適用羅必達,而(5)並沒有分子分母都為0或無窮大的情形,不適用羅必達!!

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  3. 您好
    非選題的第二大題的第(2)、(3)詳解有誤

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  4. 請問非選第二大題的(3)
    為何是dot PQ向量?

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  5. 第六題第三個選項好像有打錯,應該是1/3X^3+1/2X^2+C

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