新北市立高級中等學校109學年度教師聯合甄選數學科試題
一、填充題: 70%,每題 7 分解:
假設{R:紅燈X:非紅燈⇒{R→X:機率為1X→R:機率1/4X→X:機率3/4R→X→R→X→X→R⇒機率=1×14×1×34×14=364R→X→X→R→X→R⇒機率=1×34×14×1×14=364R→X→X→X→X→R⇒機率=1×34×34×34×14=2764⇒機率為364+364+27256=51256
解:
令{#(B)=B集合元素個數#(C)=C集合元素個數,若#(B)=k,0≤k≤102,則#(C)=102−k,102−k+1,...,102因此(B,C)共有102∑n=0C102n(Cn0+Cn1+…Cnn)=102∑n=0C102n⋅2n=(2+1)102=3102
3. 一模型公司在一個內部邊長為 2 單位的透明正立方體箱子內放置一顆半徑為 1 單位的黃球,然後又在箱子的八個角落再塞入 8 顆半徑相同的小紅球,如下圖所示:
試求:小紅球的最大半徑為 單位。解:
正立方體的對角線長為2√3,扣除球直徑2,剩下2√3−2,即單邊剩下空間對角線長為2√3−22=√3−1;令小球半徑r⇒√3−1=r+r√3⇒r=√3−1√3+1⇒4−2√32=2−√3
解:
{loga20=30+p1,0≤p1<1log(1b)20=−25+p2,0≤p2<1⇒{20loga=30+p1−20logb=−25+p2⇒{5loga=30/4+p1/420logb=25−p2=24+p3,0≤p3<1⇒{5loga=30/4+p1/45logb=24/4+p3/4⇒5(loga+logb)=log(ab)5=13+12+p1+p34;由於0<12+p1+p34<1⇒(ab)5是13+1=14位數
解:
此題相當於求x+y+z=10的整數解,需滿足條件:x≥1,y≥2,z≥3xyz12736455463226354453325344342433523⇒共有15種裝法
解:
令∠P1OQ2=θ⇒{h1=sinθh2=sin(θ+45∘)⇒h1+h2=sinθ+sin(θ+45∘)=sinθ+√22(sinθ+cosθ)=√22cosθ+2+√22sinθ≡acosθ+bsinθ⇒最大值為√a2+b2=√24+6+4√24=√2+√2⇒△P1OQ1+△P2OQ2最大值為12√2+√2
解:
∠BAC=60∘⇒∠COB=120∘⇒∠COD=60∘⇒{¯DO=1/2¯CD=√3/2⇒{A(1,0)B(−1/2,−√3/2)C(−1/2,√3/2)P(3,0)⇒{¯PA=2¯PB=√49/4+3/4=√13¯PC=¯PB=√13⇒¯PA2+¯PB2+¯PC2=4+13+13=30
解:
(1+x5+x7+x12)20=(1+x5+x7(1+x5))20=(1+x5)20(1+x7)20⇒x17=(x5)2×x7⇒係數為C202C201=190×20=3800
解:
註:{2k⋅(−1)k=(−2)k(−2)k⋅(−2)k=(−2)2k=22k(2k+1+(−1)k+1)(2k+(−1)k)=22k+1+2⋅(−2)k−(−2)k+(−1)2k+1)=22k+1+(−2)k−1⇒(−2)k(2k+1+(−1)k+1)(2k+(−1)k)=(−2)k22k+1+(−2)k−1=(−2)k2⋅((−2)k)2+(−2)k−1≡u2u2+u−1,其中u=(−2)k又u2u2+u−1=u(u+1)(2u−1)=13(1u+1−12u−1)≡13(1(−2)k+1−12(−2)k−1)⇒原式=13∞∑k=0(1(−2)k+1−12(−2)k−1)=13×12=16(待續...)
解:
若x2+y2−2x+4y−18≥0⇒|x2+y2−2x+4y−18|=x2+y2−2x+4y−18≤2x−2y+18⇒x2−4x+y2+6y−36≤0⇒(x−2)2+(y+3)2≤72⇒藍色區域若x2+y2−2x+4y−18<0⇒|x2+y2−2x+4y−18|=−x2−y2+2x−4y+18≤2x−2y+18⇒x2+y2+2y≥0⇒x2+(y+1)2≥12⇒橘色區域藍色+橘色區域面積=72π−12π=48π
解:
令¯MF=¯FC=a⇒在直角△BMF中,¯MF2=¯MB2+¯BF2⇒a2=1202+(288−a)2⇒a=169令¯DE=¯EG=b⇒¯AE=288−b⇒{直角△MAE:¯ME2=¯MA2+¯AE2=1202+(288−b)2直角△EDC:¯EC2=¯ED2+¯DC2=b2+2402由於¯EM=¯EC⇒1202+(288−b)2=b2+2402⇒b=69直角△FHE:¯EF2=¯EH2+¯HF2=2402+(a−b)2=2402+(169−69)2=2602⇒¯EF=260
解:
(a){¯OA=√52+32+42=5√2dist(A,E)=5−8+6√12+22+22=1,令A在E的投影點為B⇒dist(A,E)=¯AB直角△ABO:¯AO2=¯AB2+¯OB2⇒50=1+¯OB2⇒¯OB=7;假設¯BP=r⇒¯OP¯AP=f(r)=7+r√1+r2⇒f′(r)=−7r+1(1+r2)3/2=0⇒r=17⇒最大值為f(17)=50/7√50/49=√50(b)平面E的法向量→n=(1,2,2)即為↔AB方向向量⇒直線¯AB的方程式x−51=y+42=z−32⇒直線¯AB上的點可表示成(t+5,2t−4,2t+3),由¯AB=1⇒t2+4t2+4t2=1⇒9t2=1⇒t=±1/3⇒B={(16/3,−10/3,11/3),t=1/3(14/3,−14/3,7/3),t=−1/3,由於(16/3,−10/3,11/3)不在E上,因此B=(14/3,−14/3,7/3)⇒↔OB:x2=y−2=z⇒P(2s,−2s,s),s∈R又¯OP=7+r=7+17=507=√4s2+4s2+s2⇒s=5021⇒P=(10021,−10021,5021)
-- END (僅供參考) --
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