110年台北市聯合轉學考-升高二(高中)-數學詳解

臺北市高級中等學校 110 學年度聯合轉學考招生考試

升高二數學科試題(高中)

一、 單選題：共 14 題，每題 5 分，共 70 分，答錯不倒扣。

解答： $$\cases{a={101\over 104}=1-{3\over 104} \\ b={104\over 107} =1-{3\over 107} \\ c={108\over 111}=1-{3\over 111}} \Rightarrow c \gt b\gt a，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$\cases{A(1.\bar 2) =A(1{2\over 9}) =A({11\over 9}) \\ B(3.\bar 4)=B(3{4\over 9})=B({31\over 9})}，又\overline{PA}: \overline{PB}=2:3 \Rightarrow P=(3A+2B)/5 = {19\over 9}=2{1\over 9}=2.\bar 1\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$|4x-12|\le 2x \Rightarrow \cases{4x-12\le 2x\\ -2x\le 4x-12} \Rightarrow \cases{2x-12\le 0\\6x-12 \ge 0} \Rightarrow 2\le x\le 6\\ \Rightarrow 區間長度=6-2=4，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$與2x-3y-5=0平行的直線只有(D)與(E)，只有(E)經過P(2,-3)，故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

解答： $$f(x)=ax(x-1)+bx(x-3)+c(x-1)(x-3) \Rightarrow \cases{f(0)=3c=6 \\ f(1)=-2b=2 \\ f(3)=6a=-2} \\\Rightarrow \cases{a=-1/3\\ b=-1\\ c=2 } \Rightarrow a+b+c=2/3，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$f(x)為四次式且x^4係數=1\gt 0，因此圖形為兩端凹向上，只有(A),(B),(D)符合；\\ 又f(0)=2^2\times (-1)\times (-2)\gt 0，只有(D)符合y截距為正值，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$\cases{若(x+5)(x+1)(x-4)(x-7) \gt 0 \Rightarrow x^2 \lt 2x-3 \Rightarrow (x-1)^2+2 \lt 0 矛盾 \\若(x+5)(x+1)(x-4)(x-7) \lt 0 \Rightarrow x^2 \gt 2x-3 \Rightarrow (x-1)^2+2 \gt 0  }\\ \Rightarrow (x+5)(x+1)(x-4)(x-7) \lt 0 \Rightarrow x\in [4,7] \cup [-5,-1]\\ 又-\pi \in [-5,-1]\Rightarrow -\pi 為其解，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$f(t)=-t^2+10t+11 = -(t-5)^2+36 \Rightarrow \cases{最大值=f(5)=36\\ 最小值=f(10)=-25+36=11} \\ \Rightarrow 最大溫差=f(5)-f(10)= 25，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$\cases{A[4,50^\circ] \\ B[5,170^\circ]} \Rightarrow \cases{\angle AOB=120^\circ \\ \overline{OA}=4\\ \overline{OB}=5} \Rightarrow \cos \angle AOB = \cos 120^\circ =-{1\over 2}={4^2+5^2-\overline{AB}^2 \over 2\cdot 4\cdot 5}\\ \Rightarrow \overline{AB} =\sqrt{61} \Rightarrow \sqrt{49}=7\lt \overline{AB}\lt 8=\sqrt{64}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$平均數5=(1+2+a+b+10)/5 \Rightarrow a+b=12 \Rightarrow \cases{(a,b)=(3,9) \\(a,b)=(4,8)\\ (a,b)=(5,7)}\\ \Rightarrow \cases{\sigma^2 =  (4^2+3^2+2^2+4^2+5^2)/5 =14 \ge 12.25=3.5^2\\ \sigma^2= (4^2+3^2 +1^2+3^2+5^2)/5=12\lt 3.5^2\\ \sigma^2 = (4^2+3^2+ 0^2+2^2+5^2)/5 =10.8 \lt 3.5^2}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$\begin{array}{}各船人數 & 組合數\\\hline 2,2,2 & C^4_2/2=3\\ 2,1,3 & C^4_1=4\\ 3,1,2 & C^4_1C^3_1=12\\ 4,1,1 & C^4_2=6\\\hline  \end{array} \Rightarrow 共有3+4+12+6=25種組合方式\\ \Rightarrow 25\times 3!(三艘船排列數)=150乘船方式，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$\begin{array}{}  & X & Y & X^2 & XY &Y^2 \\\hline & 4 & 2& 16 & 8 & 4\\ & 2 & 3& 4 & 6 & 9 \\ & 3 & 4 & 9& 12 & 16 \\ & 3 & 3& 9 & 9 & 9\\\hdashline \sum & 12 & 12 & 38 & 35 & 38\end{array} \\ \Rightarrow r={\sum XY -\sum X\sum Y/n \over \sqrt{\sum X^2-(\sum X)^2/n} \cdot \sqrt{\sum Y^2-(\sum Y)^2/n}} ={35-12\times 12/4 \over \sqrt{38-12^2/4} \cdot \sqrt{38-12^2/4}} \\={-1\over 2}=-0.5，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$\cases{P(X=3)=P(X=0)=1/8 \\ P(X=1)=C^3_1/8=3/8\\ P(X=2)=C^3_2/8=3/8} \Rightarrow E(X)=80\times({1\over 8} +{1\over 8}) +50\times {3\over 8}+30\times {3\over 8}=50，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$令a_n為(x+y)^{10}的各項係數，即a_n=C^{10}_n \Rightarrow \cases{a_0=a_{10}=1\\ a_1=a_9=C^{10}_1=10 \\ a_2=a_8= C^{10}_2= 45 \\ a_3=a_7 = C^{10}_3=120\\ a_4=a_6=C^{10}_4=210 \\ a_5=C^{10}_5=252}\\ 由於C^{10}_4/3=84，因此a_3,a_4,a_5,a_6,a_7 皆大於84，共五項，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

二、多重選擇題：共 5 題，每題 6 分，共 30 分，答對每一選項得 1.2 分，答錯每一選項倒扣 1.2 分，倒扣至該題零分為止。

解答：

$$(A)\times: 圓C:x^2+y^2+10x+4y-7=0 \Rightarrow (x+5)^2+(y+2)^2=6^2 \Rightarrow \cases{圓心M(-5,-2)\\ 半徑r=6}\\(B)\times: \overline{PM}=\sqrt{8^2+6^2} =10 \\(C)\bigcirc: \angle PAM=\angle PBM =90^\circ \Rightarrow \cases{\overline{PM}為圓S之直徑\\ P、A、B、M在圓S上} \\ (D) \bigcirc:圓S之圓心O=(M+P)/2 = ((-5+3)/2,(-2+4)/2)=(-1,1) \Rightarrow 半徑=\overline{PM}/2=5\\ \qquad \Rightarrow 圓S:(x+1)^2+(y-1)^2=5^2 \Rightarrow x^2+y^2+2x-2y-23=0 \\(E)\bigcirc:圓S面積=5^2\pi =25\pi\\，故選\bbox[red,2pt]{(CDE)}$$

解答： $$假設細菌原有s個\Rightarrow \cases{s(a+1)^2 =486 \cdots(1)\\ s(a+1)^{9/2}=118098 \cdots(2)}\Rightarrow {(2)\over (1)}=(a+1)^{5/2} =243=3^5 \\ \Rightarrow \sqrt{a+1}=3 \Rightarrow a=8 \Rightarrow s=486/9^2 =6 \Rightarrow 5日後細菌量=s(a+1)^5 =6\times 9^5= 354294\\ \Rightarrow {10日後細菌量\over 5日後細菌量} ={s(a+1)^{10}\over s(a+1)^{5}} =(a+1)5= 9^5 \ne 400，故選\bbox[red,2pt]{(BD)}$$

解答： $$S_n ={1^2+2^2+\cdots +n^2\over n} ={(n+1)(2n+1)\over 6} \\\Rightarrow \cases{S_1=1\\ a_n= S_n-S_{n-1}={(n+1)(2n+1)\over 6}-{n(2n-1)\over 6}={4n+1\over 6},n\ge 2}\\(A)\bigcirc: a_1=S_1=1\\(B)\times: a_2=9/6=3/2\ne 5/2\\(C) \times: a_3={13\over 6} \not \gt 3 \\(D) \bigcirc: \cases{a_n=(4n+1)/6\\ a_{n-1}=(4n-3)/6} \Rightarrow a_n \gt a_{n-1}\\(E) \times:a_n={4n+1\over 6},n\ge \color{blue}{2}\\，故選\bbox[red,2pt]{(AD)}$$

解答：

$$(1)\times: 直角\triangle ABC \Rightarrow \overline{BC}= \sqrt{\overline{AB}^2-\overline{AC}^2} =\sqrt{25^2-7^2} =24 \ne 20\\(2) \times: 直角\triangle A'B'C \Rightarrow \overline{B'C}= \sqrt{\overline{A'B'}^2-\overline{A'C}^2} =\sqrt{25^2-(7+8)^2 } =20 \\\qquad \Rightarrow \overline{BB'}= \overline{BC}-\overline{B'C}=24-20=4 \ne 8 \\(3)\bigcirc: \cases{\tan \alpha={\overline{BC}\over \overline{AC}} ={24\over 7} \\ \tan 60^\circ= \sqrt 3} \Rightarrow \tan \alpha \gt \tan 60^\circ \Rightarrow \alpha \gt 60^\circ \\ (4)\bigcirc: \cases{\tan \beta ={\overline{B'C} \over \overline{A'C}}={20\over 15} ={4\over 3}\\ \tan 30^\circ ={1\over \sqrt 3}={\sqrt 3\over 3}} \Rightarrow \tan \beta\gt \tan 30^\circ \Rightarrow \beta \gt 30^\circ\\(5)\times: 令\cases{滑動前距離h_1\\滑動後距離h_1} \Rightarrow \cases{2\triangle ABC= \overline{AB}\times h_1=\overline{AC}\times \overline{BC}\\ 2\triangle A'B'C=\overline{A'B'}\times h_2= \overline{A'C}\times \overline{B'C}} \Rightarrow \cases{h_1=24\times 7\div 25\\ h_2=20\times 15\div 25}\\ \qquad \Rightarrow h_2\gt h_1\\，故選\bbox[red,2pt]{(CD)}$$

解答： $$\begin{array}{}k & 組合 &排列數&機率\\\hline 2 & 2 & 1 & 1/6\\ & 1,1& 1 & 1/36 \\\hdashline 3 & 3 & 1 & 1/6\\ & 2,1 & 2 & 2/36\\ &1,1,1 & 1 & 1/216\\\hdashline 4 & 4 & 1 & 1/6\\ & 3,1 & 2 & 2/36\\ & 2,2 & 1 & 1/36\\ &2,1,1 & 3& 3/216\\ & 1,1,1,1 & 1 & 1/1296 \\\hline \end{array} \\ \Rightarrow \cases{p_a=P(k=4)=1/6+3/36+3/216 +1/1296={343\over 1296}\\p_b=P(k=3) = 1/6+2/36+ 1/216={49\over 216} \\ p_c= P(k=2)=1/6+1/36={7\over 36}} \\ \Rightarrow p_a/p_b=p_b/p_c= {7\over 6}，故選\bbox[red,2pt]{(BE)}$$

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解題僅供參考，其他轉學考試題及詳解