110年高雄公立高中聯合轉學考-升高二-數學詳解

高雄區公立高中 110 學年度聯合招考轉學生《高 1 升高 2》

一、 單選題： （ 60 分）

解答： $$x^2\ge 0 \Rightarrow x^2+{2\over 3} \ge {2\over 3} \Rightarrow 27^{\left(x^2+{2\over 3}\right)} \ge 27^{2\over 3} =\left( \sqrt[3]{27}\right)^2 =3^2=9，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$\cases{a=2^{1/3} \\b=3^{1/4}\\ c=5^{1/6}} \Rightarrow \cases{a^{12}=2^{4}=16 \\b^{12}=3^{3} =27\\ c^{12}=5^{2} =25} \Rightarrow b\gt c\gt a，故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

解答： $$\log 2^{100}=100\times \log 2= 100\times 0.301 =30.1 \Rightarrow 2^{100}為30+1=31位數，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$假設\cases{乙質量:m\\ 甲質量:2m\\ 乙的半衰期:T} \Rightarrow 2m\times ({1\over 2})^{120/7.5} =m\times ({1\over 2})^{120/T} \Rightarrow 1-{120\over 7.5}=-{120\over T} \Rightarrow T=8\\，故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

解答： $$先看虛線的2x-y=0，由於(1,0)在斜線區域，所以2x-y\gt 0，只需考慮(A)與(C)；\\兩選差異在直線y+2=0，由於斜線區在該直線上方，因此y+2\ge 0，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$x^2+y^2+2ax+ ay+2a^2+a-1=0 \Rightarrow (x+a)^2 +(y+{1\over 2}a)^2= -({3\over 4}a^2+a-1)\\ \Rightarrow {3\over 4}a^2+a-1\lt 0 \Rightarrow 3a^2+4a-4\lt 0 \Rightarrow (3a-2)(a+2)\lt 0 \Rightarrow -2\lt a\lt {3\over 2}，故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

解答：

$$圓C:(x-4)+(y-5)^2=4 \Rightarrow \cases{圓心C(4,5)\\ 半徑r=2}，並假設直線L=\overleftrightarrow{OC}與圓C交P、Q兩點；\\則\cases{\overline{PO}= \overline{CO} +r=\sqrt{41}+2 \\\overline{QO}=\overline{CO}-r =\sqrt{41} -2} \Rightarrow \cases{8\lt \overline{PO} \lt 9\\4\lt \overline{QO}\lt 5} \Rightarrow 整數值為5,6,7,8 \\\Rightarrow 圓的左半部及右半部各有4個點與原點距離為整數，因此共有8個點，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$\cases{(x+2)^{110}\ge 0 \\ x^2-2x+9= (x-1)^2+8 \gt 0} \Rightarrow x^{2021}(x+2)^{110} (x-6)(x^2-2x-4)(x^2-2x+9) \le 0 \\ \Rightarrow  x^{2021}  (x-6)(x^2-2x-4) \le 0 \\ \Rightarrow  x^{2021}  (x-6)(x -(1+\sqrt 5))(x-(1-\sqrt 5)) \le 0 \Rightarrow \cases{1+\sqrt 5\le x\le 6 \Rightarrow x=3,4,5,6 \\ 1-\sqrt 5\le x\le 0 \Rightarrow x=0,-1} \\\Rightarrow 共6個整數解，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$ax^2+b=ax+b \Rightarrow ax(x-1)=0 \Rightarrow 兩圖形交點在x=0及x=1，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$每個選項有選與不選兩種選擇，5個選項有2^5=32種選擇，扣除全不選(此題不作答)共有31種可能\\全對只有1種，錯1個有C^5_1=5種，错2個有C^5_2=10種，因此期望值=(6\times 1+4\times 5+2\times 10)/31\\ =46/31，故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

解答： $$算幾不等式:{9 \over a}+{16 \over b} \ge 2\sqrt{{9 \over a} \times {16 \over b} }={24 \over \sqrt{ab}}={24 \over 5}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$\cases{40=10\log({I_1/I_0}) \\30=10\log({I_2/I_0})} \Rightarrow \cases{I_1=10^{4+\log I_0 }=10^{-8} \\ I_2=10^{3+\log I_0}=10^{-9}} \Rightarrow d(7I_1+20I_2) = d(7\times 10^{-8}+20\times 10^{-9}) \\ =d(9\times 10^{-8}) =10\log{9\times 10^{-8} \over 10^{-12}} =10\log(9 \times 10^4) =10(4+2\log 3) =10(4+2\times 0.4771) \\\approx 49.5，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$依題意:f(x-2)+3=g(x) \Rightarrow a(x-2)^2+b(x-2)+c+3 =ax^2+ (b-4a)x +4a-2b+c+3 \\ =px^2 +qa+r \Rightarrow \cases{a=p \\ b-4a=q \\ 4a-2b+c+3=r} \Rightarrow g(3)-f(1)=9p+3q+r -(a+b+c) \\\Rightarrow 9a+3(b-4a)+4a-2b+c+3 -(a+b+c) =3，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$三角形三頂點即為三戶人家位置，涼亭位置即為外接圓的圓心\\，而邊長60,80,100剛好夠成一直角三角形，斜邊長100即為直徑，因此半徑=100/2=50\\， 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$正弦定理: {13 \over \sin A} ={8\over \sin B} ={7\over \sin C} \Rightarrow 三角形三邊長 \cases{a=13k\\ b=8k \\c=7k}\\ \Rightarrow \cos A={b^2+c^2-a^2 \over 2bc} =-{1 \over 2} \Rightarrow 最大角A=120^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

二、 多選題： （ 40 分）

解答： $$(A)\bigcirc: \sqrt 5\lt x \lt \sqrt 6 ， x可以是=2.3,2.33, 2.333,...，有無窮多個\\ (B)\times: 0\times \sqrt 2=0 \in \mathbb{Q} \\(C)\bigcirc: 2020與2021互質 \Rightarrow a是有理數\\ (D) \times: a=\sqrt 2 \Rightarrow a^{2020} \in \mathbb{Q}且a^{2022} \in \mathbb{Q}，但a不是有理數\\(E)\times: \sqrt 2+ 3\sqrt 2=0+4\sqrt 2，此時\cases{a=\sqrt 2\\b=3\\ c=0\\d=4}不符合a=c且b=d\\，故選\bbox[red,2pt]{(AC)}$$

解答： $$\cases{L_1:x+y=1 \\L_2:2x-y=1\\ L_3:kx+y=3}，\cases{若k=1，則L_1\parallel L_3 \\ 若k=-2，則L_2\parallel L_3 \\ 若k=4，則三直線交於(2/3,1/3)}，無法圍成三角形，故選\bbox[red,2pt]{(ACE)}$$

解答： $$假設\cases{a_n=ar_1^{n-1} \\b_n=br_2^{n-1}}\\(A)\bigcirc: {a_n\over b_n}=({a\over b})({r_1\over r_2})^{n-1}\\ (B)\bigcirc: a_n\cdot b_n= (ab)(r_1r_2)^{n-1}\\ (C)\times: \cases{\langle a_n\rangle =\langle 1\rangle\\ \langle b_n \rangle =\langle 2n\rangle} \Rightarrow a_n+b_n=2n+1非等比\\ (D)\bigcirc: a_n^2=a^2(r^2)^{n-1}\\ (E)\times:\cases{\langle a_n\rangle =\langle 1\rangle\\ \langle b_n \rangle =\langle 2n\rangle} \Rightarrow 5a_n-b_n=5-2n非等比\\，故選\bbox[red,2pt]{(ABD)}$$

解答： $$(1)\bigcirc: 兩次考試成績適合散佈圖 \\ (2)\times: 相關係數0.016非常接近0，也就是兩者幾乎不相關，不適合用直線來表達兩科成績的關連性 \\(3)\bigcirc: 相關係數  {\sigma(x+5,y+5) \over \sigma(x+5)\sigma(y+5)}= {\sigma(x,y) \over \sigma(x)\sigma(y)}= 0.016\\ (4)\bigcirc: 相關係數  {\sigma(100x,100y) \over \sigma(100x)\sigma(100y)} =  {100^2\sigma(x,y) \over 100\sigma(x) 100\sigma(y)} =  {\sigma(x,y) \over \sigma(x)\sigma(y)}= 0.016 \\(5) \bigcirc: 相關係數  \cfrac{\sigma({x-\bar x \over s_x},{y-\bar y \over s_y})}{  \sigma({x-\bar x \over s_x})\sigma({y-\bar y \over s_y})} = \cfrac{\sigma({x \over s_x},{y \over s_y})}{  \sigma({x \over s_x})\sigma({y \over s_y})} =  \cfrac{{1\over s_xs_y}\sigma(x,y)}{{1\over s_xs_y} \sigma(x)\sigma(y)}= {\sigma(x,y) \over \sigma(x)\sigma(y)}= 0.016 \\，故選\bbox[red,2pt]{(ACDE)}$$

解答： $$(A) \bigcirc:6!=720\\(B) \bigcirc: 4\times 4\times 3\times 2=96\\(C) \bigcirc:\cases{甲排1:5!=120\\ 甲排2:(4\times 3)\times 3!=72\\ 甲排3:(3\times 2)\times 3!=36\\ 甲排4:(2\times 1)\times 3!=12} \Rightarrow 120+72+36+12= 240 \\(D) \times: 4!\times 3!=144 \ne 24\\(E)\bigcirc: (甲,乙,丙)三人的位置(1,3,5),(1,3,6),(1,4,6),(2,4,6)，共4種\\\qquad，因此共有4\times 3!\times 3!=144種排法\\，故選\bbox[red,2pt]{(ABCE)}$$

解答：

$$(A)\bigcirc: x^2+y^2-2x+4y+1=0 \Rightarrow (x-1)^2+(y+2)^2=2^2 \Rightarrow \cases{圓心O(1,-2)\\ 半徑r=2} \\(B) \times: \overline{PA} =\sqrt{\overline{OP}^2-r^2} =\sqrt{(3^2+4^2)-2^2} =\sqrt{21} \ne 2\sqrt{21}\\(C) \bigcirc: \overline{OP}-r=5-2=3 \\(D) \bigcirc:圓心至x軸的距離=2=r\Rightarrow 圓與x軸相切 \\(E)\times:圓上C(1,0),D(1,-4)及E(-1,-2)皆與y軸距離為1，共三點\\，故選\bbox[red,2pt]{(ACD)}$$

解答： $$(A)\bigcirc: f為奇函數\Rightarrow f(a)=b\Rightarrow f(-a)=-b，即(-a,-b)也在f(x)圖形上\\ (B)\bigcirc: g(x)=(f(x)+f(-x))/2 \Rightarrow g(-x)=(f(-x) +f(x))/2 =g(x) \Rightarrow g(x)為偶函數 \\(C)\bigcirc: h(x)={f(x) \over g(x)} \Rightarrow h(-x)= {f(-x) \over g(-x)} = {-f(x) \over -g(x)}= {f(x)\over g(x)} =h(x) \Rightarrow h(x)為偶函數 \\(D)\times:\cases{f(x)=4x^3+x為奇函數\\ g(x)=6x^5+x為奇函數} \quad \Rightarrow f(x)\cdot g(x)為偶函數 \\(E)\bigcirc: f(x)=|x+1|+|x-1| \Rightarrow f(-x)= |-x+1|+|-x-1| = |x-1|+|x+1| =f(x)\\ \qquad \Rightarrow f(x)為偶函數\\，故選\bbox[red,2pt]{(ABCE)}$$

解答： $$(A)\bigcirc: C^7_3\\(B)\times: 7\times 6\times 5\\(C)\bigcirc: {7!\over 3!4!}=C^7_4\\ (D)\times: C^7_3(-1)^3=-C^7_4\\ (E)\bigcirc: C^7_4(-1)^4 =C^7_4\\\\，故選\bbox[red,2pt]{(ACE)}$$

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