105年專技高考-電子工程技師-工程數學詳解

 105年專門職業及技術人員高等考試

等 別： 高等考試
類 科： 電子工程技師
科 目： 工程數學（包括線性代數、微分方程、向量分析、複變函數與機率）

解答： $$W=\{(a,b,b)\mid a,b\in \mathcal{R}\}，取W^{\bot} =\{(0,c,-c)\mid c\in \mathcal{R}\}\\，則\forall \vec u_1\in W,\vec u_2\in W^{\bot}，\vec u_1\cdot \vec u_2=0，即\vec u_1\bot \vec u_2；\\v=(3,2,6)=\bbox[red,2pt]{(3,4,4)+(0,-2,2)}，其中(3,4,4)\in W,(0,-2,2)\in W^\bot$$

解答：

(一) $$T(x,y)=(2x,x+y)= \bbox[red,2pt]{\begin{bmatrix} 2& 0\\ 1 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y\end{bmatrix}}$$ (二) $$B'=\{(-2,3),(1,-1)\}=\begin{bmatrix} -2& 1\\ 3 & -1\end{bmatrix} =P\bbox[red,2pt]{\begin{bmatrix} {-3-\sqrt{13}\over 2}& 0\\ 0 & {-3+\sqrt{13}\over 2} \end{bmatrix}}P^{-1}$$

解答： $$先求齊次解，即y''+4y=0 \Rightarrow \lambda^2+4=0 \Rightarrow \lambda=\pm 2i \Rightarrow y_h=c_1\cos(2x)+c_2\sin(2x)\\ 再令非齊次解y_p=Ax+B \Rightarrow y_p''+4y_p=0+4Ax+4B=4x+8 \Rightarrow \cases{A=1\\ B=2} \\ \Rightarrow y_p=x+2 \Rightarrow y=y_h+y_p = c_1\cos(2x)+c_2\sin(2x)+x+2\\ \Rightarrow y'=-2c_2\sin(2x)+2c_2\cos(2x)+1\\ 將初始值\cases{y(0)=4\\ y'(0)=-1} 代入可得\cases{c_1+2=4\\ 2c_2+1=-1} \Rightarrow \cases{c_1=2\\ c_2=-1} \\\Rightarrow \bbox[red,2pt]{y=2\cos(2x)-\sin(2x)+x+2}$$

解答： $$A=\begin{bmatrix} 4& 2\\ 3 & 1\end{bmatrix} \Rightarrow A的特徵值\cases{\lambda_1=-2\\ \lambda_2=5}及其對應特徵向量\cases{\vec v_1=(-1,3)\\ \vec v_2=(2,1)}\\ \Rightarrow x(t)=c_1\begin{bmatrix}-1\\ 3\end{bmatrix}e^{-2t}+c_2 \begin{bmatrix}2\\ 1\end{bmatrix}e^{5t} -  \begin{bmatrix}15\\ 4\end{bmatrix}te^{-2t}\\ 再由初始值x(0)= \begin{bmatrix}7 \\ 3\end{bmatrix} \Rightarrow c_1\begin{bmatrix}-1\\ 3\end{bmatrix} +c_2 \begin{bmatrix}2\\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}7 \\ 3\end{bmatrix} \Rightarrow \cases{-c_1+2c_2=7\\ 3c_1+c_2=3} \Rightarrow \cases{c_1=-1/7 \\ c_2=24/7} \\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{x(t)=-{1\over 7}\begin{bmatrix}-1\\ 3\end{bmatrix}e^{-2t}+{24\over 7} \begin{bmatrix}2\\ 1\end{bmatrix}e^{5t} -  \begin{bmatrix}15\\ 4\end{bmatrix}te^{-2t}}$$

解答： $$令\tan({\theta\over 2})=t \Rightarrow \cases{\cos({\theta\over 2})={1\over \sqrt{1+t^2}} \Rightarrow \cos\theta =2\cos^2 ({\theta\over 2})-1 ={2\over 1+t^2}-1= {1-t^2\over 1+t^2} \\ {1\over 2}\sec^2{\theta\over 2}d\theta =dt \Rightarrow {1+t^2\over 2}d\theta = dt \Rightarrow d\theta = {2\over 1+t^2}dt} \\ \Rightarrow \cases{\cos\theta = {1-t^2\over 1+t^2} \\ d\theta ={2\over 1+t^2}dt} \Rightarrow \int_0^\pi {d\theta \over a+\cos \theta} =\int_0^\infty {{2dt\over 1+t^2}\over a+{1-t^2\over 1+t^2}} \\= \int_0^\infty {2 \over a(1+t^2)+1-t^2}dt = \int_0^\infty {2 \over a+1+(a-1)t^2 }dt  ={2\over a-1}\int_0^\infty {1 \over {a+1\over a-1}+t^2}dt\\= \left.{2\over a-1}\cdot {1\over \sqrt{a+1\over a-1}}\tan^{-1}{t\over \sqrt{a+1\over a-1} }\right|_0^\infty (\because \int {1\over k^2+x^2}dx={1\over k}\tan^{-1}({x\over k})+c) \\={2\over a-1}\cdot {1\over \sqrt{a+1\over a-1}}\cdot {\pi\over 2} ={\pi \over \sqrt{a^2-1}}，\bbox[red,2pt]{故得證}$$

解答： $$依題意共試驗m+r次，其中有r次成功、m次失敗，且第m+r次為失敗；\\又試驗m+r-1次，其中有r次成功、m-1次失敗的機率為C^{m+r-1}_rp^r(1-p)^{m-1}，\\再加上一次失敗的機率即為所求，也就是\bbox[red,2pt]{C^{m+r-1}_rp^r(1-p)^{m}}$$

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