105年初等考試-統計學大意詳解

105 年公務人員初等考試試題

等 別： 初等考試
類 科： 統計
科 目： 統計學大意

解答： $$\cases{P(X\gt 3000)=0.8\\ P(X\gt 4000)=0.4 \\ P(X\gt 5000) =0.1} \Rightarrow {P(X\gt 5000)\over P(X\gt 3000)} ={0.1\over 0.8} ={1\over 8}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$X\sim Exp(\beta) \Rightarrow F(x;\beta)=1-e^{-x/\beta}；\\指數分配特性: P(T\gt s+t\mid T\gt t)= P(T\gt s) \Rightarrow P(T\gt 5+4\mid T\gt 5)= p(T\gt 4)\\ = 1- F(x=4,\beta=5) =1-(1-e^{-x/\beta})=e^{-4/5}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$P=95\%代表兩個標準差的範圍，即最多是40+2\times 10=60\\，因此需小於60且最接近60的數字，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$依常態分配\Rightarrow \cases{P(|X-\bar x|\le \sigma)=0.68 \\P(|X-\bar x|\le 2\sigma)=0.95 \\P(|X-\bar x|\le 3\sigma)=0.997 \\}\\ \Rightarrow \cases{P( 40-6.5\le X\le 40+ 6.5) = P(33.5\le X\le 46.5)= 0.68\\ P( 40-6.5\times 2\le X\le 40+ 6.5\times 2) = P(27\le X\le 53)= 0.95\\ P( 40-6.5\times 3\le X\le 40+ 6.5 \times 3) = P(20.5\le X\le 59.5)= 0.997}\\ \Rightarrow (A)(C)(D)皆正確，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$n\ge (z_{\alpha/2})^2\times {\sigma^2\over E^2} = 1.96^2\times {0.3^2\over 0.05^2} =138.3\Rightarrow n=139，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$眾數的定義為(D)，並不是(C)，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$判定係數R^2=0.92^2=0.8464，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：

$$b=13939\div 3 = 4646.3 \Rightarrow 檢定統計量F=4646.3\div 1302=3.569，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$\sigma = \sqrt{a\over 41}=\sqrt{67315-13939\over 41}= 36.08，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$表格為3\times 3\Rightarrow 自由度=(3-1)\times (3-1)=4 \ne 3，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$自由度df=(3-1)\times (2-1)=2 \Rightarrow \chi^2_{0.025,2}=7.378(查試題附表)，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$\cases{X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2) \Rightarrow \overline{X} \sim N(\mu_1,\sigma_1^2/n) \\Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2) \Rightarrow \overline{Y}\sim N(\mu_2,\sigma_2^2/m)} \Rightarrow \overline{X}-\overline{Y}\sim N(\mu_1-\mu_2,\sigma_1^2/n+\sigma_2^2/m)\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$(C)應該是{\overline{X}-\mu \over S/\sqrt n}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$P(|X-Y|\ge 15) \le {Var(X-Y)\over 15^2}={Var(X)+Var(Y)-2Cov(X,Y)\over 225}\\ ={10+12-2\times(-2)\over 225}={26\over 225}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$資料共區分六組，而此檢定波松分配的平均值，因此自由度為6-1-1=4，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$df=N-ab = abn-ab=ab(n-1)，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$(3)應該是2(1-P(Z\gt x))，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$\cases{取到A電池且使用超過200小時的機率=20\%\times 0.7=0.14 \\ 取到B電池且使用超過200小時的機率=30\%\times 0.4=0.12 \\取到C電池且使用超過200小時的機率=50\%\times 0.3=0.15 } \\ \Rightarrow 任取一電池能使用超過200小時的機率=0.14+0.12+0.15=0.41，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $${0.14\over 0.41}={28\over 82}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$A,B互斥\Rightarrow A\cap B=\varnothing \Rightarrow P(A\cup B)=P(A)+P(B)=0.7 +P(B) \le 1 \Rightarrow P(B)\le 0.3\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$資料左偏\Rightarrow 眾數\gt 中位數\gt 平均數\\，因此可能的答案是\cases{眾數=0,中位數=-1.3,平均數=-1.9\\眾數=0,中位數=-2.4,平均數=-3.2 }\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$母體=全體，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$\cases{樣本A=\{1,9\}\Rightarrow 全距=8,平均數=5\\ 樣本B=\{4,5\} \Rightarrow 全距=1,平均數=5}，全距越大並不代表平均數越大，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)= P(A)+P(B)-P(A)P(B)\\ = 0.4+0.5-0.4\times 0.5=0.7，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$P(B\mid A)={P(A\cap B)\over P(A)} ={P(A\cap B)\over0.8} =0.4 \Rightarrow P(A \cap B)=0.32，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$E(X)=10\times {4\over 6+4}=4，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$z={800-788\over 40/\sqrt{30}} =1.643 \Rightarrow 查表可得P(z\le 1.643)=(0.9495+0.9505)\div 2=0.95\\ \Rightarrow P(|z|\le 1.643)=(1-0.95)\times 2=0.1，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$A.主播個人主觀認定為主觀認定法，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$比例之平均值為36\%的常態分配，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$顯然只有(D)正確，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$型I錯誤:H_0為真，卻拒絕H_0；也就是颱風會來，卻不放假，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$樣本數只有9(n\lt 30)，因此採用無母數卡方分配，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$P(X\lt 1000)= P(Z\lt {1000-1200\over 250}) = P(Z\lt -0.8)=1-P(Z\lt 0.8) \\=1-0.7881(查表)=0.2119，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$當然較窄，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$信賴區間p\pm z_{\alpha/2}\sqrt{p(1-p)\over n} =0.8\pm 1.96\times \sqrt{0.8\times 0.2\over 100}= [0.7216,0.8784]，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$y=b_0+b_1x，其中b_1={\sum xy-\sum x\sum y/n\over \sum x^2-(\sum x)^2/n} ={2615-90\times 210/10\over 1080-90^2/10}= {725\over 270}=2.685，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$檢定統計量F={MSTR\over MSE} ={241.67\over 77.33} =3.125，\\而F^*=F(df_1=3-1=2,df_2=N-k=8-3=5)=5.7861(查表)\\ 由於3.125 \lt F^*，未達顯著差異，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$E(2X+3Y)=2E(X)+3E(Y) = 2\times 5+3\times 8=34，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$P(X\gt 5)=P(X\ge 6)= \sum_{k=6}^\infty P(X=k) =\sum_{k=6}^\infty {5^k e^{-5}\over k!}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$\sum_{k=7}^{10} C^{10}_k\;0.25^k \;0.75^{10-k} \approx 0.0030899+0.000386 + 0.0000286+ 0=0.0035，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$ ==================== END ========================

解題僅供參考，其他國考試題及詳解