110年升官等-經建-統計學詳解

 110年公務人員升官等考試

等 級： 薦任
類科（ 別）： 經建行政
科 目： 統計學

註： 題目一至三請以下表資料作答。

房貸負擔率=中位數住宅價格貸款月攤還額/中位數月家戶可支配所得。

房價所得比=中位數住宅價格/中位數家戶可支配所得。

解答：

$$將房貸負擔率依序分別為:x_i=22.3,22.71,22.8,...,48.48,63.11,i=1-20，共20筆資料，\\\cases{其中最小值x_1=22.3\\最大值x_{20}=63.11}及\cases{Q_1=(x_5+x_6)\div 2=(27.76+29.66)\div 2=28.71\\ Q_2:中位數=(x_{10}+x_{11})\div 2=(31.73+31.76)\div 2= 31.745\\ Q_3=(x_{15} +x_{16})\div 2=(34.2+34.57)\div 2= 34.385}\\ 因此盒鬚圖顯示如上；\\ 又四分位距IQR=Q_3-Q_1=5.675 \Rightarrow 1.5\cdot IQR= 1.5\times 5.675= 8.5125 \\\Rightarrow \cases{F_1= Q_1-1.5IQR=20.1975\\ F_3=Q_3+ 1.5IQR =42.8975}，觀察值不在區間[F_1,F_2]內，則列為離群值；\\因此繪製鬚盒圖所需之統計值為\bbox[red,2pt]{\cases{最小值=22.3\\ 最大值=63.11\\ 第1四分位數Q_1=28.71\\ 中位數=31.745\\ 第3四分位數Q_3=34.385}}，\\離群值判斷準則:\bbox[red,2pt]{觀察值小於Q_1-1.5\times IQR或大於Q_3+1.5\times IQR}\\，即本題落於區間[20.1975,42.8975]之外的觀察值$$

解答：

(一) $$房價所得比觀察值y_i=12.13,15.79,\dots,5.68,i=1-20，共n=20筆資料；\\\Rightarrow 平均數\bar y= {1\over n}\sum_{i=1}^{20}y_i=164.89/20=8.2445 \Rightarrow 樣本標準差s=\sqrt{{1\over n-1}\sum_{i=1}^{20}(y_i-\bar y)^2} \\ =\sqrt{{105\over 19}} =2.35 \Rightarrow 95\%信賴區間CI=\bar y\mp t_{\alpha/2}(n-1){s\over \sqrt n} =8.2445 \mp t_{0.025}(19)\cdot {2.35\over \sqrt{20}} \\ =8.2445 \mp 2.093\cdot {2.35\over \sqrt{20}} =8.2445 \mp 1.1 =(7.1445,9.3445)\\ 由於8.5 \in CI \Rightarrow 不能拒絕母體平均數為8.5，即母體平均數等於8.5\\ 答：信賴區間為\bbox[red,2pt]{(7.1445,9.3445)}，\bbox[red,2pt]{母體平均數等於8.5}；$$ (二) $$令\cases{\mu_1:六都房價所得比之母體平均數\\ \mu_2:非六都縣市之房價所得比母體平均數\\\overline X_1:六都房價所得比之樣本平均數\\ \overline X_2:非六都縣市之房價所得比樣本平均數} \Rightarrow \cases{\overline X_1=(12.13+15.79+\cdots +7.6)\div 6=10.148\\ \overline X_2=(8.71+8.26+\cdots +5.68)\div 14=7.429} \\ \Rightarrow S_p^2 ={\sum_{i=1}^6(X_{1i}-\overline X_1)^2 + \sum_{i=1}^{14}(X_{2i}-\overline X_2)^2 \over 4+16-2} ={55.53+18.4\over 18}=4.107\\ 本題為小樣本(n_1=6,n_2=14,皆小於30)，檢定統計量t= \cfrac{(\overline X_1-\overline X_2)-(\mu_1-\mu_2)}{ \sqrt{{S_p^2\over n_1} +{S_p^2\over n_2}}} \\= \cfrac{(10.148-7.429)-0}{ \sqrt{{4.107\over 6} +{4.107\over 14}}} =2.75，而 查表可得t_{\alpha/2}(df=n_1+n_2-2) =t_{0.025}(18) =2.101\\ \Rightarrow 2.75 \gt 2.101 \Rightarrow 六都與非六都的縣市之房價所得比的母體平均數\bbox[red,2pt]{不相等}$$

解答：

(一) $$令T=房貸負擔率，依題意: \\\begin{array}{|l|l|l|l|}\hline 類別 & 條件 & 縣市 & 數量 \\\hline 合理負擔 & T\lt 30\% & 嘉義縣,嘉義市 ,基隆市 ,屏東縣 ,雲林縣 ,新竹市 & 6 \\\hdashline 房價負擔能力略低 & 30\%\le T\lt 40\% & 桃園市,高雄市,臺南市,苗栗縣,臺東縣,新竹縣&12\\ & &澎湖縣,花蓮縣,彰化縣,南投縣,宜蘭縣,臺中市 & \\\hdashline 房價負擔能力偏低 & 40\% \le T\lt 50\% & 新北市 & 1 \\\hdashline 房價負擔能力過低& 50\%\le T &臺北市 & 1\\\hline \end{array}\\ \Rightarrow 次數分配表 \bbox[red, 2pt]{\begin{array}{|l|l|}\hline 類別 & 數量 \\\hline 合理負擔 & 6 \\\hdashline 房價負擔能力略低 &12 \\\hdashline 房價負擔能力偏低 & 1 \\\hdashline 房價負擔能力過低& 1\\\hline \end{array}}$$ (二) $$隨機變數Y機率分配函數=\cases{P(Y=1)=6/20=0.3\\ P(Y=2)=12/20=0.6\\ P(Y=3)=1/20=0.05\\ P(Y=4)=1/20=0.05}，即\bbox[red,2pt]{\cases{P(Y=1) =0.3\\ P(Y=2)= 0.6\\ P(Y=3)= 0.05\\ P(Y=4)= 0.05}}$$ (三) $$期望值E(Y)= \sum yP(Y=y) = 1\times 0.3+2\times 0.6+ 3\times 0.05+4\times 0.05=1.85\\ E(Y^2)=\sum y^2P(Y=y) =1^2\times 0.3+2^2\times 0.6+3^2\times 0.05+4^2\times 0.05=3.95\\ 因此變異數Var(Y)=E(Y^2)-(E(Y))^2 =3.95-1.85^2=0.5275\\ 即\bbox[red,2pt]{\cases{期望值=1.85\\ 變異數=0.5275}}$$

解答：

(一) $$員工數n=100\\\cases{(5)=100(員工數)-1=99\\(1)=3(年資層)-1=2\\ (2)=4(廠房數)-1=3\\ (3)=(1)\times (2)=2\times 3=6\\ (4)=(5)-(1)-(2)-(3)=99-2-3-6=88\\ (6)=15628.32-161.45-1600.33-9622.28=4244.26}\\ 及\cases{(7)=161.45\div (1)=161.45\div 2=80.725 \\ (8)=1600.33\div (2)= 1600.33\div 3=533.4433\\ (9)=(6)\div (3)=4244.26\div 6=707.3767\\ (10)=9622.28\div (4)= 9622.28\div 88=109.344 \\ (11)=(7)\div (10)= 80.725\div 109.344= 0.0124\\ (12)=(8)\div (10) =533.4433\div 109.344=4.8786\\ (13)=(9)\div (10)=707.3767\div 109.344 = 6.4693}\\因此可得\bbox[red,2pt]{\begin{cases} (1)=2 & (7)=80.73\\ (2)=3 & (8)=533.44\\ (3)=6 & (9)=707.38\\ (4)=88 & (10)=109.34\\ (5)=99 & (11)=0.01\\ (6)=4244.26 & (12)=4.88 \\ & (13)=6.47\end{cases}}$$ (二) $$\bbox[red,2pt]{\cases{虛無假設H_0:年資層與所屬廠房兩變數間無交互作用\\ 對立假設H_1:年資層與所屬廠房兩變數間有交互作用\\檢定統計量=(13)=6.47\\ 拒絕域R=\{F\mid F\gt F((3),(4),\alpha)=F(6,88,\alpha) \}}}$$

解答： $$總人數N\cases{染病數:0.21N\cases{檢測陽性數:0.83\times 0.21N\\ 檢測陰性數:0.17\times 0.21N}\\ 未染病數:0.79N \cases{檢測陽性數:0.68\times 0.79N\\ 檢測陰性數:0.32\times 0.79N}}\\(一){染病且檢測為陰性\over 檢測為陰性} ={0.17\times 0.21N\over 0.17\times 0.21N+ 0.32\times 0.79N} = \bbox[red,2pt]{0.124}\\(二){染病且檢測為陽性\over 檢測為陽性} ={0.83\times 0.21N\over 0.83\times 0.21N+ 0.68\times 0.79N} = \bbox[red,2pt]{0.245}$$

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