110年專技高考-電子工程技師-工程數學詳解

110年專門職業及技術人員高等考試

等 別： 高等考試
類 科： 電子工程技師
科 目： 工程數學（ 包括線性代數、 微分方程、 向量分析、 複變函數與機率）

解答： $$A=\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 1& -1 \end{bmatrix} =P\begin{bmatrix} \lambda_1 & 0\\ 0& \lambda_2 \end{bmatrix}P^{-1} = PDP^{-1} =\begin{bmatrix} 3 & -1\\ 1& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0& -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1/4 & 1/4\\ -1/4 & 3/4 \end{bmatrix}\\ \Rightarrow tA=tPDP^{-1}  \Rightarrow e^{tA}=  I + tA+ {(tA)^2\over 2!} +{(tA)^3\over 3!} +\cdots\\ =  I + tPDP^{-1}+ {(tPDP^{-1})^2\over 2!} +{(tPDP^{-1})^3\over 3!} +\cdots =  I + tPDP^{-1}+ {t^2PD^2P^{-1} \over 2!} +{t^3PD^3P^{-1} \over 3!} +\cdots\\ =P\left( I+ tD+ {t^2D^2 \over 2!} +{t^3D^3 \over 3!} +\cdots \right) P^{-1} =Pe^{tD}P^{-1} =\begin{bmatrix} 3 & -1\\ 1& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e^{2t} & 0\\ 0& e^{-2t} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1/4 & 1/4\\ -1/4 & 3/4 \end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix} 3e^{2t} & -e^{-2t}\\ e^{2t}& e^{-2t} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1/4 & 1/4\\ -1/4 & 3/4 \end{bmatrix} = \bbox[red,2pt]{\begin{bmatrix} {3e^{2t}+e^{-2t} \over 4} & { 3e^{2t}-3e^{-2t}\over 4}\\ { e^{2t}- e^{-2t}\over 4} & {e^{2t}+3 e^{-2t}\over 4} \end{bmatrix}}$$

解答： $$\cases{y_1'=y_1+3y_2+ 4\sin(2t) \cdots(1)\\ y_2'=y_1-y_2 \cdots(2)}；\\由(2)可知:y_1=y_2+ y_2'代入(1) \Rightarrow (y_2+y_2')' = (y_2+ y_2') +3y_2 +4\sin(2t) \\ \Rightarrow y_2'+y_2''=4y_2 +y_2'+4\sin(2t) \Rightarrow y_2''-4y_2=4\sin(2t) \Rightarrow y_2= c_1e^{2t}+c_2e^{-2t}-{1\over 2}\sin(2t) \cdots(3)\\ \Rightarrow y_1=y_2+ y_2'=c_1e^{2t}+c_2e^{-2t}-{1\over 2}\sin(2t) +2c_1e^{2t}-2c_2e^{-2t}- \cos(2t)\\\Rightarrow y_1 =3c_1e^{2t}-c_2e^{-2t}-{1\over 2}\sin(2t)- \cos(2t)\cdots(4)\\將初始值\cases{y_1(0)=1\\ y_2(0)=1} 代入(3)及(4) \Rightarrow \cases{ 3c_1-c_2-1=1 \\ c_1+c_2=1} \Rightarrow \cases{c_1=3/4\\ c_2=1/4} \\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{\cases{y_1={9\over 4}e^{2t} -{1\over 4}e^{-2t}-{1\over 2}\sin(2t)- \cos(2t)\\ y_2= {3\over 4}e^{2t}+{1 \over 4}e^{-2t}-{1\over 2}\sin(2t)}}$$

解答： $$旋轉60^\circ 矩陣A=\begin{bmatrix} \cos 60^\circ & -\sin 60^\circ \\ \sin 60^\circ & \cos 60^\circ\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1/2 & -\sqrt 3/2 \\ \sqrt 3/2 & 1/2\end{bmatrix} \\ \Rightarrow \begin{bmatrix} x_3-x_1\\ y_3-y_1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1/2 & -\sqrt 3/2 \\ \sqrt 3/2 & 1/2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_2-x_1\\ y_2-y_1\end{bmatrix} ={1\over 2}\begin{bmatrix} x_2-x_1-\sqrt 3(y_2-y_1)\\ \sqrt 3(x_2-x_1)+y_2-y_1\end{bmatrix} \\ \Rightarrow \cases{x_3={1\over 2}(x_2-x_1-\sqrt 3(y_2-y_1))+x_1 \\ y_3= {1\over 2}(\sqrt 3(x_2-x_1)+y_2-y_1)+y_1} \\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{\cases{x_3={1\over 2}(x_1 +x_2+\sqrt 3(y_1-y_2))\\ y_3= {1\over 2}(-\sqrt 3(x_1-x_2) +y_1+y_2)}}$$

解答： $$令\cases{x=\cos u\\ y=\sin u\\ z=v} \Rightarrow \cases{曲面 M可表示成r(u,v)=(\cos u,\sin u,v),其中0\le u\le 2\pi,0\le v\le 1\\ \vec F(x,y,z)=(z,0,x^2+y^2) \Rightarrow \vec F(r)=(v,0,1)};\\ 因此\int_M^{\vec F\cdot \vec s} =\iint_M \vec F\cdot\left( {\partial r\over \partial u} \times {\partial r\over \partial v}\right)\;dudv = \int_0^1\int_0^{2\pi} (v,0,1)\cdot ((-\sin u,\cos u,0)\times (0,0,1))\;dudv \\ =\int_0^1\int_0^{2\pi} (v,0,1)\cdot(\cos u,\sin u,0)\;dudv =\int_0^1\int_0^{2\pi} v\cos u\;dudv =\bbox[red,2pt]{0}$$

解答： $$假設T的固有值為\lambda，固有函數為f，則T(f)=f''=\lambda f \Rightarrow f''-\lambda f=0 \\ 若\lambda \gt 0,則f=c_1e^{\sqrt \lambda x} +c_2e^{-\sqrt \lambda x} \Rightarrow f'=c_1\sqrt \lambda e^{\sqrt \lambda x} -c_2\sqrt \lambda e^{-\sqrt \lambda x}\\，再由f(0)=f'(L)=0可得\cases{c_1+c_2=0\\ c_1  e^{\sqrt \lambda L} -c_2  e^{-\sqrt \lambda L}=0} \Rightarrow c_1=c_2=0，不合!\\因此\lambda <0,則f=c\sin(\sqrt{a}x),其中a=-\lambda \Rightarrow f'=c\sqrt{a}\cos (\sqrt a x)\\，再由f(0)=f'(L)=0可得c\sqrt a\cos(\sqrt a L)=0 \Rightarrow \sqrt aL={\pi\over 2}(2n-1) ,n\in Z \\ \Rightarrow a_n={(2n-1)^2\over 4L^2}\pi^2 \Rightarrow 固有值\bbox[red,2pt]{\lambda_n=-{(2n-1)^2\over 4L^2}\pi^2,n\in Z}\\ 及固有函數\bbox[red,2pt]{f=c\sin(\sqrt{-\lambda_n}x),c為任意常數}$$
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