111年國中教育會考(疫情補考)-數學詳解

111 年國中教育會考(補考)

第一部分：選擇題(1～25 題)

解答：$$\cases{x坐標:3-(-1)=4 \Rightarrow 向右移動4單位\\ y坐標:-1-2=-3 \Rightarrow 向下移動3單位 }，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$1+|(-5)-(-3)|= 1+|-5+3| = 1+|-2|=1+2=3，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：

$$以上圖為例，\angle A=60^\circ且\overline{BC}=\overline{B'C'}= 3，但\triangle AB'C'並非正三角形，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$\sqrt{50} +\sqrt{48}-\sqrt{18}-\sqrt{12} =5\sqrt 2+4\sqrt 3-3\sqrt 2-2\sqrt 3 =2\sqrt 2+2\sqrt 3，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$收入金額為15,25,35的最小公倍數525的倍數，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$\cases{上下底均為直角三角形，兩面積共為(3\times 4\div 2)\times 2=12\\ 側面均為矩形，三矩形面積和=4(3+4+5)=48} \Rightarrow 表面積總和=48+12=60\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$x^3-2x^2(1-3x)=x^3-2x^2+6x^3 =7x^3-2x^2，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$9x^2=4 \Rightarrow x^2={4\over 9} \Rightarrow x=\pm \sqrt{4\over 9} =\pm {2\over 3} \Rightarrow \cases{a=2/3\\ b=-2/3} \Rightarrow a-b={4\over 3}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$\cases{(A)8\times 199\times 201= 8\times(200-1)\times (200+1)=8\times(200^2-1)=   320000-8\\ (B)6\times 299\times 301 = 6\times (300-1) \times (300+1)= 6\times (300^2-1)=540000-6 \\(C)4 \times 399\times 401= 4\times (400-1)\times (400+1) =4\times (400^2-1) =640000-4 \\ (D) 2\times 499\times 501 = 2\times (500-1)\times (500+1) =2\times (500^2-1) = 500000-2}\\ \Rightarrow (C)\gt (B)\gt (D)\gt (A)，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$假設金球數量為a，則\cases{銀球數量為5a\\ 白球數量為500a}，共有a+5a+500a=506a個球\\ 因此\cases{抽到金球(免費)的機率為a/506a = 1/506 \ne 1/500\\ 抽到銀球(打五折)的機率=5a/506a= 5/506 \\抽到白球(沒有優惠)的機率=500a/506a = 500/506} \\ \Rightarrow 沒有優惠是打五折的100倍，因此甲錯誤、乙正確，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$\cases{13:00前進入的人數=240+120 +200 = 560\\ 13:00前離開的人數=100+180+110 = 390} \Rightarrow 13:00仍在廠內的人數=560-390= 170\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$\triangle DEC ={1\over 2}\times \overline{EC} \times \overline{AE} \Rightarrow 6\sqrt 5={1\over 2}\times \overline{EC} \times 6 \Rightarrow \overline{EC}=2\sqrt 5; \\直角\triangle AEB中，\overline{AB}^2 = \overline{AE}^2 +\overline{BE}^2 \Rightarrow 9^2 =6^2 +\overline{BE}^2 \Rightarrow \overline{BE}= \sqrt{81-36} =3\sqrt 5\\ 因此\overline{AD} =\overline{BC} =\overline{BE}+\overline{EC} =3\sqrt 5+ 2\sqrt 5= 5\sqrt 5，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$贊成票個數=反對票個數\Rightarrow 180+100+x = 170+130+y \Rightarrow 280+x=300+y \\\Rightarrow x-y=300-280=20，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$\overline{AC}={1\over 3}\overline{AB} \Rightarrow c-(-3.2) ={1\over 3}(6.3-(-3.2)) \Rightarrow c+3.2={1\over 3}(6.3+3.2)= {1\over 3}\times 9.5\\ \Rightarrow c={1\over 3}\times 9.5-3.2 ={1\over 3}(9.5-9.6)= {1\over 3}\times(-0.1) = -0.0333\dots，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$在外租屋的人數為a \Rightarrow 住家裡人數=3a \Rightarrow 非住校人數=a+3a=4a；\\又住校:非住校=2:5 = 住校:4a \Rightarrow 住校={8\over 5}a \\\Rightarrow 住校:住家裡:在外租屋={8\over 5}a: 3a: a = 8:15:5，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：

$$連線A、A'，見上圖，則\triangle BAA'中:\angle DA'A+\angle DAA' = 180^\circ- 2(35^\circ+30^\circ) = 50^\circ \\ 又\angle ADC為\angle A'DA的外角，因此\angle ADC=\angle DA'A+\angle DAA' = 50^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：

$$\overline{AD}\parallel \overline{BC} \Rightarrow \angle C=180^\circ-\angle D=180^\circ-120^\circ = 60^\circ，\\又\overline{AC} \angle BCD的角平分線\Rightarrow \angle ACD= \angle ACB =60^\circ \div 2= 30^\circ;\\ \overline{AD}\parallel \overline{BC} \Rightarrow \angle DAC=\angle ACB= 30^\circ \Rightarrow \angle BAC=180^\circ-110^\circ-30^\circ =40^\circ \\ 因此\cases{\overline{DA}=\overline{DC} \\ \overline{BA}\ne \overline{BC}} \Rightarrow L通過D，不通過B，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$\cases{B(-5,0)\\ C(3,0)} \Rightarrow \overline{BC}的中點(-1,0)，中垂線L':x=-1 \\\Rightarrow 兩直線\cases{L':x=-1\\ L: x+3y=8}的交點(-1, 3)即為外心，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$(A) (-{1\over 0.8})^8 \gt 1 \Rightarrow 1-(-{1\over 0.8})^8\lt 0\\ (B)(-{1\over 0.9})^9 \lt 0 \Rightarrow 1-(-{1\over 0.9})^9 \gt 0\\ (C) (-{1\over 1.2})^{12} \lt 1 \Rightarrow 1-(-{1\over 1.2})^{12} \gt 0\\ (D)(-{1\over 1.3})^{13} \lt 0 \Rightarrow 1-(-{1\over 1.2})^{13} \gt0\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$\cases{a\lt 0 \Rightarrow 圖形凹向下 \\y=0的一根為-101，另一根\gt 101 \Rightarrow 頂點x坐標\gt 0\\ y=0有兩根\Rightarrow 頂點y坐標\gt 0} \Rightarrow 頂點在第一象限，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$三數列公差皆為2，因此\cases{2795 = 2001+2(n_甲-1) \Rightarrow n_甲=398 \\2795 = 2003+2(n_乙-1) \Rightarrow n_乙=397 \\2796 = 2004+2(n_丙-1) \Rightarrow n_丙=397} \Rightarrow \cases{S_甲= S_乙+2001\\ S_丙=S_乙+397} \\ \Rightarrow \cases{S_甲\gt S_乙\\ S_甲\gt S_丙}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：

$$\cfrac{\triangle ADF}{\triangle DBF} =\cfrac{\overline{AD}}{ \overline{DB}} \Rightarrow \cfrac{\overline{AD}}{ \overline{DB}}= \cfrac{20}{30}= \cfrac{2}{3}，又\overline{DF} \parallel \overline{BG} \Rightarrow \cfrac{\overline{AD}}{ \overline{DB}} =\cfrac{\overline{AF}}{ \overline{FG}}=  \cfrac{2}{3};\\ \cfrac{\triangle ABF}{\triangle BFG} =\cfrac{\overline{AF}}{ \overline{FG}} \Rightarrow  \cfrac{20+30}{\triangle BFG}= \cfrac{2}{3} \Rightarrow \triangle BFG=75； 同理:\cfrac{\triangle BFG}{\triangle GBC} =\cfrac{75}{60}=\cfrac{\overline{FG}}{ \overline{GC}} \Rightarrow \cfrac{\overline{FG}}{ \overline{GC}}= \cfrac{5}{4}\\ 又\overline{BF} \parallel \overline{EG} \Rightarrow \cfrac{\overline{BE}}{ \overline{EC}} =\cfrac{\overline{FG}}{ \overline{GC}}= \cfrac{5}{4}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$\cases{\overline{AD} =\overline{AB} \Rightarrow \stackrel{\large\frown}{AD} = \stackrel{\large\frown}{AB} \Rightarrow \angle 1=\angle 2  \\ \overline{CB}\gt \overline{CD} \Rightarrow \stackrel{\large\frown}{CB} \gt \stackrel{\large\frown}{CD} }  \Rightarrow  \stackrel{\large\frown}{BC} +\stackrel{\large\frown}{AB} \gt \stackrel{\large\frown}{AD} +\stackrel{\large\frown}{CD} \Rightarrow \angle 3\gt \angle 4，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$\cases{甲地WBGT= 0.7\times 23+ 0.2\times 30+0.1\times 26 =24.7 :注意\\ 乙地WBGT= 0.7\times 20 +0.3\times 24= 21.2:注意}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$\cases{昨日WBGT_1=24 =0.7T_{W1} +0.3T_{G1} \\今日WBGT_2=   0.7T_{W2} +0.3T_{G2} \\ 25\le WBGT_2\le 28} \Rightarrow WBGT_2 -WBGT_1 \ge 1 \Rightarrow 0.7(T_{W2}-T_{W1}) \ge 1 \\ \Rightarrow T_{W2}-T_{W1}\ge {1\over 0.7}={10\over 7}=1.428 \approx 1.5，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

第二部分：非選擇題(1～2 題)

解答：$$(1)目標區左上角為(1100,910)，因此左下角為(1100,910-50)=\bbox[red,2pt]{(1100,860)}\\(2)假設\cases{按右鍵a次\\ 按上鍵b次}，則遊戲方塊\cases{左上角坐標(40a,40b) \\右上角坐標(50+40a,40b) }；\\遊戲方塊覆蓋目標區需滿足\cases{50+40a\ge 1100\\ 40b\ge 860} \Rightarrow \cases{a\ge 26.25\\ b\ge 21.5} \Rightarrow 至少\bbox[red,2pt]{向右27次，向上22次}$$

解答：$$(1)\cases{1天24小時= 24\times 60\times 60= 86400秒\\ 影片12分鐘=12\times 60= 720秒} \Rightarrow {86400\over 720} =120秒 \\\Rightarrow 影片1秒呈現當時\bbox[red,2pt]{120}秒的景象變化\\ (2)每x秒拍攝一張，一天共拍了{86400/x}張照片，每秒播y張\\，需要播\left({86400\over x}\div y\right) ={86400\over xy}秒 =720\\ 也就是xy= {86400\over 720}=120，即x,y兩數相乘為固定值\\，因此兩數\bbox[red, 2pt]{是}呈反比$$

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解題僅供參考，其他歷年試題及詳解