112年身障生升四技二專-數學(A)詳解

112 學年度身心障礙學生升學大專校院甄試

甄試類(群)組別：四技二專組-數學(A)

單選題，共 20 題，每題 5 分

解答： $$\sin(225^\circ) +\cos(-765^\circ) +\tan(780^\circ) =\sin(180^\circ+45^\circ) + \cos(-720^\circ-45^\circ) +\tan(720^\circ+ 60^\circ) \\ -\sin(45^\circ)+ \cos(45^\circ) +\tan(60^\circ)= {\sqrt 2\over 2}+ {\sqrt 2\over 2}+\sqrt 3= \sqrt 3 ，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$2|x-2|\lt 6 \Rightarrow |x-2| \lt 3 \Rightarrow -3\lt x-2\lt 3 \Rightarrow -1\lt x\lt 5，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答：

$$兩直線\cases{2x+y=3\\ 3x-y=3}相交於A(6/5,3/5),又2x+y=3與x軸交於B(3/2,0)\\ 令f(x,y)=x+y \Rightarrow \cases{f(A)=9/5\\ f(B)=3/2} \Rightarrow 最小值為3/2=1.5，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$\cases{\cases{大扇形角度為2\theta\\ 大扇形半徑r_1=2} \Rightarrow 大扇形面積4\pi\cdot {2\theta\over 2\pi} =4\theta\\ \cases{小扇形角度為\theta\\ 大扇形半徑r_2=1} \Rightarrow 小扇形面積＝\pi\cdot {\theta \over 2\pi} ={\theta\over 2}} \\由於{\theta \over 2}=1 \Rightarrow 4\theta = 8，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$\log_2 (\sin 45^\circ)+ \log_2 64 = \log_2 {1\over \sqrt 2} +\log_2 2^6 =-{1\over 2}+6={11\over 2}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $${ (x^3+\sqrt x)^2 \times (x^{-3/2}+ x^5)\over \sqrt{x^{-1}}} \Rightarrow \cases{分子最高項=6+5=11\\ 分母最高項-1/2} \Rightarrow n=11-(-{1\over 2})={23\over 2}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答：

$$所圍區域頂點坐標為\cases{A(0,1)\\ B(0,2)\\ C(1,0)} \Rightarrow \triangle ABC面積＝1\times 1\div 2={1\over 2}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$-2\lt x\lt {3\over 2 } \Rightarrow (x+2)(x-{3\over 2}) \lt 0 \Rightarrow x^2+{1\over 2}x-3\lt 0 \Rightarrow \cases{a=1/2\\ b=-3} \Rightarrow a-b={7\over 2}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$f(x)=(x-a)(x-b) \Rightarrow x={a+b\over 2}時有極值 \Rightarrow {a+b\over 2}= 1 \Rightarrow a+b=2，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$6人任坐排列數=6!=720\\ A,B相鄰排列數=5!\times 2=240 \Rightarrow A,B不相鄰排列數＝720-240=480 \\\Rightarrow 相差480－240＝240，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$f(x)為線性\Rightarrow f(x)為一次式\\f(x)=a(x-1)+3 =b(x-2)+5 \Rightarrow ax-a+3= bx-2b+5 \Rightarrow \cases{a=b\\ -a+3=-2b+5}\\ \Rightarrow a=b=2 \Rightarrow f(x)=2(x-1)+3 = 2x+1，不通過第四象限，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$x^2+y^2-2x+6y+1=0 \Rightarrow (x-1)^2+(y+3)^2 =3^2 \Rightarrow \cases{圓心O(1，－3)\\ 圓半徑r=3} \\ \Rightarrow d(O,L)=\left|{3-12\over \sqrt{3^2+4^2}} \right| ={9\over 5} \lt r \Rightarrow 圓與L相交於兩點，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$L_2 \parallel L_1 \Rightarrow L_2: x+y=k\\ \cases{L_3\bot L_1且交於(1,0)\Rightarrow L_3:x-y=1\\ L_4\bot L_1且交於(0,1)\Rightarrow L_4:x-y=-1} \Rightarrow d(L_3,L_4)= {2\over \sqrt 2}=\sqrt 2\\ L_1-L_4所圍面積=\sqrt 2 =d(L_3,L_4)\times d(L_1,L_2) \Rightarrow d(L_1,L_2)=1 \Rightarrow {|k-1|\over \sqrt 2}=1\\ \Rightarrow |k-1|=\sqrt 2 \Rightarrow k=1\pm \sqrt 2，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$\log_2 (x^3-x^2-8x+12) =\log_2 ((x-2)(x^2+x-6) )= \log_2 ((x-2)^2(x+3)) \\ = 2\log_2 (x-2)+ \log_2 (x+3))=2a+b，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$S_1\cap S_2=2\times 3 \Rightarrow |S_1\cup S_2| =|S_1|+ |S_2|- |S_1\cap S_2| = 100 +100 -1 =199，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$四個選項只有(0,0)至L的距離為\sqrt 8，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$\cases{前三碼：26^3 \\後四碼\cases{沒有4:9^4\\ 1個4:\cases{4在個位數：9^3 \\4在十位數：9^3 \\4在百位數：9^3 \\4在千位數：9^3 }\Rightarrow 共4\times 9^3}\Rightarrow 共9^4+4\cdot 9^3=5 \times 13\times 9^3} \\\Rightarrow 合計:26^3 \times 9^3\times 13，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$原始分數X\sim N(55,5^2)，調整後的分數Y \sim N(75,10^2)\\ 求線性函數Y=f(x)=aX+b並滿足\cases{X=55 \Rightarrow Y=75\\\sigma(Y)=a\sigma(X)} \Rightarrow \cases{75=55a+b \\ 10=5a} \\ \Rightarrow \cases{a=2\\ b=-35} \Rightarrow f(x)=2x-35，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$選3個號碼，可能情況：\cases{3個號碼都是中獎號，有C^4_3=4種可能\\ 其中2個號碼是中獎號，另一個不是，有C^4_2\cdot C^6_1=36種可能}\\選3個號碼有C^{10}_3=120種選法，因此\cases{3個號碼都是中獎號的機率=4/120\\ 其中2個號碼是中獎號的機率=36/120 } \\ \Rightarrow 期望值=1000\times {4\over 120}+10\times{36\over 120}={109\over 3} =36.33，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$\cases{A：15\times 100 + (102+104+\cdots +120) =2610\\ B：10\times 105+(104+103 +\cdots+ 90)=2505} \\ \Rightarrow \cases{B先完賽\\ 完賽時間相差105秒}，A最後一圈需要120秒，兩者相差不到一圈，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

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