112年武陵高中教甄－數學詳解

 桃園市立武陵高級中等學校 112 學年度第一學期

第 1 次正式教師甄選數學科初試填充題

填充題，每格 5 分，共 25 分，請將答案化至最簡 

解答： $$\cases{0\le x\lt 1 \Rightarrow \lim_{n\to \infty}{(2-x)(x+x^n) \over 1+x^n}=(2-x)x \\ 1\le x \le 2 \Rightarrow \lim_{n\to \infty}{(2-x)(x+x^n) \over 1+x^n}=(2-x)}\\ \Rightarrow \int_0^1 (2-x)x\,dx +\int_1^2 (2-x)dx ={2\over 3}+{1\over 2}=\bbox[red,2pt]{7\over 6}$$

解答：

$$f(x)={\sqrt 2\sin(x+{\pi\over 4})+2x^2+x \over 2x^2+\cos x} ={\sqrt 2(\sin x \cos{\pi\over 4}+ \sin{\pi\over 4}\cos x) +2x^2+x \over 2x^2+\cos x} \\ ={\sin x+\cos x +2x^2+x\over 2x^2+\cos x} =1+{x+\sin x\over 2x^2+ \cos x}\\ 令g(x)={x+\sin x\over 2x^2+ \cos x} \Rightarrow g(-x)=-{x+\sin x\over 2x^2+ \cos x}=-g(x) \Rightarrow g(x)為奇函數\\  \Rightarrow 若g(x)的最大值＝A,則g(x)的最小值=-A \Rightarrow \cases{f(x)的最大值=A+1 =M\\ f(x)的最小值=-A+1 =m} \\ \Rightarrow M+m= \bbox[red, 2pt]2$$

解答：

$$x^5+x^4+1= (x^2+x+1)(x^3-x+1) \Rightarrow x^2+x+1=0的兩根符合|z|=1且兩根之和為 \bbox[red,2pt]{-1}\\ 也許你會問：如何因式分解？其實|z|=1代表因式有1+x或1+x+x^2,或1+x+x^2+x^3,...\\試著用這些因式去分解x^5+x^4+1....$$

解答：

$$f(x)=x^3+x \Rightarrow f'(x)=3x^2+1 \gt 0 \Rightarrow f(x)為嚴格遞增\\ f(ax^2+1)\gt f(ax) \Rightarrow ax^2+1 \gt ax \Rightarrow a=0,1,2,3 \Rightarrow 整數a有\bbox[red, 2pt]4個$$

解答：

$$\cases{n=10\\ k=3}代入公式{(k-1)((k-1)^{n-1}+(-1)^n)\over k} ={2(2^9+1)\over 3}= \bbox[red,2pt]{342}$$

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