Loading [MathJax]/extensions/TeX/HTML.js

2023年4月22日 星期六

112年台中一中教甄-數學詳解

臺中市立臺中第一高級中等學校 112 學年度第 1 次教師甄選

一、填充題 I:(每格 6 分)

解答(x1)+(y1)+(z1)=223x+y+z=19=H31910,x+y+z=9H319C31H39=C21193C119=210355=45
解答f(x)=x36x2+13x{f(α)=6f(β)=14f(x)=3x212x+13f(x)=6x12=0x=2y=f(x)(2,f(2)=10){P=(α,6)P(4α,14)Q=(β,14)Q(4β,6){P=QQ=P{α=4ββ=4αα+β=4
解答α2+5β2+4γ22αβ8βγ=0(α22αβ+β2)+(4β28βγ+4γ2)=0(αβ)2+4(γβ)2=0{ABC=90¯AB2=4¯BC2¯BC=2ABC1224=4
解答11xia5d,a4d,,a,a+d,,a+5d11i=1xi=11a=6a=611(x1+x2++x11)2=(x21+x22++x211)+2(x1x2++x10x11)(6)2=(11a2+110d2)+25d2=25121d=±511x21+x22++x211=(x21+x211)+(x22+x210)++(x25+x27)+(x26)=((a5d)2+(a+5d)2)+((a4d)2+(a+4d)2)++((a+d)2+(ad)2)+a2=(2a2+50d2)+(2a2+32d2)++(2a2+2d2)+a2=11a2+110d2
解答f(n){f(n)>f(n+1)f(n)>f(n1){(45)n(n2+4n)>(45)n+1(n2+6n+5)(45)n(n2+4n)>(45)n1(n2+2n3){n24n20>0n26n15<02+26<n<3+266.89<n<7.89n=7
解答(a23),(b23),(c23),(d23)y=x23x=±y+3(y+3)2±y+3=1((y+3)2+1)2=(±y+3)2(y+3)4+2(y+3)2+1=y+3:34+232+13=97(a23)(b23)(c23)(d23)=97
解答¯PkPk+1=1k¯P1Pk+1=1+12+13++1k{¯P1P2=1¯P1P3=1+12¯P1P4=1+12+13¯P1P2023=1+12+13+120222023k=2¯P1Pk=20221+202112+202013++1120222023k=3¯P2Pk=202112+202013++1120222022m=12023k=m+1¯PmPk=20221+404212+606013++202212022=2022+2021+2020++1=1220232022=2045253

解答

{ABCDEA¯CDF{¯AF=aAFA=θ{¯AA=asinθ¯ED=2acosθ{ACD122acosθaBCDE4a2cos2θ{4a2cos2θ+4a2cosθ=96=134a3cos2θsinθ{f(a,θ)=43a3cos2θsinθg(a,θ)=a2cos2θ+a2cosθ24,Lagrange f{fa=λgafθ=λgθg=0{4a2cos2θsinθ=λ(2acos2θ+2acosθ)43a3(cosθ3sin2θcosθ)=λ(2a2cosθ(sinθ)a2sinθ)3cos2θ+2cos1=0(3cosθ1)(cosθ+1)=0cosθ=13(1θπ)g(a,θ)=a219+a213=24a=36f(a,θ)=43162619223=323
解答{[23]0[223]1[233]2[243]5[253]0[263]1[273]2[283]5{41+2+5=82023=4×505+3505×8+1+2=40433
解答,ABCxy,{A(0,43,0)B(6,23,0)C(6,23,0){H(0,0,0)O(0,0,6)OB×OC=24(0,3,3)OBC:3y+3z=63K(0,32,92)P=A+5K6=(0,34,154),EDEFd(E,ABC)=154DEFABC=(¯OH15/4)2¯OH2=(615/4)262=964ABC=34122=363DEF=964×363=81163


二、填充題 II:(每格 8 分)

解答a1(a1)4=1(a1)3+2(a1)4,1a1,1b1,1c1x1=x1x=x1+1x34x+1=0(x1+1)34(x1+1)+1=0x31+3x21x12=0,x2=1x1x1=1x2:1x32+3x221x22=02x32+x223x21=0x3+12x232x12=0α=1a1,β=1b1,γ=1c1a+1(a1)4+b+1(b1)4+c+1(c1)4=(1(a1)3+1(b1)3+1(c1)3)+2(1(a1)4+1(b1)4+1(c1)4)=(α3+β3+γ3)+2(α4+β4+γ4)(1)f(x)=x3+12x232x12f(x)=3x2+x32f(x)/f(x)=3x121x2+1341x3781x4+8116x5+{α3+β3+γ3=7/8α4+β4+γ4=81/16(α3+β3+γ3)+2(α4+β4+γ4)=78+28116=374


解答(a+x+ax)2=a22a+2a2x2=a2(2a2x2)2=(a22a)24a24x2=a44a3+4a2x2=4a3a44(4a3a4)0a3(a4)00a4{a=11+x+1x=1a=2,3,4xa=2+3+4=9
解答令P(s,t)在雙曲線上,且位於第一象限 \Rightarrow G=\triangle PF_1F_2的重心=(s/3,t/3) \\ 由於\overleftrightarrow{GI}垂直x軸,I=({s\over 3},r),I是內心 \Rightarrow r=內切圓半徑\\ 又\href{https://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d371/37107.pdf}{內切圓圓心必位在過其貫軸頂點且垂直其貫軸的直線上} \Rightarrow {s\over 3}=a=3 \Rightarrow s=9\\ 將P(9,t)代入雙曲線 \Rightarrow {9^2 \over 9}-{t^2\over 16}=1 \Rightarrow t=8\sqrt 2 \Rightarrow \triangle PF_1F_2面積={1\over 2}\cdot 10\cdot 8\sqrt 2=40\sqrt2\\ \triangle PF_1F_2 三邊長\cases{a=\overline{F_1F_2}=10\\ b=\overline{PF_1} =\sqrt{14^2+(8\sqrt 2)^2}=18\\ c=\overline{PF_2}=\sqrt{4^2+(8\sqrt 2)^2}=12} \Rightarrow r={2\triangle 面積\over a+b+c} ={80\sqrt 2\over 40} =\bbox[red,2pt]{2\sqrt 2}
解答\cases{A(2,3) \\B(-9,6) \\O(0,0) \\ P在圓上} \Rightarrow \cases{\overline{OA}=\sqrt{13} \\ \overline{OB}=3\sqrt{13} \\ \overline{OP} =2\sqrt{13}\\ \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB} =0 \Rightarrow \angle BOA=90^\circ} \\ 假設\angle AOP=\theta \Rightarrow \cos \theta ={\overline{OA}^2+ \overline{OP}^2-\overline{AP}^2\over 2\cdot \overline{OA}\cdot \overline{OP}} ={13+52-\overline{AP}^2 \over 2\cdot \sqrt{13}\cdot 2\sqrt{13}} ={65-\overline{AP}^2\over 52} \\ \Rightarrow \overline{AP} =\sqrt{65-52\cos\theta}=\sqrt{13}\sqrt{5-4\cos \theta} \\ 同理,假設\angle BOP=\phi \Rightarrow \cos \phi = {117+52-\overline{BP}^2 \over 2\cdot 3\sqrt{13}\cdot 2\sqrt{13}}  \Rightarrow \overline{BP} =\sqrt{13} \sqrt{13-12\cos\phi}\\ 因此欲求之t=3\overline{AP}-2\overline{BP}= \sqrt{13}\left( \sqrt{45-36\cos\theta} -\sqrt{52-48\cos\phi}\right) \\= \sqrt{13}\left( \sqrt{(3\cos\theta-6)^2+ (3\sin \theta)^2} -\sqrt{(4\cos\phi-6)^2+ (4\sin \phi)^2}\right) \\ =\sqrt{13}(\overline{RT}-\overline{ST}),其中\cases{R(3\cos \theta,3\sin \theta)\\ S(4\cos \phi, 4\sin \phi)\\ T(6,0)}, 即\cases{R在半徑3的圓上\\ S在半徑4的圓上}\\t值要最小,即R,S,T在一直線上,因此最小的t=\sqrt{13}\cdot (-\overline{RS}) =\bbox[red, 2pt]{-5\sqrt{13}} \\ 註:\angle BOA=90^\circ \Rightarrow \phi-\theta=90^\circ \Rightarrow \angle ROS=90^\circ \Rightarrow \overline{RS}=\sqrt{\overline{OR^2}+\overline{OS}^2}=5
解答{1\over \sqrt[3]{1000}}+\int_{1001}^{3376} {1\over \sqrt[3]{k-1}}\,dk\gt \sum_{k=1000}^{3375}{1\over \sqrt[3]{k}} \gt \int_{1000}^{3375}{1\over \sqrt[3]{k}}\,dk+{1\over \sqrt[3]{3375}} \\ \cases{左式= {1\over 10}+ 187.5=187.6 \\ 右式=187.5+{1\over 15}=187.5666} \Rightarrow \sum_{k=1000}^{3375}{1\over \sqrt[3]{k}}  \approx \bbox[red,2pt]{187.6}
========== END ============
解題僅供參考,其他試題及詳解


2 則留言:

  1. 想請問第15題最一開始的不等式怎麼來的,謝謝

    回覆刪除
    回覆
    1. 簡單地說:1/x^(1/3) 是遞減函數,再利用黎曼和的上下界來表示。

      刪除