桃園市立高級中等學校112學年度教師聯合甄選筆試試題
第壹部份： 填充題 （共十二題，占84分）
解答：$$假設|z|=a \in \mathbb{R} \Rightarrow a(3z+2i) =2(iz-6) \Rightarrow z={-12-2ai\over 3a-2i} \\ \Rightarrow |z|^2=a^2 \Rightarrow {144+4a^2\over 9a^2+4}=a^2 \Rightarrow 9a^4=144 \Rightarrow a^4=16 \Rightarrow |z|=a=\bbox[red, 2pt]2$$
解答：$$$$
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解答：$$令\cases{首項a\\ 公比r} ,則a_3+a_4-a_2-a_1=8 \Rightarrow ar^2+ar^3-ar-a= ar^2(r+1)-a(r+1)=8 \\ \Rightarrow a(r-1)(r+1)^2=8 \Rightarrow a={8\over (r-1)(r+1)^2} \\ \Rightarrow a_5+a_6+a_7+a_8 =ar^4(1+r+r^2+r^3) = {8r^4(1+r +r^2+r^3) \over (r-1)(r+1)^2} \\ ={8r^4(r^4-1)\over (r-1)^2(r+1)^2} ={8r^4(r^4-1)\over (r^2-1)^2 } \equiv f(r) \\ \Rightarrow f'(r)={32r^3(r^4-1)+ 32r^7\over (r^2-1)^2}-{ 32r^5(r^4-1)\over (r^2-1)^3} ={(32r^3(r^4-1)+ 32r^7)(r^2-1)-32r^5(r^4-1)\over (r^2-1)^3}\\ ={32r^3(r^2-1)(r^4-1+r^4-r^2(r^2+1)) \over (r^2-1)^3} ={32r^3(r^2-1)(r^4-r^2-1) \over (r^2-1)^3}\\ 因此f'(r)=0 \Rightarrow r^4-r^2-1=0 \Rightarrow r^2={1+\sqrt 5\over 2} \Rightarrow r^4={3+\sqrt 5\over 2} \\ \Rightarrow f(r)={8r^4(r^4-1)\over (r^2-1)^2 } ={8\cdot {3+\sqrt 5\over 2} \cdot {1+\sqrt 5\over 2} \over ({\sqrt 5-1\over 2})^2} ={2(8+4\sqrt 5)\over {3-\sqrt 5\over 2}} =(8+4\sqrt 5)(3+\sqrt 5) \\ = \bbox[red, 2pt]{44+20\sqrt 5}$$
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解答：$$三邊長\cases{a=21\\ b=20\\ c=13} \Rightarrow s=(a+b+c)/2=27 \Rightarrow \triangle 面積= \sqrt{s(s-a) (s-b)(s-b)} \\ =\sqrt{27\cdot 6\cdot 7\cdot 14} =126 \Rightarrow 外接圓半徑={abc \over 4\triangle } ={20\cdot 20\cdot 13\over 4\cdot 126} =\bbox[red,2pt]{65\over 6}$$
解答：$$正方形邊長為a \Rightarrow \cases{A(-a,0)\\ B(0,0)\\ C(0,a)} \Rightarrow P為此三圓\cases{(x+a)^2+y^2=1\\ x^2+y^2= 144\\ x^2+(y-a)^2 =289}的交點\\ \Rightarrow \cases{2ax+a^2=1-144=-143 \\ -2ay+a^2=289-143=145} \Rightarrow \cases{2ax=-a^2-143\\ 2ay=a^2-145} \\ \Rightarrow (2ax)^2+(2ay)^2= (-a^2-143)^2 +(a^2-145)^2 \Rightarrow 4a^2(x^2+y^2)=2a^4-4a^2+143^2+145^2 \\ \Rightarrow 4a^2\cdot 144= 2a^4-4a^2+41474 \Rightarrow a^4-290a^2 + 20737=0 \\ \Rightarrow 正方形面積=a^2 ={290+\sqrt{1152}\over 2} =\bbox[red,2pt]{145+12\sqrt 2}$$
解答：$$甲不能在第一天,甲有C^7_4種選擇; 乙不能與甲同一天,因此乙只能排在剩下的四天,也就是乙只有1種選擇;\\ 丙的三天間必須插入丁2天,因此有H^4_3種排法;總共有C^7_4\cdot H^4_3=35\times 20=\bbox[red, 2pt]{700}種排法$$
解答：$$\cases{x+y+z=7 有H^3_7=36組解\\ 1+x+y+z=6有H^3_6=28組解 } \Rightarrow 0-1999共有36+28=64個數字合乎要求\\ 剩下2005,2014,2023,因此2023排在第\bbox[red,2pt]{67}位,但公布的答案是\bbox[blue, 2pt]{77}$$
解答：$$只能一個一個的計算,假設正整數為n=abcd,其中d是偶數\\ a=2 \Rightarrow n=2004,2002,只有2種\\ \cases{a=1\\ d=0} \Rightarrow \begin{array}{}a & b& c& d\\\hline 0 &0 &5 & 0 \\ 0 &1 &4 & 0 \\ 0 &2 &3 & 0 \\ 0 &3 &2 & 0 \\ 0 &4 &1 & 0 \\ 0 &5 &0 & 0 \\\hdashline 0 & 2& 9& 0 \\ 0 & 3& 8& 0 \\ 0 & 4& 7& 0 \\ 0 & 5& 6& 0 \\ 0 & 6& 5& 0 \\ 0 & 7& 4& 0 \\ 0 & 8& 3& 0 \\ 0 & 9& 2 & 0 \\\hdashline 0 & 8& 9& 0\\ 0 & 9 & 8 & 0\\\hline\end{array} \Rightarrow 共16種 \\ 同理\cases{a=1\\d=2} \Rightarrow 18種,\cases{a=1\\d=4} \Rightarrow 16種,\cases{a=1\\d=6} \Rightarrow 16種,\cases{a=1\\d=8} \Rightarrow 18種,\\ \cases{a=0\\d=0} \Rightarrow 15種,\cases{a=0\\ d=2} \Rightarrow 17種,\cases{a=0\\d=4} \Rightarrow 17種,\cases{a=0\\d=6} \Rightarrow 16種, \cases{a=0\\d=8} \Rightarrow 17種,\\ 共有2+ 16+18 + 16+16 +18 + 15+ 17+17 +16 +17= \bbox[red, 2pt]{168}$$
第貳部份： 計算與證明題 （共一題，占16分）
解答：$$7位數字abcdefg,其中\cases{a+c+e+g=m\\ b+d+f=n}需符合m-n=0或\pm 11\\ m+n= 1+\cdots +7 =28為偶數 \Rightarrow m,n同為偶數或同為奇數 \Rightarrow m-n=0 \Rightarrow m=n=28\div 2=14\\ \Rightarrow n=1+6+7,2+5+7,3+4+7,3+5+6, 共四組,因此共有4\times 3!\times 4!=\bbox[red,2pt]{576}個七位數$$
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