112年身障四等-微積分詳解

112年身心障礙人員考試

考 試 別：身心障礙人員考試
等 別：四等考試
類 科：氣象
科 目：微積分

解答:$$\mathbf{(一)}\;假設x_1 \gt x_2,則1-x_1^3 \lt 1-x_2^3 \Rightarrow 2\cdot \sqrt[3]{1-x_1^3 } \lt 2\cdot \sqrt[3]{1-x_2^3 } \Rightarrow g(x_1)\lt g(x_2) \\ \Rightarrow g(x)是嚴格遞減函數 \Rightarrow g(x)是1對1函數,\bbox[red, 2pt]{故得證}\\ \mathbf{(二)}\;y=2\cdot \sqrt[3]{1-x^3} \Rightarrow 1-x^3 =({y\over 2})^3 \Rightarrow x^3 =1-({y\over 2})^3 \Rightarrow x=\sqrt[3]{1-({y\over 2})^3} \\ \Rightarrow g^{-1}(x)=\bbox[red, 2pt]{{1\over 2}\sqrt[3]{8-y^3}}$$

解答:$$f(x)=(\sin x)^{3\ln x} =e^{3\ln x\ln (\sin x)} \Rightarrow f'(x)=(3\ln x\ln (\sin x))'(\sin x)^{3\ln x} \\=\left({3\ln (\sin x)\over x}+ {3\ln x \cos x\over \sin x}\right)(\sin x)^{3\ln x} =\bbox[red, 2pt]{3(\sin x)^{3\ln x}\left( {\ln(\sin x)\over x}+ \ln x \cdot \cot x\right)}$$

解答:$$f(x)=x+{1\over x} \Rightarrow f'(x)=1-{1\over x^2} \Rightarrow f''(x)={2\over x^3}\\f'(x)=0 \Rightarrow 1-{1\over x^2}=0 \Rightarrow x=\pm 1 \Rightarrow f''(1) \gt 0 \Rightarrow f(1)=2為相對極小值\\ 又\cases{f'(x)\le 0,x\in [0.1,1]\\ f'(x)\ge 0,x\in [1,2]} \Rightarrow  \cases{f(x)遞減,x\in [0.1,1]\\ f(x)遞增,x\in [1,2]}\\ 端點值\cases{f(0.1)=0.1+10=10.1\\ f(2)=2+0.5=2.5},因此\bbox[red, 2pt]{\cases{絕對最大值=10.1\\ 絕對最小值=2}}$$

解答:$$令\cases{u=x\\ dv =2^x\,dx} \Rightarrow \cases{du =dx\\ v={1\over \ln 2}2^x} \Rightarrow \int x2^x \,dx = {1\over \ln 2}x2^x-{1\over \ln 2}\int 2^x\,dx\\ ={1\over \ln 2}x2^x-{1\over (\ln 2)^2}2^x +C = \bbox[red, 2pt]{{2^x\over (\ln 2)^2}\left( x\ln 2-1\right)+C,其中C為常數}$$
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