國立竹北高中 112 學年度 第 1 次教師甄選
一、填充題:(每格 6 分,共 60 分)
解答:{(1,2−6,7)有5種(1,2−7,8)有6種(1,2−8,9)有7種(1,2−8,10)有8種(2,3−7,8)有5種(2,3−8,9)有6種(2,3−9,10)有7種(3,4−8,9)有5種(3,4−9,10)有6種(4,5−9,10)有5種⇒共有4⋅5+3⋅6+2⋅7+8=60⇒機率=60C103=60120=12解答:z=x+yi⇒|z−i|=|z|⇒√x2+(y−1)2=√x2+y2⇒(y−1)2=y2⇒y=12又|z−1|+|z|=√2為一橢圓,其中{焦點F1(1,0)焦點F2(0,0)2a=√2⇒{a=√2/2c=1/2⇒b=12⇒直線y=12與橢圓相切,切點為(0,12),因此解只有1個
解答:9∑m=1m∑k=1k=129∑m=1(m2+m)=12(16⋅9⋅10⋅19+45)=12⋅330=165
解答:
令∠AOP=θ⇒∠AOC=90∘−θ,又△OAB≅△OCB(RHS)⇒∠AOB=45∘−12θ⇒¯AB=¯ABtan∠AOB=tan(45∘−12θ)=1−tan(θ/2)1+tan(θ/2)重疊面積=2△OAB=¯OAׯAB=¯AB=1−tan(θ/2)1+tan(θ/2)=23⇒tan(θ/2)=15⇒tanθ=2tan(θ/2)1−tan2(θ/2)=512
解答:{log4x+log8(yz)=2log4y+log8(xz)=4log4z+log8(xy)=5⇒{12log2x+13log2(yz)=212log2y+13log2(xz)=412log2z+13log2(xy)=5⇒{log2x1/2(yz)1/3=2log2y1/2(xz)1/3=4log2z1/2(xy)1/3=5⇒{x1/2(yz)1/3=4y1/2(xz)1/3=16z1/2(xy)1/3=32,三式相乘⇒(xyz)7/6=211⇒xyz=(211)6/7=266/7⇒k=667
解答:a+b=k⇒a2+b2=k2−2ab(a+1a)(b+1b)=ab+ba+ab+1ab=ab+1ab+a2+b2ab=ab+1ab+k2−2abab=ab+k2+1ab−2≥2√ab⋅k2+1ab−2=2√k2+1−2
解答:f(x)=x100=(x3+x2+x)p(x)+r(x)⇒f(0)=0=r(0)⇒r(x)沒有常數項⇒r(x)=ax2+bx⇒g(x)=x99=(x2+x+1)p(x)+ax+bx3−1=0的三根為1,ω,ω2⇒{g(ω)=1=aω+bg(ω2)=1=aω2+b⇒{a=0b=1⇒餘式r(x)=x
解答:取{A(12cosθ,12sinθ)B(12cosϕ,12sinϕ)P(8,0)⇒{→PA=(12cosθ−8,12sinθ)→PB=(12cosϕ−8),12sinϕ)∠APB=90∘⇒→PA⋅→PB=0⇒(12cosθ−8)(12cosϕ−8)+144sinθsinϕ=0⇒9cos(ϕ−θ)−6(cosθ+cosϕ)+4=0⇒cos(ϕ−θ)=19(6(cosθ+cosϕ)−4)而M=¯AB中點=(6(cosθ+cosϕ),6(sinθ+sinϕ))≡(x,y)⇒x2+y2=36(2+2cos(ϕ−θ))=36(2+2⋅19(6(cosθ+cosϕ)−4))=72+48(cosθ+cosϕ)−32=40+48(cosθ+cosϕ)=40+8x⇒x2+y2−8x−40=0
解答:{log4x+log8(yz)=2log4y+log8(xz)=4log4z+log8(xy)=5⇒{12log2x+13log2(yz)=212log2y+13log2(xz)=412log2z+13log2(xy)=5⇒{log2x1/2(yz)1/3=2log2y1/2(xz)1/3=4log2z1/2(xy)1/3=5⇒{x1/2(yz)1/3=4y1/2(xz)1/3=16z1/2(xy)1/3=32,三式相乘⇒(xyz)7/6=211⇒xyz=(211)6/7=266/7⇒k=667
解答:a+b=k⇒a2+b2=k2−2ab(a+1a)(b+1b)=ab+ba+ab+1ab=ab+1ab+a2+b2ab=ab+1ab+k2−2abab=ab+k2+1ab−2≥2√ab⋅k2+1ab−2=2√k2+1−2
解答:f(x)=x100=(x3+x2+x)p(x)+r(x)⇒f(0)=0=r(0)⇒r(x)沒有常數項⇒r(x)=ax2+bx⇒g(x)=x99=(x2+x+1)p(x)+ax+bx3−1=0的三根為1,ω,ω2⇒{g(ω)=1=aω+bg(ω2)=1=aω2+b⇒{a=0b=1⇒餘式r(x)=x
解答:取{A(12cosθ,12sinθ)B(12cosϕ,12sinϕ)P(8,0)⇒{→PA=(12cosθ−8,12sinθ)→PB=(12cosϕ−8),12sinϕ)∠APB=90∘⇒→PA⋅→PB=0⇒(12cosθ−8)(12cosϕ−8)+144sinθsinϕ=0⇒9cos(ϕ−θ)−6(cosθ+cosϕ)+4=0⇒cos(ϕ−θ)=19(6(cosθ+cosϕ)−4)而M=¯AB中點=(6(cosθ+cosϕ),6(sinθ+sinϕ))≡(x,y)⇒x2+y2=36(2+2cos(ϕ−θ))=36(2+2⋅19(6(cosθ+cosϕ)−4))=72+48(cosθ+cosϕ)−32=40+48(cosθ+cosϕ)=40+8x⇒x2+y2−8x−40=0
解答:取E=x−y平面⇒{A(−5,0,6)B(5,0,6)P(cosθ,sinθ)Q(cosϕ,sinϕ)⇒{→AB=(10,0,0)→AP=(cosθ+5,sinθ,−6)→AQ=(cosϕ+5,sinϕ,−6)⇒四面體體積=16‖1000cosθ+5sinθ,−6cosϕ+5sinϕ−6‖=10|sinϕ−sinθ|最大值=20
解答:
旋轉矩陣T=[cos60∘−sin60∘sin60∘cos60∘]=[1/2−√3/2√3/21/2]⇒[XY]=[1/2−√3/2√3/21/2][xy]=[12(x−√3y)12(√3x+y)]⇒{x−√3y=2X√3x+y=2Y因此3||x−√3y|−8|+2||√3x+y|−18|=72⇒3||2X|−8|+2||2Y|−18|=72⇒|6|X|−24|+|4|Y|−36|=72⇒各頂點坐標為{(±16,±9)(±4,±27)(0,±21)(±10,0)⇒所圍面積=4(△OMN−△AMC−△BDN)=4⋅12(22⋅33−12⋅9−12⋅3)=1140
二、計算證明題:(每題 10 分,共 40 分)
解答:y=f(x)=x2+42x⇒漸近線{x=0y=12x,又f′(x)=(x+2)(x−2)2x2=0⇒x=±2⇒{f(2)=2為極小值f(−2)=(−2)為極大值,圖形如上;
解答:
解答:令{→OA=→a→OA=→a→OB=→b→OC=→c→OD=→d,又{→c=0.6→a+0.4→b3¯AD=8¯BD⇒¯AC:¯CB:¯BD=2:3:3→c⋅→d=0⇒→c⋅→d=(0.6→a+0.4→b)(→b+→BD)=(0.6→a+0.4→b)(→b+0.6→AB)=(0.6→a+0.4→b)(→b+0.6(−→a+→b))=(0.6→a+0.4→b)(−0.6→a+1.6→b))=−0.36|→a|2+0.64|→b|2=0⇒|→b|2|→a|2=0.360.64⇒|→b||→a|=¯OB¯OA=68=34
============ END ============
解答:
解答:令{→OA=→a→OA=→a→OB=→b→OC=→c→OD=→d,又{→c=0.6→a+0.4→b3¯AD=8¯BD⇒¯AC:¯CB:¯BD=2:3:3→c⋅→d=0⇒→c⋅→d=(0.6→a+0.4→b)(→b+→BD)=(0.6→a+0.4→b)(→b+0.6→AB)=(0.6→a+0.4→b)(→b+0.6(−→a+→b))=(0.6→a+0.4→b)(−0.6→a+1.6→b))=−0.36|→a|2+0.64|→b|2=0⇒|→b|2|→a|2=0.360.64⇒|→b||→a|=¯OB¯OA=68=34
============ END ============
解題僅供參考,其他教甄試題及詳解
老師您好 第8題有亂碼
回覆刪除修好了,謝謝提醒
刪除OK!超棒的 謝謝您
刪除老師您好:
回覆刪除計算3 b向量長度倍數0.4×1.6應為0.64,因此後面解答有誤。
謝謝提醒,我再想想!
刪除已修,謝謝
刪除小typo 第四題OB應該是要改AB才對
回覆刪除謝謝, 已修訂
刪除第六題 sqrt(k^2+1)可能要與(k^/4) 分開討論所求最小值才是正確的
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