113年台北市聯合轉學考-升高二(技高)-數學詳解

臺北市高級中等學校 113 學年度聯合轉學考招生考試

升高二數學科試題(技高)

一、 單選題：

解答: $$(a-b,ab)在第三象限\cases{a-b\lt 0 \Rightarrow a\lt b\\ ab\lt 0} \Rightarrow \cases{a\lt 0\\ b\gt 0} \\(A)\times: \cases{a\lt 0\\ -b\lt 0} \Rightarrow A(a,-b)在第三象限 \\(B)\times: \cases{-a\gt 0\\ b\gt 0} \Rightarrow B(-a,b)在第一象限 \\(C)\times: \cases{a^2b\gt 0\\ b\gt 0} \Rightarrow C(a^2b,b)在第一象限 \\(D)\bigcirc: \cases{b-a\gt 0\\ ab^2\lt 0} \Rightarrow D(b-a,ab^2)在第四象限 \\，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答: $$\cases{L_1不過第二象限 \Rightarrow m_1\gt 0\\ L_1\bot L_2 \Rightarrow m_1m_2=-1} \Rightarrow \cases{m_1\gt 0\\ m_2\lt 0} \Rightarrow (m_1,m_2)在第四象限，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答: $$(2x^3+x^2-7x-6) (x^2-x+2)的x^3項係數=2\cdot 2+1\cdot (-1)+(-7)\cdot 1=4-1-7=-4\\，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答: $$f(x)=4x^4+2x^3-3= (x^2-1)p(x)+ax+b \\ \Rightarrow \cases{f(1)=3=a+b\\ f(-1) =-1=-a+b} \Rightarrow \cases{a=2\\b=1} \Rightarrow 2a-b=4-1=3，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答: $$f(x)=2x^3+3x^2-8x+3 \Rightarrow   f(3)= 60\ne 0 \Rightarrow x-3不是因式，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答: $$(B) \times:\Vert (1,1) \Vert =\sqrt{1^2+1^2} =\sqrt 2\ne 1 \Rightarrow (1,1)不是單位向量，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答: $$(D) \bigcirc:(1,2) \cdot (2,-1)=2-2=0 \Rightarrow (1,2) \bot (2,-1)，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答: $$(3x,1) \cdot (2,y)=6 \Rightarrow 6x+y=6，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$


解答: $$\cos \theta={\vec a\cdot \vec b\over |\vec a||\vec b|} ={-1+6\over \sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} ={5\over 5\sqrt 2} ={1\over \sqrt 2} \Rightarrow \theta={\pi\over 4}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$


解答: $$360^\circ \times 3+ 40^\circ =1120^\circ \Rightarrow 1120^\circ 與40^\circ 互為同界角，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答: $$\sin 330^\circ +\tan(-135^\circ) +\cos 120^\circ+\sin 810^\circ \\=\sin(360^\circ-30^\circ)-\tan(135^\circ) +\cos(180^\circ-60^\circ)+ \sin(360^\circ\times 2+90^\circ)\\=-\sin 30^\circ+ \tan45^\circ-\cos 60^\circ+ \sin 90^\circ = -{1\over 2}+1-{1\over 2}+1=1，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答: $$由圖形可知:y(0)=2,只有(A)與(D)符合; 又y的最大值為2,只有(D)符合，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答: $$x^2+y^2+ 4x-2y+k=(x+2)^2 +(y-1)^2+k-5=0 \Rightarrow 半徑=\sqrt{5-k} =3 \Rightarrow k=-4\\，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答: $$|3x-5|\lt 6 \Rightarrow -6\lt 3x-5\lt 6 \Rightarrow -1\lt 3x \lt 11 \Rightarrow -{1\over 3} \lt x\lt {11\over 3} \\ \Rightarrow x=0,1,2,3，共四個整數解，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答: $$f(x)=-x^2+ax+6=-(x-2)^2+b = -x^2+4x-4+b \Rightarrow b=10\\ y=f(x)圖形為凹向下,b=10即為最大值，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答: $$-3\le x\le 5 \Rightarrow -4\le x-1\le 4 \Rightarrow |x-1|\le 4 \Rightarrow (x-1)^2\le 16 \Rightarrow x^2-2x-15 \le 0 \\ \Rightarrow \cases{a=-2\\ b=15} \Rightarrow a+b=-2+15=13，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答: $$L:ax-y+b=0的斜率=a=2 \Rightarrow L:2x-y+b=0\\ 又(0,0)至L距離={|b|\over \sqrt 5} =2\sqrt 5 \Rightarrow |b|=10 \Rightarrow \cases{b=10\\ b=-10} \Rightarrow \cases{a+b=12\\ a+b=-8}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答: $$圓心O(2,1) \Rightarrow 直線L=\overleftrightarrow{OP}的斜率m={3-1\over 3-2} =2 \Rightarrow 切線與L垂直,因此切線斜率=-{1\over 2} \\ \Rightarrow 切線方程式:y=-{1\over 2}(x-3)+3 \Rightarrow x+2y-9=0，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答: $$f(x)=(x^2-5x+6)p(x)+ax-3 =(x-3)(x-2)p(x)+ax-3  \\ (x-3)是f(x)的因式\Rightarrow f(3)=0 \Rightarrow f(3) =3a-3=0 \Rightarrow a=1 \Rightarrow f(2)=2a-3=-1\\，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答: $${3\over 3x+2}-{1\over 2x-1} ={3(2x-1)-(3x+2) \over (3x+2)(2x-1)} ={3x-5\over 6x^2+x-2} ={ax+b\over 6x^2+x-2} \\ \Rightarrow \cases{a=3\\ b=-5} \Rightarrow a+b=-2，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答: $$\cases{\tan \theta=-3/4\\ \cos \theta\lt 0} \Rightarrow \cases{\sin \theta=3/5\\ \cos \theta=-4/5} \Rightarrow 4\sin \theta+3 \cos \theta={12\over 5}+{-12\over 5} =0，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答: $$f(x)=-x^2+2x+3= -(x-1)^2+4 \Rightarrow C(1,4)\\ 又f(x)=-(x-3)(x+1) \Rightarrow \cases{A(3,0) \\B(-1,0)} \Rightarrow \triangle ABC面積={1\over 2}\cdot 4\cdot 4=8，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答: $$\cos \theta={5^2+7^2-8^2 \over 2\cdot 5\cdot 7} ={10\over 70} ={1\over 7}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答: $$\vec a\cdot \vec b=|\vec a||\vec b| \cos 60^\circ =2\cdot 3\cdot {1\over 2} =3 \Rightarrow |3\vec a-2\vec b|^2 =(3\vec a-2\vec b) \cdot(3\vec a-2\vec b)  =9|\vec a|^2+4|\vec b|^2-12\vec a\cdot \vec b \\=36+36-36=36 \Rightarrow |3\vec a-2\vec b|=\sqrt{36} =6，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答: $$將圓等分的直線必定經過圓心O(2,3)，因此通過(5,-3)及(2,3)的直線方程式為2x+y-7=0\\ \Rightarrow \cases{a=2\\ b=-7} \Rightarrow 3a+b=6-7=-1，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

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解題僅供參考，其他轉學考試題及詳解