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2024年7月25日 星期四

113年台聯大轉學考-微積分A2詳解

 台灣聯合大學系統113學年度學士班轉學生考試

科目:微積分
類組別:A2

一、填充題:共8題,每題8分,總計64分

解答:I=0yy2ex2dxdy=0x0y2ex2dydx=130x3ex2dxu=x2,du=2xdxI=160ueudu=16[ueueu]|0=16(0(1))=16
解答:f(x)=exsinxf(x)=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx)f(x)=2excosxf(x)=0cosx=0x=π2,3π2{f(π/2)=eπ/2f(3π/2)=e3π/2inflection points: (π2,eπ/2),(3π2,e3π/2)
解答:limx0xsinx1cosx=limx0(xsinx)(1cosx)=limx0sinx+xcosxsinx=limx0(sinx+xcosx)(sinx)=limx02cosxxsinxcosx=2
解答:an=(1)n(n+2)3n(x3)nlimn|an+1an|=limn|(1)n+1(n+3)(x3)n+13n+13n(1)n(n+2)(x3)n|=limn|(n+3)(x3)3(n+2)|=13|x3|1<13|x3|<10<x<6interval of convergence: (0,6)
解答:{{limx0f(x)=sin0=0limx0+f(x)=b3b3=0b=3{limx0f(x)=limx02cos(2x)=2limx0+f(x)=limx0+4x+a=aa=2(a,b)=(2,3)
解答:
y=rhx+rx,V=πh0(rhx+r)2dx=πh0(r2h2x22r2hx+r2)dx=π[r23h2x3r2hx2+r2x]|h0=13r2hπ
解答:f(x,y)=x312xy+8y3{fx=3x212yfy=12x+24y2{fxx=6xfxy=12fyy=48yD(x,y)=fxxfyyf2xy=288xy144{fx=0fy=0{(x,y)=(0,0)(x,y)=(2,1){D(0,0)=144<0(0,0) is a saddle pointD(2,1)=432>0fxx(2,1)=12>0f(2,1)=8relative minimum: -8
解答:x2+xy=sinx2x+y+xy=cosxy=dydx=cosx2xyx

二、計算、證明題: 共3題,每題12分,總計36分

解答:By integral test, I=31x(lnx)pdx=ln31updu=[11pu1p]|ln3Case I p>1:I=11p(ln3)1p convergentCases II p<1:I= divergentCase III p=1:I=ln31udu=lnln(ln3)= divergent{convergent ,p>1divergent ,0p1
解答:M(t)dMdt=2×4M(t)20(44)t×4=8M(t)5M=815M,M(0)=0M+15M=8et/5M+15Met/5=8et/5(et/5M)=8et/5et/5M=8et/5dt=40et/5+c1M(t)=40+c1et/5M(0)=40+c1=0c1=40M(t)=4040et/5M(10)=40(11e2)
解答:f(x)=g(x)ex+6ex=5e2x5ex+6=0(ex3)(ex2)=0x=ln3,ln2=ln3ln2(f(x)g(x))dx=ln3ln2(ex6ex+5)dx=[ex+6ex+5x]|ln3ln2=5ln322

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解題僅供參考, 其他歷年試題及詳解

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