113 學年度 國立彰化女中 第二次教師甄選初試
解答:
假設∠ACD=θ⇒{∠ADC=120∘+θ∠B=60∘+θ△ADC:1sinθ=3sin(120∘+θ)⇒tanθ=√37⇒{sinθ=√3/2√13cosθ=7/2√13△BCD:¯BCsin(60∘−θ)=2sin60∘=4√3⇒¯BC=4√3sin(60∘−θ)=6√13因此cosA=9+9−36132⋅9⋅9=1113

解答:

解答:
|z1−(3+3i)|=2⇒P(z1)在圓C1:(x−3)2+(y−3)2=22上z2=a+bi⇒iz2−1=(−1−b)+ai⇒|iz2−1|=1⇒Q(z2)在圓C2:x2+(y+1)2=1上⇒|z1−z2|=¯PQ的最小值=兩圓心距離−兩圓半徑和=√32+42−(2+1)=2

解答:令{a=logx3b=logy2⇒{2logx81=24logx3=24a=k3logy16=34logy2=34b=k⇒{4a=log2k=logk/log24b=log3k=logk/log3⇒{a=logk/4log2b=logk/4log3⇒log3x+log2y=1a+1b=4log2logk+4log3logk=log(24⋅34)logk=1⇒k=24⋅34=1296

解答:


解答:令{a=logx3b=logy2⇒{2logx81=24logx3=24a=k3logy16=34logy2=34b=k⇒{4a=log2k=logk/log24b=log3k=logk/log3⇒{a=logk/4log2b=logk/4log3⇒log3x+log2y=1a+1b=4log2logk+4log3logk=log(24⋅34)logk=1⇒k=24⋅34=1296

解答:limn→∞(1√n2+2n+1√n2+4n+⋯+1√n2+2n2)=limn→∞n∑k=11√n2+2kn=limn→∞n∑k=11n√1+2kn=∫101√1+2xdx=[√1+2x]|10=√3−1
解答:a2−a=a(a−1)=奇數×偶數=1000k=(125×8)k⇒a=125p=8q±1⇒{p=1,2,不合p=3⇒a=125×3=375⇒a+1=8×47=376⇒取a=376⇒376×375=1000×141p=4,不合p=5⇒a=125×5=625⇒a−1=624=8×78⇒取a=625⇒625×624=1000×390p=6,7,8,不合⇒a=376,625

解答:a2−a=a(a−1)=奇數×偶數=1000k=(125×8)k⇒a=125p=8q±1⇒{p=1,2,不合p=3⇒a=125×3=375⇒a+1=8×47=376⇒取a=376⇒376×375=1000×141p=4,不合p=5⇒a=125×5=625⇒a−1=624=8×78⇒取a=625⇒625×624=1000×390p=6,7,8,不合⇒a=376,625

解答:f(t)=√(t−1)2+(2t−1)2+(2t−3)2+√(t−2)2+(2t)2+(2t+1)2=√9t2−18t+11+√9t2+5⇒f′(t)=0⇒9t−9√9t2−18t+11+9t√9t2+5=0⇒3t2−10t+5=0⇒t=5±√103⇒f(5−√103)<f(5+√103)⇒t=5−√103有最小值
解答:x2+y2−2x−6y+8=0⇒(x−1)2+(y−3)2=2⇒y=3−√2−(x−1)2兩圖形交於(0,0)及(2,2),因此旋轉體積=π∫20(3−√2−(x−1)2)2dx−π∫20x2dx=π(463−3π)−83π=383π−3π2解答:

假設{小圓(月亮)圓心O1,半徑r=1大圓(太陽)圓心O2,半徑RC=¯O1Q與¯AB的交點⇒¯BC=12¯AB=12√3⇒{∠CO1B=60∘∠O1BC=30∘又¯CQ=¯O1P−¯PQ−¯O1C=√3−32⇒tan∠QBC=¯CQ¯BC=2−√3⇒{∠QBC=15∘∠CQB=75∘由於¯O2B=¯O2Q=R⇒∠BO2C=180∘−75∘×2=30∘⇒R=¯BC×2=√3⇒{扇形AQBO2面積=16(√3)2π=π2△ABO2面積=12√3⋅√3sin60∘=3√34⇒弓形AQB面積=π2−3√34同理,{扇形APBO1面積=13π△ABO1面積=12sin120∘=√3/4⇒弓形APB面積=π3−√34⇒月偏食亮面面積=(π3−√34)−(π2−3√34)=−π6+√32⇒月偏食亮面面積滿月圓面積=(−π6π+√32)/π=√32π−16
解答:limn→∞(1√3n2+1√3n2+⋯+1√3n2)<原式<limn→∞(1√3n2+2n+1√3n2+2n+⋯+1√3n2+2n)⇒limn→∞(2n√3n2)<原式<limn→∞(2n√3n2+2n)⇒2√3<原式<2√3⇒原式=2√33
解答:依題意取{C(0,0)A(−1,−1)B(1,−1)P(12cosθ,12sinθ)⇒{→AB=(2,0)→BC=(−1,1)→AP=(12cosθ+1,12sinθ+1)→AP=α→AB+β→BC⇒(12cosθ+1,12sinθ+1)=(2α−β,β)⇒{α=1+14(sinθ+cosθ)β=12sinθ+1⇒4α−β=3+12sinθ+cosθ=3+√52sin(θ+δ)最大值=3+√52
解答:假設正△的邊長為a,其面積為√34a2⇒體積=2∫20√34a2da=4√33
解答:假設{A(0,8)∈L1B(9,2)∈L4C(6,0)∈L2D(−5,4)∈L3,其中{L1∥L2L3∥L4L1⊥L3⇒{L1:y=mx+a1⇒a1=8⇒y=mx+8L2:y=mx+a2⇒0=6m+a2⇒y=mx−6mL3:x+my=b1⇒−5+4m=b1⇒x+my=4m−5L4:x+my=b2⇒9+2m=b2⇒x+my=2m+9又d(L1,L2)=d(L3,L4)⇒|6m+8|√m2+1=|2m−14|√m2+1⇒(6m+8)2=(2m−14)2⇒{m=3/4⇒d(L1,L2)=10m=−11/2⇒d(L1,L2)=2√5⇒最大面積=102=100
解答:由於{(x−1)2≥0x2+2x+3=(x+1)2+2>0,因此僅需考慮(x−k)(x−6)≤0若{k<6⇒k<x<6有10個整數解⇒x=5,4,…,−4⇒−5≤k<−4k>6⇒6<x<k有9個整數解(還有x=1,共10個)⇒x=7,8,…,15⇒15<k≤16⇒{a=15b=16c=−5d=−4⇒a+b+c+d=22
解答:{O(−1,2)I(2,2)A(2,8)⇒{△ABC外接圓Γ1:(x+1)2+(y−2)2=45L=↔IA:x=2⇒D=Γ∩L=(2,−4)以D為圓心,¯DI=6為半徑的圓Γ2:(x−2)2+(y+4)2=36Γ1∩Γ2⇒(x+1)2+(y−2)2−45=(x−2)2+(y+4)2−36⇒x−2y=4依雞爪定理:Γ1∩Γ2的兩點即為B,C參考資料
解答:
解答:limn→∞(1√3n2+1√3n2+⋯+1√3n2)<原式<limn→∞(1√3n2+2n+1√3n2+2n+⋯+1√3n2+2n)⇒limn→∞(2n√3n2)<原式<limn→∞(2n√3n2+2n)⇒2√3<原式<2√3⇒原式=2√33
解答:依題意取{C(0,0)A(−1,−1)B(1,−1)P(12cosθ,12sinθ)⇒{→AB=(2,0)→BC=(−1,1)→AP=(12cosθ+1,12sinθ+1)→AP=α→AB+β→BC⇒(12cosθ+1,12sinθ+1)=(2α−β,β)⇒{α=1+14(sinθ+cosθ)β=12sinθ+1⇒4α−β=3+12sinθ+cosθ=3+√52sin(θ+δ)最大值=3+√52
解答:假設正△的邊長為a,其面積為√34a2⇒體積=2∫20√34a2da=4√33
解答:由於{(x−1)2≥0x2+2x+3=(x+1)2+2>0,因此僅需考慮(x−k)(x−6)≤0若{k<6⇒k<x<6有10個整數解⇒x=5,4,…,−4⇒−5≤k<−4k>6⇒6<x<k有9個整數解(還有x=1,共10個)⇒x=7,8,…,15⇒15<k≤16⇒{a=15b=16c=−5d=−4⇒a+b+c+d=22
解答:{O(−1,2)I(2,2)A(2,8)⇒{△ABC外接圓Γ1:(x+1)2+(y−2)2=45L=↔IA:x=2⇒D=Γ∩L=(2,−4)以D為圓心,¯DI=6為半徑的圓Γ2:(x−2)2+(y+4)2=36Γ1∩Γ2⇒(x+1)2+(y−2)2−45=(x−2)2+(y+4)2−36⇒x−2y=4依雞爪定理:Γ1∩Γ2的兩點即為B,C參考資料
解答:

y=x2+bx+c=(x−α)2−β2(β>0)⇒{A(α−β,0)B(α+β,0)C(0,α2−β2<0)⇒α<βM(α,−β2)⇒S△ABM=12⋅2β⋅β2=β3由阿基米德某性質(參考資料)可知:S△ACM=18S△ABM現在S△ABM+S△ACM=9⇒S△ABM=β3=8⇒β=2又通過(−2,5)⇒5=(−2−α)2−4⇒α=1⇒y=(x−1)2−4⇒y=x2−2x−3=x2+bx+c⇒(b,c)=(−2,−3)
解答:令{P(x,y)Q(0,a),且¯PQ=23¯PB⇒x2+(y−a)2=49(x2+(y−6)2)⇒5x2+5y2−18ay+48y+9a2−144=0⇒5⋅16−6y(3a−8)+9a2−144=0⇒9a2−64−6y(3a−8)=0⇒(3a−8)(3a+8−6y)=0⇒a=83⇒Q(0,83)因此3¯PA+2¯PB=3¯PA+2⋅32¯PQ=3(¯PA+¯PQ)最小值出現在Q,P,A在一直線⇒最小值=3¯AQ=3⋅√82+(8/3)2=3⋅√6409=8√10
解答:將{k=6n=7代入公式(k−1)[(k−1)n−1+(−1)n]k=5(56−1)6=13020
解答:令{∠EAF=θ¯AB=¯AE=a⇒cosθ=a2−32a⇒sinθ=√−a4+10a2−92a⇒S△ABC=12¯AB⋅¯ACsin∠BAC=12asin(240∘−θ)=−12asin(60∘−θ)=−14(√3cosθ−sinθ)=f(a)=−18(√3a2−3√3−√−a4+10a2−9)⇒f′(a)=0⇒2√3a=−2a3+10a√−a4+10a2−9⇒16a6−160a4+208a2=0⇒16a2(a4−10a2+10)=0⇒a2=5−2√3⇒f(a2=5−2√3)=−18(√3(5−2√3)−3√3−√−(5−2√3)2+10(5−2√3)−9=−18(2√3−8)=1−√34
解答:{cos2A+cos2B+2sinAsinBcosC=158cos2B+cos2C+2sinBsinCcosA=149兩式相加⇒cos2A+2cos2B+cos2C+2sinB(sinAcosC+sinCcosA)=158+149⇒cos2A+2cos2B+cos2C+2sinBsin(A+C)=cos2A+2cos2B+cos2C+2sin2B=24772⇒cos2A+cos2C=24772−2⇒cos2A+cos2C=10372⋯(1)兩式相減⇒cos2A−cos2C+2sinB(sinAcosC−sinCcosA)=158−149⇒cos2A−cos2C+2sin(A+C)sin(A−C)=cos2A−cos2C+cos(2C)−cos(2A)=2372⇒cos2A−cos2C+(2cos2C−1)−(2cos2A−1)=2372⇒−cos2A+cos2C=2372⋯(2)由(1)及(2)可得{cos2A=5/9cos2C=7/8因此cos2C+cos2A+2sinCsinAcosB=10372+2sinCsinA(−cos(A+C))=10372+2sinCsinA(sinAsinC−cosAcosC)=10372+2sin2Asin2C−2sinCcosCsinAcosA=10372+2⋅49⋅18±2⋅1√8⋅√7√8⋅23⋅√53=11172±4√3572
解答:
解答:令{P(x,y)Q(0,a),且¯PQ=23¯PB⇒x2+(y−a)2=49(x2+(y−6)2)⇒5x2+5y2−18ay+48y+9a2−144=0⇒5⋅16−6y(3a−8)+9a2−144=0⇒9a2−64−6y(3a−8)=0⇒(3a−8)(3a+8−6y)=0⇒a=83⇒Q(0,83)因此3¯PA+2¯PB=3¯PA+2⋅32¯PQ=3(¯PA+¯PQ)最小值出現在Q,P,A在一直線⇒最小值=3¯AQ=3⋅√82+(8/3)2=3⋅√6409=8√10
解答:將{k=6n=7代入公式(k−1)[(k−1)n−1+(−1)n]k=5(56−1)6=13020
解答:令{∠EAF=θ¯AB=¯AE=a⇒cosθ=a2−32a⇒sinθ=√−a4+10a2−92a⇒S△ABC=12¯AB⋅¯ACsin∠BAC=12asin(240∘−θ)=−12asin(60∘−θ)=−14(√3cosθ−sinθ)=f(a)=−18(√3a2−3√3−√−a4+10a2−9)⇒f′(a)=0⇒2√3a=−2a3+10a√−a4+10a2−9⇒16a6−160a4+208a2=0⇒16a2(a4−10a2+10)=0⇒a2=5−2√3⇒f(a2=5−2√3)=−18(√3(5−2√3)−3√3−√−(5−2√3)2+10(5−2√3)−9=−18(2√3−8)=1−√34
解答:{cos2A+cos2B+2sinAsinBcosC=158cos2B+cos2C+2sinBsinCcosA=149兩式相加⇒cos2A+2cos2B+cos2C+2sinB(sinAcosC+sinCcosA)=158+149⇒cos2A+2cos2B+cos2C+2sinBsin(A+C)=cos2A+2cos2B+cos2C+2sin2B=24772⇒cos2A+cos2C=24772−2⇒cos2A+cos2C=10372⋯(1)兩式相減⇒cos2A−cos2C+2sinB(sinAcosC−sinCcosA)=158−149⇒cos2A−cos2C+2sin(A+C)sin(A−C)=cos2A−cos2C+cos(2C)−cos(2A)=2372⇒cos2A−cos2C+(2cos2C−1)−(2cos2A−1)=2372⇒−cos2A+cos2C=2372⋯(2)由(1)及(2)可得{cos2A=5/9cos2C=7/8因此cos2C+cos2A+2sinCsinAcosB=10372+2sinCsinA(−cos(A+C))=10372+2sinCsinA(sinAsinC−cosAcosC)=10372+2sin2Asin2C−2sinCcosCsinAcosA=10372+2⋅49⋅18±2⋅1√8⋅√7√8⋅23⋅√53=11172±4√3572
解答:
無法連成一直線的有28種,如上圖(其中右邊三圖是左圖的旋轉)因此欲求之機率=1−28C95=1−29=79
======================== END ===========================
解題僅供參考,教甄歷年試題及詳解
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