臺北市立內湖高級工業職業學校 113 學年度正式教師甄選
科別: 數學科 範圍: 數學科專業知能 考試時間: 100 分鐘
壹、 填充題 (每題 7 分, 共 70 分;請在答案卷相對應的題號欄中寫下答案。 )
解答:x5+2x2+x+3=x(x4+x−1)+x2+2x+3⇒(x5+2x2+x+3)2=p(x)(x4+x−1)+(x2+2x+3)2而(x2+2x+3)2=(x4+x−1)+4x3+10x2+11x+10⇒餘式為4x3+10x2+11x+10解答:令{α=3√n+1β=3√n−1⇒α−β=α3−β3α2+αβ+β2=23√(n+1)2+3√n2−1+3√(n−1)2=2an⇒1an=12(α−β)=12(3√n+1−3√n−1)⇒1a1+1a3+1a5+⋯+1a4095=12((3√2−0)+(3√4−3√2)+(3√6−3√4)+⋯+(3√4096−3√4094))=123√4096=12212/3=12⋅16=8
解答:¯AD2=|→AD|2=|→AB+→BC+→CD|2=|→AB|2+|→BC|2+|→CD|2+2(→AB⋅→BC+→BC⋅→CD+→CD⋅→AB)=32+22+12+2(−→BA⋅→BC−→CB⋅→CD+→CD⋅→AB)=14+2(−cos120∘¯BA⋅¯BC−cos120∘¯BC⋅¯CD+cos60∘¯CD⋅¯AB)=14+2(12⋅3⋅2+12⋅2⋅1+12⋅1⋅3)=14+(6+2+3)=25⇒¯AD=√25=5
解答:兩人比賽有三種情形,兩得分總和為6,平均每局得2分假設高三有n位學生,高二與高三學生比賽Cn+32次,得分總和為2Cn+32因此2Cn+32−20=np⇒n2+(5−p)n−14=0⇒p=n2−14n+5⇒p=n+5−14n⇒14n∈N⇒n=1,2,7,14⇒n=14⇒p=18
解答:(a−3)2+(b−3)2+(c−3)2+(d−3)2=4⇒(a−3,b−3,c−3,d−3)={(±2,0,0,0)(±1,±1,±1,±1)⇒(a,b,c,d)={(5,3,3,3)⇒排列數4(1,3,3,3)⇒排列數4(4,4,4,4)⇒排列數1(2,4,4,4)⇒排列數4(2,2,4,4)⇒排列數6(2,2,2,4)⇒排列數4(2,2,2,2)⇒排列數1⇒總排列數24⇒機率=2464=154
解答:t=10675⇒⌊10202510675+2025⌋=⌊t3t+2025⌋=⌊t2−2025t+20252−20253t+2025⌋=⌊20252−20253t+2025⌋ mod 1000=624(∵0<20253t+2025<1)
解答:Γ:[x′y′]=[cos45∘−sin45∘sin45∘cos45∘][xy]=[√22(x−y)√22(x+y)]⇒{x=(x′+y′)/√2y=(y′−x′)/√2⇒(x′+y′√2)25+(y′−x′√2)210=1⇒3x′2+2x′y′+3y′−20=0⇒3x2+2xy+3y2−20=0
解答:
{−1≤x≤0:A=π∫0−1(1−x2)2dx=815π0≤x≤1:B=π∫10(−1−x)2dx=73π1≤x≤2:C=π∫21((−1−x)2−(1−x2)2)dx=195π⇒A+B+C=10015π=203π
解答:假設x7−1=0的七個根為1,x1,x2,…,x6,則x1,x2,…,x6為f(x)=x6+x5+⋯+x+1=0的六根⇒f(x)=(x−x1)(x−x2)⋯(x−x6)⇒f(1)=7=(1−x1)(1−x2)⋯(1−x6)=¯AB⋅¯AC⋯¯AG又¯AB2+¯AC2+⋯+¯AG2=(→AO+→OB)⋅(→AO+→OB)+(→AO+→OC)⋅(→AO+→OC)+⋯+(→AO+→OG)⋅(→AO+→OG)=(2+2→AO⋅→OB)+(2+2→AO⋅→OC)+⋯+(2+2→AO⋅→OG)=12+2→AO⋅(→OB+→OC+⋯+→OG)=12+2→AO⋅(→OA+→OB+→OC+⋯+→OG−→OA)=12+2→AO⋅→AO=14因此(¯AB⋅¯AC⋯¯AG)(¯AB2+⋯+¯AG2)=7×14=98
解答:假設x7−1=0的七個根為1,x1,x2,…,x6,則x1,x2,…,x6為f(x)=x6+x5+⋯+x+1=0的六根⇒f(x)=(x−x1)(x−x2)⋯(x−x6)⇒f(1)=7=(1−x1)(1−x2)⋯(1−x6)=¯AB⋅¯AC⋯¯AG又¯AB2+¯AC2+⋯+¯AG2=(→AO+→OB)⋅(→AO+→OB)+(→AO+→OC)⋅(→AO+→OC)+⋯+(→AO+→OG)⋅(→AO+→OG)=(2+2→AO⋅→OB)+(2+2→AO⋅→OC)+⋯+(2+2→AO⋅→OG)=12+2→AO⋅(→OB+→OC+⋯+→OG)=12+2→AO⋅(→OA+→OB+→OC+⋯+→OG−→OA)=12+2→AO⋅→AO=14因此(¯AB⋅¯AC⋯¯AG)(¯AB2+⋯+¯AG2)=7×14=98
解答:
取{O(0,0,0)P(0,0,2)Q(5,0,0)A(5,5,0)B(5,−5,0)C(−5,−5,0)⇒{→PA=(5,5,−2)→PB=(5,−5,−2)→PC=(−5,−5,−2)⇒{→u=→PA×→PB=(−20,0,−50)→v=→PB×→PC=(0,20,−50)⇒−cosα=−→u⋅→v|→u||→v|=−25002900=−2529
貳、 計算證明題(每題 10 分, 共 30 分;請在答案卷相對應的題號中作答,並請寫下完整的計算或證明過程,否則不予計分。 )
解答:y2=2x⇒焦點F(12,0)⇒L:y=m(x−12)代入拋物線方程式⇒m2(x−12)2=2x⇒m2x2−(m2+2)x+14m2=0⇒兩交點{A(α,√2α)B(β,−√2β)⇒αβ=14⇒→OA⋅→OB=(α,√2α)⋅(β,−√2β)=αβ−2√αβ=14−2⋅12=−34
解答:f(x)=1x2⇒f′(x)=−2x3假設P(a,f(a))=(a,1a2),則L:y=−2a3(x−a)+1a2⇒{A(32a,0)B(0,3a2)⇒¯AB=√94a2+9a4取g(a)=94a2+9a4⇒g′(a)=0⇒a=√2⇒{¯AB=3√32P(√2,12)
解答:90∑k=12ksin2k∘=2(1⋅sin2∘+2sin4∘+⋯+44sin88∘+45sin90∘+46sin92∘+⋯+89sin178∘+90sin180∘)=2(1⋅sin2∘+2sin4∘+⋯+44sin88∘+45sin90∘+46sin88∘+⋯+88sin4∘+89sin2∘+0)=2(90sin2∘+90sin4∘+⋯+90sin88∘)+2⋅45sin90∘=180(sin2∘+sin4∘+⋯+sin88∘)+90=90sin1∘(2sin2∘sin1∘+2sin4∘sin1∘+⋯+2sin88∘sin1∘)+90=90sin1∘(cos1∘−cos3∘+cos3−cos5∘+⋯+cos87∘−cos89∘)+90=90sin1∘(cos1∘−cos89∘)+90=90sin1∘(cos1∘−sin1∘)+90=90cot1∘⇒90∑k=12ksin2k∘的平均值=90cot1∘90=cot1∘.故得證
解答:f(x)=1x2⇒f′(x)=−2x3假設P(a,f(a))=(a,1a2),則L:y=−2a3(x−a)+1a2⇒{A(32a,0)B(0,3a2)⇒¯AB=√94a2+9a4取g(a)=94a2+9a4⇒g′(a)=0⇒a=√2⇒{¯AB=3√32P(√2,12)
解答:90∑k=12ksin2k∘=2(1⋅sin2∘+2sin4∘+⋯+44sin88∘+45sin90∘+46sin92∘+⋯+89sin178∘+90sin180∘)=2(1⋅sin2∘+2sin4∘+⋯+44sin88∘+45sin90∘+46sin88∘+⋯+88sin4∘+89sin2∘+0)=2(90sin2∘+90sin4∘+⋯+90sin88∘)+2⋅45sin90∘=180(sin2∘+sin4∘+⋯+sin88∘)+90=90sin1∘(2sin2∘sin1∘+2sin4∘sin1∘+⋯+2sin88∘sin1∘)+90=90sin1∘(cos1∘−cos3∘+cos3−cos5∘+⋯+cos87∘−cos89∘)+90=90sin1∘(cos1∘−cos89∘)+90=90sin1∘(cos1∘−sin1∘)+90=90cot1∘⇒90∑k=12ksin2k∘的平均值=90cot1∘90=cot1∘.故得證
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