113年嘉科實中高中部教甄-數學詳解

 國立嘉科實驗高級中學113學年度高中部教師甄選

一、 填充題（每題 7 分， 共 56 分）

解答: $$k的個位數=1 \Rightarrow k^k的個位數=1\\k的個位數=2 \Rightarrow k^k的個位數=4,6,循環 \\k的個位數=3 \Rightarrow k^k的個位數=7,3,循環 \\ k的個位數=4 \Rightarrow k^k的個位數=6 \\k的個位數=5 \Rightarrow k^k的個位數=5 \\ k的個位數=6 \Rightarrow k^k的個位數=6 \\ k的個位數=7 \Rightarrow k^k的個位數=3,7,循環 \\k的個位數=8 \Rightarrow k^k的個位數=6,4,循環 \\k的個位數=9 \Rightarrow k^k的個位數=9 \\k的個位數=0 \Rightarrow k^k的個位數=0 \\ 555=10\times 55+5 \Rightarrow \cases{k^k的個位數=1-5要加總56次\Rightarrow \cases{1\times 56 = 6 \text{ mod } 10 \\(4+6) \times 28= 0  \text{ mod } 10 \\ (7+3)\times 28  =0\text{ mod } 10 \\ 6\times 56 = 6\text{ mod } 10 \\ (5+5) \times 28 =0 \text{ mod }10} \\k^k的個位數=6-0要加總55次 \Rightarrow \cases{6 \times 55 = 0 \text{ mod }10\\ (3+7) \times 27+3 = 3 \text{ mod }10 \\ (6+4) \times 27+6 = 6 \text{ mod }10) \\ 9\times 55 = 5\text{ mod }10 \\ (0+0+0+0) \times 55 =0  \text{ mod }10}} \\ \Rightarrow 6+0 +0+6+0+0+3+6+5+0=26 = \bbox[red, 2pt]6 \text{ mod }10$$

解答: $$1+10+100+ 1000+10000=11111\\ 2開頭有{5!\over 2!3!} =10個六位數，每個位數有6個5及4個3組成,因此數字總和\\\qquad =200000\times 10+ (6\times 5+4\times 3)\cdot 11111= 2466662\\ 3開頭有{5!\over 3!}=20個六位數，每個位數有12個5及4個3及4個2組成,因此數字總和\\\qquad = 300000\times 20+ (12\times 5+4\times 3+ 4\times 2)\cdot 11111= 6888880 \\ 5開頭有{5!\over 2!2!} =30個六位數，每個位數有12個5及12個3及6個2組成,因此數字總和\\\qquad = 500000\times 30+(12\times 5+12\times 3+6\times 2) \cdot 11111 = 16199988 \\ \Rightarrow 平均數={2466662+ 6888880 +16199988\over 60} ={25555530\over 60} = \bbox[red, 2pt]{425925.5}$$

解答: $$L_2的斜率為{1\over 7}且L_2\bot \overleftrightarrow{AB} \Rightarrow \overleftrightarrow{AB}的斜率為-7 \Rightarrow \overleftrightarrow{AB}:y-3=-7(x-5) \Rightarrow 7x+y=38 \\ \Rightarrow B=\overleftrightarrow{AB} \cap L_1 = ({23\over 4},-{9\over 4}) \\ 又A對稱L_1的對稱點A'(2,-6) \Rightarrow \overleftrightarrow{A'B}= \overleftrightarrow{BC}:x-y=8 \Rightarrow {1\over 8}x-{1\over 8}=1 \Rightarrow (a,b)= \bbox[red, 2pt]{({1\over 8},-{1\over 8})}$$

解答: $$假設\cases{P(3,2,1)\\ Q(0,0,2) \in L_1 \\A=L\cap L_1\\ B=L\cap L_2}及\cases{L_1方向向量\vec u_1=(2,2,1) \\ L_2方向向量\vec u_2 =(1,-1,-1)} \Rightarrow \overrightarrow{PQ} =(3,2,-1) \Rightarrow \vec n= \vec u_1\times \overrightarrow{PQ} =(-4,5,-2) \\ \Rightarrow 包含\triangle PQA的平面E:-4x+5y-2(z-2)=0 \Rightarrow 4x-5y+2z=4 \\ \Rightarrow B\in L_2 且B\in E \Rightarrow B(t-4,-t+3,-t)代入E \Rightarrow 4(t-4)-5(-t+3)+2(-t)=4 \Rightarrow t=5 \\ \Rightarrow B(1,-2,-5) \Rightarrow L=\overleftrightarrow{PB} :{x-3\over 2}={y-2\over 4} ={z-1\over 6} \Rightarrow {x-3\over 1/3}={y-2 \over 2/3}=z-1 \\ \Rightarrow (a,b) =\bbox[red, 2pt]{({1\over 3},{2\over 3})}$$

解答: $$y-z=1 \Rightarrow z=y-1 代入球方程式 \Rightarrow x^2+y^2 +(y-1)^2=4 \Rightarrow x^2+ 2(y-{1\over 2})^2={7\over 2} \\ \Rightarrow {x^2\over 7/2} +{y^2\over 7/4}=1 \Rightarrow \cases{a=\sqrt{7/2} \\b= \sqrt 7/2} \Rightarrow 橢圓面積=ab\pi={7\over 2\sqrt 2}\pi  = \bbox[red, 2pt]{{7\sqrt 2\over 4}\pi}$$

解答: $$取g(x)=xf(x)-2, 則g(1)=g(2) =\cdots =g(2025)=0 \Rightarrow g(x)=k(x-1)(x-2)\cdots (x-2025) \\ \Rightarrow g(0)=-2=-k\cdot 2025! \Rightarrow k={2\over 2025!} \Rightarrow g(2026)=2026f(2026)-2= k\cdot 2025! =2\\ \Rightarrow f(2026)={4\over 2026} = \bbox[red, 2pt]{2\over 1013}$$

解答: $${x^2\over 225}+{y^2\over 144}=1 \Rightarrow \cases{a=15\\ b=12} \Rightarrow c=9 \Rightarrow \cases{e=c/a=3/5\\ d=a^2/c=25} \Rightarrow \cases{A(9,0)為焦點\\準線L:x=25}\\ \Rightarrow \overline{PA} ={3\over 5}d(P,L) \Rightarrow k=5\overline{PA}+ 3\overline{PB}=3d(P,L)+3\overline{PB} =3(d(P,L)+ \overline{PB}) \\ 希望k最小,也就是d(P,L)+ \overline{PB}要最小，即k=3d(B,L) =3\cdot (25-7) = \bbox[red, 2pt]{54}$$

解答: $$假設T(x,y)=  \begin{bmatrix}a& b \\c& d \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\y \end{bmatrix} =(ax+by,cx+dy) \\ \cases{(-3,0) \in L_1\\ (0,-6/5) \in L_1} \Rightarrow \cases{T(-3,0)=(-3a,-3c) \in L_2\\ T(0,-6/5) =(-6b/5, -6d/5) \in L_2} \Rightarrow \cases{4a+7c+4=0  \cdots(1)\\ 4b+7d+10=0  \cdots(2)}\\ 同理,\cases{(3,0) \in L_2\\ (0,12/7) \in L_2} \Rightarrow \cases{T(3,0)=(3a,3c) \in L_1\\ T(0,12/7)= (12b/7,12d/7) \in L_1} \Rightarrow \cases{2a+3c+2=0 \cdots(3)\\ 4b+10d+7=0 \cdots(4)} \\ 因此\cases{(1),(3) \Rightarrow (a,c)=(-1,0) \\ (2),(4) \Rightarrow (b,d) =(-17/4,1)} \Rightarrow A= \begin{bmatrix}a& b \\c& d \end{bmatrix} = \bbox[red, 2pt]{\begin{bmatrix}-1& -{17\over 4} \\0 & 1 \end{bmatrix}}$$

二、 計算證明題（共 23 分）

解答: $$\href{https://www.sec.ntnu.edu.tw/uploads/asset/data/62564026381784d09345baf3/02-104002-(%E7%9F%A5%E8%AD%98)%E5%87%B8%E5%A4%9A%E9%82%8A%E5%BD%A2%E5%85%A7%E4%B8%80%E9%BB%9E%E5%88%B0%E5%90%84%E9%A0%82%E9%BB%9E%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E5%92%8C%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC(%E6%9C%88%E5%88%8A).pdf}{這裡有證明}$$

解答: $${x\over 1+x} +{y\over 1+y} +{z\over 1+z} +{w\over 1+w}=\left(1-{1\over 1+x} \right) + \left(1-{1\over 1+y} \right) + \left(1-{1\over 1+z} \right) + \left(1-{1\over 1+w} \right)\\ =4-\left({1\over 1+x} +{1\over 1+y} +{1\over 1+z} +{1\over 1+w} \right)\\ 而\left({1\over 1+x} +{1\over 1+y} +{1\over 1+z} +{1\over 1+w} \right) ((1+x)+(1+y)+ (1+z)+ (1+w)) \ge (1+1+1+1)^2 \\ \Rightarrow {1\over 1+x} +{1\over 1+y} +{1\over 1+z} +{1\over 1+w}\ge {16\over 5} \Rightarrow 4-\left({x\over 1+x} +{y\over 1+y} +{z\over 1+z} +{w\over 1+w} \right)\ge {16\over 5} \\ \Rightarrow {x\over 1+x} +{y\over 1+y} +{z\over 1+z} +{w\over 1+w}\le 4-{16\over 5} ={4\over 5},\quad \bbox[red, 2pt]{QED.}$$

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解題僅供參考，教甄歷年試題及詳解