臺北市立景美女子高級中學113學年度第1次教師甄選數學科試題
一、 填充題: (每題6 分,共72 分)

解答:L1:x1=y2=z2⇒L1的方向量→u=(1,2,2)若P∈L1⇒P(t,2t,2t)⇒→AP=(t−8,2t+11,2t+2)⇒→AP⋅→n=0⇒t=−2⇒A在L1上的垂足P(−2,−4,−4);同理可求A在L2上的垂足Q(1,−1,0)因此{A對稱L1的對稱點A′(−12,3,−6)∈↔BCA對稱L2的對稱點A″(−6,9,2)∈↔BC⇒↔BC=↔A′A″:x+126=y−36=z+68⇒↔BC:x+123=y−33=z+64


解答:
假設{P在平面E的投影點Q,對稱點P′⇒¯PQ=¯QP′=3P在平面F的投影點R,對稱點P″⇒¯PR=¯RP″=4又∠QOR=60∘⇒∠QPR=120∘⇒cos120∘=62+82−¯P′P″22⋅6⋅8⇒¯P′P″=2√37,此時{¯PA=¯P′A¯PB=¯P″B⇒△PAB周長=¯P′P″
解答:
f(x)=√x4−x2−6x+10−√x4−3x2+4=√(x2−1)2+(x−3)2−√(x2−2)2+(x−0)2=¯PA−¯PB,其中{P(x,x2)A(3,1)B(0,2)由於¯PA−¯PB≤¯AB=√32+12=√10⇒最大值=√10


解答:Case I k=0:−x+1=0⇒x=1∈ZCase II k≠0:k(x2+x+1)=x−1⇒k=x−1x2+x+1⋯(1)假設α,β為kx2+(k−1)x+(k+1)=0的兩根⇒α+β=1−kk=1k−1∈Z將(1)代入上式⇒α+β=x2+x+1x−1−1=x2+2x−1∈Z⇒{x−1∣x2+2x−1∣x2−1⇒x−1∣3⇒{x=2,4⇒k=1/7x=0,−2⇒k=−1⇒k=−1,0,17


解答:(x3y4)3=x9y12=(xy2)5⋅(x2y)2≥81⋅243=330⇒x3y4≥310⇒x3y4的最小值為310,此時{xy2=81x2y=243⇒yx=13⇒x=3y⇒3y3=81⇒y=3⇒x=9⇒{p=9q=3m=310⇒mpq=31032⋅3=37=2187


解答:O為重心⇒→OA+→OB+→OC=0⇒(→OA+→OB+→OC)⋅(→OA+→OB+→OC)=0⇒2+5+9+2(→OA⋅→OB+→OB⋅→OC+→OC⋅→OA)=0⇒16+2(→OA(→OB+→OC)+→OB⋅→OC)=16+2(−(√2)2+→OB⋅→OC)=0⇒→OB⋅→OC=−6若{z2=a+biz3=c+di⇒¯Z2Z3=(a−bi)(c+di)=ac+bd+(ad−bc)i⇒Re(¯Z2Z3)=ac+bd=→OB⋅→OC=−6


解答:假設四位數字分別為a,b,c,d,而千位數字a不能為0,至少為1,因此有H418=1330需扣除{a≥10:H49=220b≥10:H48=165c≥10:H48=165d≥10:H48=165⇒1330−220−165×3=615


解答
:x4−3x3−6x2+ax−24=(x−α)3(x−β)⇒{3α+β=3⋯(1)3αβ+3α2=−6⋯(2)α3β=−24⋯(3)(1)⇒β=3−3α代入(2)⇒2α2−3α−2=0⇒(2α+1)(α−2)=0⇒{α=2⇒β=−3⇒α3β=−24符合(3)α=−1/2⇒β=9/2⇒α3β=−9/16≠−24⇒a=−(α3+3α2β)=−(8−36)=28


解答:{d>0⇒相交二點或四點d=2⇒相交一點或三點,其中一點為(0,2)d<2⇒最多相交二點⇒d=2y=cx2+2代入橢圓方程式⇒4x2+9(cx2+2)2=36⇒9c2x4+(4+36c)x2=0⇒x2(9c2x2+36c+4)=0⇒9c2x2+36c+4=0⇒x2=−4(9c+1)9c2>0⇒9c+1<0⇒c<−19


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解題僅供參考,其他歷年試題及詳解
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