桃園高中113學年度第1次教師甄選初試
一、是非題:每題2分,共10分
解答:{f(x)=(0.07)xg(x)=log0.07x⇒f,g互為反函數⇒f=g的交點位於直線y=x上⇒y=f(x)與直線y=x只有一個交點,不可能三個,故×解答:依柴比雪夫不等式:P(8≤X≤12)=P(|X−10|≤2)≥1−122=75%,故◯
解答:若y=rx為一水平線,則y=rx不是垂直線,故×
解答:
有可能,如上圖,故◯
解答:limx→0+xlnx=limx→0+lnx1/x=limx→0+(lnx)′(1/x)′=limx→0+1/x−1/x2=limx→0+−x=0⇒limx→0+xx=elimx→0+(xlnx)=e0=1存在,故×
二、填充A:每格5分,共45分
解答:Γ:xy=k<0⇒對稱軸為直線y=x⇒切線¯PA斜率為tan75∘tan75∘=tan(45∘+30∘)=1+1/√31−1/√3=2+√3⇒切線↔PA方程式y=(2+√3)(x−2)+2⇒x((2+√3)(x−2)+2)=k⇒(2+√3)x2+(−2−2√3)x−k=0⇒判別式:(2+2√3)2+4k(2+√3)=0⇒k=−2

解答:Q=[001a−b0ba0]⇒Q−1=[0aa2+b2ba2+b20−ba2+b2aa2+b2100]=[0ab0−ba100]⇒B=Q−1AQ=[0ab0−ba100][−10001+b2−ab0−ab1+a2][001a−b0ba0]=[0ab0−2b2a−100][001a−b0ba0]=[a2+b20002a2+2b2000−1]=[10002000−1]

解答:x2021=y2024=z2027⇒{x=2021ky=2024kz=2027k⇒x+y+z=6072k=2024⇒k=13⇒{x=2021/3y=2024/3z=2027/3⇒{x=y−1z=y+1⇒x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−xz)=3y⋅12((x−y)2+(y−z)2+(z−x)2)=32⋅20243(1+1+4)=6072
解答:假設{¯AB=a=sin48∘¯MA=¯MB=b=sin42∘,則取{A(0,a)B(0,0)C(2b,0)D(2b,a)⇒E(cos12∘,−sin12∘)⇒N=(E+C)/2=(b+12cos12∘,−12sin12∘)⇒¯DN2=(b−12cos12∘)2+(a+12sin12∘)2=b2−bcos12∘+14cos212∘+a2+asin12∘+14sin212∘=asin12∘−bcos12∘+54=sin48∘sin12∘−cos48∘cos12∘+54=−cos(48∘+12∘)+54=−12+54=34⇒¯DN=√32
解答:
假設{O為原點P(z2)A(z2+25)B(z2−25),由於Arg(z2−25)−Arg(z2+25)=π2⇒∠BOA=π2⇒P是直角△OAB外接圓圓心⇒¯PO=¯PA=¯PB=25⇒z2=25ei(2θ)⇒z=±5eiθ=±5(cosθ+isinθ)=±5(725+i2425)=±(75+i245)

解答:E(x)=0.4×0.5×10+(0.6+0.4×0.5)(E(x)+5)⇒E(x)=30
解答:x2=8−x2⇒x=±2若正△邊長為a,則面積=√34a2,因此Γ體積=∫2−2√34(x2−(8−x2))2dx=√32∫20(2x2−8)2dx=√32∫20(4x4−32x2+64)dx=√32[45x5−323x3+64x]|20=√32⋅102415=512√315

解答:y=x+k代入圓\Rightarrow (x-1)^2+(x+k+2)^2=23 \Rightarrow 2x^2+(2k+2)x+k^2+4k-18=0\\ \Rightarrow \cases{兩根之和=-(k+1)\\ 兩根之積=(k^2+4k-18)/2}\\ A,B皆在y=x+k上\Rightarrow 假設\cases{A(a,a+k)\\ B(b,b+k)} \Rightarrow \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=ab+(a+k)(b+k)=0 \\ \Rightarrow k^2+(a+b)k+2ab=0 \Rightarrow k^2-(k+1)k+(k^2+4k-18)=0, 其中\cases{a+b=兩根之和\\ ab=兩根之積} \\ \Rightarrow k^2+3k-18=0 \Rightarrow (k+6)(k-3)=0 \Rightarrow k=\bbox[red, 2pt]{3,-6}

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解答:
令P為¯CD中點,則{¯AP=√¯AP2−¯CP2=√52−32=4¯BP=√¯BC2−¯CP2=√62−32=3√3⇒cos∠APB=42+(3√3)2−522⋅4⋅3√3=√34⇒sin∠APB=√134⇒S△ABP=12⋅¯AP⋅¯BPsin∠APB=3√392=12⋅¯AP⋅d(B,¯AP)⇒d(B,¯AP)=3√394⇒六面體體積=3倍四面體體積=S△ACD⋅d(B,¯AP)=12⋅6⋅4⋅3√394=9√39

解答:E(x)=0.4×0.5×10+(0.6+0.4×0.5)(E(x)+5)⇒E(x)=30
解答:x2=8−x2⇒x=±2若正△邊長為a,則面積=√34a2,因此Γ體積=∫2−2√34(x2−(8−x2))2dx=√32∫20(2x2−8)2dx=√32∫20(4x4−32x2+64)dx=√32[45x5−323x3+64x]|20=√32⋅102415=512√315

解答:(10+1)C^{10+2}_9-2C^{10+1}_9 =11C^{12_9}-2C^{11}_9=\bbox[red, 2pt]{2310},\\參考資料\text{ 2008 AIME II } \href{https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2008_AIME_II_Problems/Problem_12}{第12題}
三、填充B:每格7分,共35分
解答:假設\cases{狀態1=S1:今天吃團膳\\ 狀態2=S2:昨天吃團膳,今天不吃團膳\\ 狀態3=S3:昨天、今天都不吃團膳 } \Rightarrow \cases{P(S1\to S2) =1\\ P(S2\to S1)=1/2\\ P(S2\to S3)=1/2\\ P(S3\to S1)=1}\\ \Rightarrow 轉換矩陣A=\begin{bmatrix}0 & 1/2 & 1 \\1& 0 &0 \\0 & 1/2 &0\end{bmatrix} \\ 長期而言\begin{bmatrix}0 & 1/2 & 1 \\1& 0 &0 \\0 & 1/2 &0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} p1\\p2 \\p3\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} p1\\p2 \\p3\end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix}-1 & 1/2 & 1 \\1& -1 &0 \\0 & 1/2 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} p1\\p2 \\p3\end{bmatrix}=0 且p1+p2+ p3=1 \\ \Rightarrow \cases{p1=p2=0.4\\ p3=0.2} \Rightarrow 吃團膳機率p1=\bbox[red, 2pt]{0.4}解答:y=x+k代入圓\Rightarrow (x-1)^2+(x+k+2)^2=23 \Rightarrow 2x^2+(2k+2)x+k^2+4k-18=0\\ \Rightarrow \cases{兩根之和=-(k+1)\\ 兩根之積=(k^2+4k-18)/2}\\ A,B皆在y=x+k上\Rightarrow 假設\cases{A(a,a+k)\\ B(b,b+k)} \Rightarrow \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=ab+(a+k)(b+k)=0 \\ \Rightarrow k^2+(a+b)k+2ab=0 \Rightarrow k^2-(k+1)k+(k^2+4k-18)=0, 其中\cases{a+b=兩根之和\\ ab=兩根之積} \\ \Rightarrow k^2+3k-18=0 \Rightarrow (k+6)(k-3)=0 \Rightarrow k=\bbox[red, 2pt]{3,-6}

解答:f(x)=x^{130}-1=(x^4-x^3+2x^2-x+1)Q(x)+Ax^3+Bx^2+Cx+D \\ \qquad =(x^2+1)(x^2-x+1)Q(x)+Ax^3+Bx^2+Cx+D \\ \Rightarrow f(i)=i^{130}-1=-2=-Ai-B+Ci+D \Rightarrow \cases{-B+D=-2 \cdots(1)\\ -A+C=-2 \cdots(2)} \\ \Rightarrow f(\omega={1+\sqrt 3i\over 2})=\omega^{130}-1=-\omega -1=-A+B(\omega-1)+C\omega+D =(B+C)\omega-A-B+D \\\Rightarrow \cases{B+C=-1 \cdots(3)\\ -A-B+D=-1 \cdots(4)},由(1-4)可得\cases{A=-1\\ B=0\\ C=-1\\ D=-2} \Rightarrow 餘式=\bbox[red, 2pt]{-x^3-x-2}
解答:\begin{array}{l}n& x& x個數\\\hline 0&-200,0,200& 3\\ 1&-201, -199,-1,1,199,201& 6\\ 2& -202,-200,-198,-2,0,2,198,200,202& 9 \\ & \cdots \\ 99& -299,-297,-295,\dots,295,297,299 & 300 \\ 100 & -300,-298,-296, \dots,296, 298,300 & 301 \\\hline\end{array}\\ 當n=0\to 99, f_n=0解的個數比f_{n-1}=0 解的個數多3個; \\且n=99時,相鄰各解差距為1,因此當n=100時,只能增加一個解,因此個數為\bbox[red, 2pt]{301}

解答:\begin{array}{l}n& x& x個數\\\hline 0&-200,0,200& 3\\ 1&-201, -199,-1,1,199,201& 6\\ 2& -202,-200,-198,-2,0,2,198,200,202& 9 \\ & \cdots \\ 99& -299,-297,-295,\dots,295,297,299 & 300 \\ 100 & -300,-298,-296, \dots,296, 298,300 & 301 \\\hline\end{array}\\ 當n=0\to 99, f_n=0解的個數比f_{n-1}=0 解的個數多3個; \\且n=99時,相鄰各解差距為1,因此當n=100時,只能增加一個解,因此個數為\bbox[red, 2pt]{301}

解答:
假設正方形中心點O為原點,由正六邊形邊長為1,因此\overline{NN'}=\sqrt 3 \Rightarrow N({1\over 2},\sqrt 3-{1\over 2})\\ \overleftrightarrow{NP}的斜率為-\sqrt 3 \Rightarrow \overleftrightarrow{NP}:y=-\sqrt 3(x-{1\over 2}) +\sqrt 3-{1\over 2} \Rightarrow A=\overleftrightarrow{NP}\cap \{直線:y=x\}\\ =\left({5\over 2}-\sqrt 3,{5\over 2}-\sqrt 3 \right) \Rightarrow \overline{AB} =5-2\sqrt 3 \\\Rightarrow 梯形ABMN面積=(2\sqrt 3-3)\left( 1+5-2\sqrt 3\over 2\right) =9\sqrt 3-15\\ 欲求之面積=4個梯形ABMN面積+1個邊長為\overline{AB}的正方形\\=4(9\sqrt 3-15)+(5-2\sqrt 3)^2=16\sqrt 3-23 \Rightarrow \cases{m=16\\ n=3\\ p=-23} \Rightarrow m+n+p= \bbox[red, 2pt]{-4}\\參考資料:\text{ 2022 AMC 12B }\href{https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12B_Problems/Problem_25}{第25題}
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