115年情報三等-線性代數詳解

115年國家安全局國家安全情報人員考試

考 試 別： 國家安全情報人員考試
等 別： 三等考試
類科組別： 數理組（ 選試英文）
科 目： 線性代數

解答:$$\textbf{(一) }\cases{x_1-x_2+ 3x_3+2x_4=1\\ -x_1+x_2-2x_3+x_4=-2\\ 2x_1-2x_2+7x_3+7x_4=1} \Rightarrow \begin{bmatrix} 1&-1& 3&2 \\-1& 1& -2& 1\\ 2&-2&7& 7\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\-2\\1 \end{bmatrix} \\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\mathbf A=  \begin{bmatrix} 1&-1& 3&2 \\-1& 1& -2& 1\\ 2&-2&7& 7\end{bmatrix}, \mathbf b= \begin{bmatrix}1\\-2\\1 \end{bmatrix} } \\ \textbf{(二) } B=[A\mid b] =\left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & -1 & 3 & 2 & 1\\-1 & 1 & -2 & 1 & -2\\2 & -2 & 7 & 7 & 1\end{array} \right] \Rightarrow rref(B)= \left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & -1 & 0 & -7 & 4\\0 & 0 & 1 & 3 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array} \right] \\ \Rightarrow \cases{x_1-x_2-7x_4=4\\ x_3+3x_4=-1} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\mathbf x=\{[s+7t+4, s,-3t-1,t]^T \mid  s,t\in \mathbb R\}}$$

解答:$$T(x_1,x_2)= x_1 \begin{bmatrix}2&4\\0& 0 \end{bmatrix} +x_2 \begin{bmatrix}1& 5\\0& 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2x_1+x_2& 4x_1+5x_2\\0&0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-3& 3\\0& 0 \end{bmatrix} \\ \Rightarrow \cases{2x_1+x_2=-3\\ 4x_1+5x_2=3} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\cases{x_1=-3\\ x_2=3}}$$

解答:$$[A|I] = \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0\\1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0\\4 & -3 & 8 & 0 & 0 & 1\end{array} \right] \xrightarrow{R_3-4R_2\to R_3}  \left[ \begin{array}{rrr|rrr}0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0\\1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0\\0 & -3 & -4 & 0 & -4 & 1\end{array} \right] \xrightarrow{R_3+3R_1\to R_3} \\ \left[ \begin{array}{rrr|rrr}0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0\\1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 2 & 3 & -4 & 1 \end{array} \right] \xrightarrow{R_1\leftrightarrow R_2, R_3/2\to R_3} \left[ \begin{array}{rrr|rrr}1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & \frac{3}{2} & -2 & \frac{1}{2} \end{array} \right] \xrightarrow{R_1-3R_3\to R_1, R_2-2R_3\to R_2} \\ \left[ \begin{array}{rrr|rrr}1 & 0 & 0 & - \frac{9}{2} & 7 & - \frac{3}{2}\\0 & 1 & 0 & -2 & 4 & -1\\0 & 0 & 1 & \frac{3}{2} & -2 & \frac{1}{2}\end{array} \right] \Rightarrow A^{-1} = \bbox[red, 2pt]{\left[ \begin{array}{rrr|rrr}  - \frac{9}{2} & 7 & - \frac{3}{2}\\  -2 & 4 & -1\\  \frac{3}{2} & -2 & \frac{1}{2}\end{array} \right]}$$

解答:$$\textbf{(一) }A = \left[ \begin{matrix}-3 & 9 & -2 & -8\\2 & -6 & 4 & 8\\3 & -9 & -2 & 4\end{matrix} \right] \Rightarrow rref(A)=\left[\begin{matrix}1 & -3 & 0 & 2\\0 & 0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right] \\ \Rightarrow \text{Pivot }  在第 1 與第 3 行，因此矩陣 A 的第 1 與第 3 行形成行空間的基底 \\ \Rightarrow A\text{的行空間基底} = \bbox[red, 2pt]{  \left\{ \begin{bmatrix} -3\\2\\3\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-2\\4\\-2 \end{bmatrix}\right\}} \\ \textbf{(二) }\left[\begin{matrix}1 & -3 & 0 & 2\\0 & 0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right] \begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{bmatrix}=0 \Rightarrow \cases{x_1-3x_2+2x_4=0\\ x_3+x_4 =0}\\取\cases{x_2=s\\ x_4=t} \Rightarrow \mathbf x=  s \begin{bmatrix}3\\1\\0\\0 \end{bmatrix}+ t  \begin{bmatrix}-2\\0\\-1\\1 \end{bmatrix} \Rightarrow A\text{的零空間基底}= \bbox[red, 2pt]{  \left\{ \begin{bmatrix}3\\1\\0\\0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-2\\0\\-1\\1 \end{bmatrix} \right\}}$$

解答:$$\det (A) = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 & 1\\3 & 4 & 3 & -1\\1 & 4 & 6 & 6\\4 & 2 & 4 & 3 \end{vmatrix} \xrightarrow{R_2+3R_1\to R_2, R_1+R_3\to R_3, R_4+4R_1\to R_4} \begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 & 1\\0 & 10 & 12 & 2\\0 & 6 & 9 & 7\\0 & 10 & 16 & 7 \end{vmatrix} =- \begin{vmatrix}   10 & 12 & 2\\ 6 & 9 & 7\\ 10 & 16 & 7 \end{vmatrix} \\ \xrightarrow{R_3-R_1\to R_1} -\begin{vmatrix} 10 & 12 & 2\\6 & 9 & 7\\0 & 4 & 5\end{vmatrix} =-(450+48-360-280)= \bbox[red, 2pt]{142}$$

解答:$$\textbf{(一) }\mathbf y的正交投影向量 \mathbf{ \hat y}= {\mathbf y\cdot \mathbf u_1\over \mathbf u_1\cdot \mathbf u_1} \mathbf u_1+{\mathbf y\cdot \mathbf u_2\over \mathbf u_2\cdot \mathbf u_2}\mathbf u_2 +{\mathbf y\cdot \mathbf u_3 \over \mathbf u_3\cdot \mathbf u_3} \mathbf u_3 = \bbox[red, 2pt]{(2,4,0,0)^T} \\ \textbf{(二) }||\mathbf y- \mathbf{\hat y}|| =\sqrt{(4-2)^2+(3-4)^2+3^2+(-1)^2} = \bbox[red, 2pt]{\sqrt{15}}$$

解答:$$ 取 \mathbf v_1= \mathbf x_1= (1,-4,0,1)^T \Rightarrow \mathbf v_2= \mathbf x_2-{\mathbf x_2\cdot \mathbf v_1\over \mathbf v_1\cdot \mathbf v_1}\mathbf v_1 =(7,-7,-4,1)^T-(2,-8,0,2)^T \\=(5,1,-4,-1)^T \Rightarrow \cases{\mathbf e_1=\mathbf v_1/||\mathbf v_1|| = {1\over \sqrt{18}}(1,-4,0,1)^T \\ \mathbf e_2= \mathbf v_2/|| \mathbf v_2|| ={1\over \sqrt{43}} (5,1,-4,-1)^T}  \\ \Rightarrow 正交歸一基底為 \bbox[red, 2pt]{\left\{{1\over 3\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1\\ -4\\0\\1 \end{bmatrix}, {1\over \sqrt{43}} \begin{bmatrix}5\\ 1\\-4\\-1 \end{bmatrix}\right\}}$$

 

解答:$$\textbf{(一) } \det(A-\lambda I) = -\lambda^3+3\lambda^2-2\lambda=0 \Rightarrow -\lambda(\lambda-1)(\lambda-2) =0 \Rightarrow 特徵值\lambda=\bbox[red, 2pt]{0,1,2} \\ \textbf{(二) }\lambda=0 \Rightarrow (A-\lambda I)v=0 \Rightarrow \begin{bmatrix}4&-5& 1\\1&0& -1\\0&1& -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix} =0 \Rightarrow \cases{  x_1=x_3\\ x_2= x_3} \\ \qquad v= x_3 \begin{bmatrix}1\\1\\1 \end{bmatrix} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{E_0(A) = \text{span} \left\{ \begin{bmatrix}1\\1\\1 \end{bmatrix}\right\}} \\ \lambda=1 \Rightarrow (A-\lambda I)v=0 \Rightarrow \begin{bmatrix}3&-5& 1\\1& -1& -1\\0&1& -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix} =0 \Rightarrow \cases{x=3x_3\\ x_2=2x_3} \\ \qquad \Rightarrow v= x_3 \begin{bmatrix}3\\2\\ 1 \end{bmatrix}  \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{E_1(A) = \text{span} \left\{ \begin{bmatrix}3 \\2 \\1 \end{bmatrix}\right\}} \\ \lambda =2\Rightarrow  \begin{bmatrix} 2 & -5 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & -3 \end{bmatrix}   \begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix} =0 \Rightarrow \cases{x_1=7x_3\\ x_2=3x_3}  \\ \qquad \Rightarrow v= x_3 \begin{bmatrix}7 \\3\\ 1 \end{bmatrix}  \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{E_2(A) = \text{span} \left\{ \begin{bmatrix}7 \\3 \\1 \end{bmatrix}\right\} }$$

====================== END ==========================
解題僅供參考，其他國考試題及詳解