新北市立國民中學 115 學年度教師聯合甄選
科目： 資優數學科
選擇題：共 50 題，總分 100 分。 每題 2 分
解答:$$\cases{8=2^3\\ 50=2\times 5^2} \Rightarrow \cases{a\ge 3\\ b\ge 2} 且滿足 正因數個數=(a+1)(b+1)=12 \\ \Rightarrow \cases{a=3\\ b=2} \Rightarrow a+b=5，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:$$\cases{0^2=0 \Rightarrow 個位數0 \\1^2=1 \Rightarrow 個位數1 \\2^2=4 \Rightarrow 個位數4 \\3^2=9 \Rightarrow 個位數9 \\4^2=16 \Rightarrow 個位數6 \\6^2= 25 \Rightarrow 個位數5 \\6^2=36 \Rightarrow 個位數6 \\7^2=49 \Rightarrow 個位數9 \\8^2= 64 \Rightarrow 個位數4 \\9^2=81 \Rightarrow 個位數1 } \Rightarrow 不重複的完全平方數個位數字有:0, 1, 4, 5, 6, 9，總和=25，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$$(1+\sqrt 3)^2+a(1+\sqrt 3)+2=0 \Rightarrow a={-6-2\sqrt 3\over 1+\sqrt 3} =-2\sqrt 3，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$115不是完全平方數\Rightarrow n\ne 1\\ n=2\Rightarrow \cases{115-10^2=15 不是完全平方數\\ 115-9^2=34 不是完全平方數 \\ \cdots\\115-2^2=111不是完全平方數\\ 115-1^2=114不是完全平方數} \Rightarrow n\ne 2\\ n=3 \Rightarrow 115=9^2+5^2+3^2 合乎要求，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:$$\cases{\angle IBC= \angle B/2\\ \angle ICB=\angle C/2} \Rightarrow \angle IBC+ \angle ICB+ \angle BIC=180^\circ \Rightarrow {1\over 2}(\angle B+\angle C)+ \angle BIC=180^\circ\\ \Rightarrow {1\over 2}(180^\circ-\angle BAC) +\angle BIC=180^\circ \Rightarrow \angle BIC=90^\circ+{1\over 2} \angle BAC \\\Rightarrow 130^\circ=90^\circ+{1\over 2} \angle BAC \Rightarrow \angle BAC=80^\circ，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$$x^2-px+q=0 的兩根為\alpha,\beta \Rightarrow \cases{\alpha+\beta=p\\ \alpha\beta =q}, 由於q是質數,可假設\cases{\alpha=1\\ \beta=q} \Rightarrow p=1+q \\ \Rightarrow p-q=1 \Rightarrow 兩質數相差1,只有p=3,q=2 \Rightarrow x^2-3x+2=0 \Rightarrow (x-2)(x-1)=0 \\ \Rightarrow \cases{\alpha=1 \\\beta=2} \Rightarrow p^q+q^p+\alpha^\beta+ \beta^\alpha =3^2+ 2^3+1^2+2^1= 20，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
$$假設小圓圓心O_1, 圓半徑3、大圓圓心O_2, 圓半徑4，兩圓交於P、Q兩點，M=\overline{PQ} 中點 \\ 依題意\cases{\overline{PO_1}=3\\ \overline{PO_2} =4\\ \overline{O_1O_2}=5} \Rightarrow5^2=3^2+4^2 \Rightarrow \angle O_1PO_2=90^\circ \Rightarrow \triangle O_1PO_2={1\over 2}\cdot 3\cdot 4={1\over 2}\cdot 5\cdot \overline{MP} \\ \Rightarrow \overline{MP}={12\over 5} \Rightarrow \overline{PQ}={24\over 5}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:$$1000027 =100^3+3^3 =(100+3)(100^2-100\times 3+3^2)=103\times 9709，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:$$\cases{x+3y\lt 14\\ 2x+y\lt 17\\ x\ge 1\\ y\ge 1} \Rightarrow \cases{y=1 \Rightarrow \cases{x\lt 11\\ x\lt 8} \Rightarrow x=1,2,\dots,7，共7組\\ y=2 \Rightarrow \cases{x\lt 8\\ x\le 7} \Rightarrow x=1,2,\dots,7，共7組\\ y=3 \Rightarrow \cases{x\lt 5\\ x\lt 7} \Rightarrow x=1,2,3,4，共4組\\ y=4 \Rightarrow \cases{x\lt 2\\ x\le 6} \Rightarrow x=1，共1組} \\ \Rightarrow 合計:7+7+4+1=19，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:$$任取3數有C^{10}_3=120種組合，其中最大數就是b，另外兩個數為a,c或c,a，有2種組合，\\因此共有120\times 2=240種，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$x^2-xy-6y^2=(x-3y)(x+2y) \Rightarrow x^2-xy-6y^2+x+17y+k =(x-3y+a)(x+2y+b) \\ =x^2-xy-6y^2+(a+b)x+(2a-3b)y+ab \Rightarrow \cases{a+b=1\\ 2a-3b=17\\ab=k} \Rightarrow \cases{a=4\\ b=-3} \Rightarrow k=-12\\，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$$假設第三項為a \Rightarrow 3^{1/2} \cdot a= \left( 3^{1/3} \right)^2=3^{2/3} \Rightarrow a=3^{2/3-1/2} =3^{1/6}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$尤拉不等式\text{(Euler's Inequality): }R\ge 2r \Rightarrow {R\over r}\ge 2，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$$\left( \left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(\frac{y}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)^2 \right) \left( 2^2 + (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 \right) \ge \left( \frac{x}{2} \cdot 2 + \frac{y}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} + \frac{z}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2} \right)^2 \\ \Rightarrow \left( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} + \frac{z^2}{2} \right)(4 + 3 + 2) \ge (x + y + z)^2 \Rightarrow \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} + \frac{z^2}{2} \ge {36\over 9}=4，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$\sqrt{1^3+2^3+ \cdots+11^3} ={11\cdot (11+1)\over 2}=66，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$正整數 N 有 d 個正因數，那麼它的「所有正因數的乘積」會等於 N^{\frac{d}{2}} \\ \Rightarrow N^{6/2}=5832 \Rightarrow N^3=5832 \Rightarrow \sqrt[3]{5832} =18，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$丙和丁都指控對方是說謊的奸巧人，這代表丙和丁必然是一個老實人、一個奸巧人\\ \textbf{Case I }丙是老實人、丁是奸巧人:乙說:「丙是老實人」 \Rightarrow 乙是老實人，\\\qquad 而甲說:「我們四人中恰有一位老實人」\Rightarrow 甲是奸巧人 \Rightarrow \cases{乙、丙是老實人\\ 甲、丁是奸巧人} \\ \textbf{Case II }丙是奸巧人、丁是老實人:乙說:「丙是老實人」 \Rightarrow 乙是奸巧人\\ \qquad 若甲是老實人，則共有二位老實人，但甲說「我們四人中恰有一位老實人」，矛盾\\ \qquad 若甲是奸巧人，則只有一個老實人，但甲說「我們四人中恰有一位老實人」，矛盾\\ 因此只有 \textbf{ Case I }是正確的，有兩位奸巧人，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$a=3^{444}+ 4^{333} =81^{111}+ 64^{111} =(81+64)(81^{110}-81^{109}\cdot 64+\cdots+64^{110}) \\ \Rightarrow a可以被81+64=145整數，而145=5\times 29 \Rightarrow a可以被5整除，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:$$0\lt \theta\lt 45^\circ \Rightarrow \cos \theta \gt \sin \theta \Rightarrow (A),(B),(C)皆負值，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:
$$假設\cases{P(x,x^2+4) \Rightarrow 圖形:y=x^2+4為一拋物線\\Q(\cos y,\sin y)\Rightarrow 圖形為一單位圓,圓心在原點} \Rightarrow (x-\cos y)^2+(x^2+4-\sin y)^2= \overline{PQ}^2 \\ \overline{OP}^2=x^2+(x^2+4)^2=x^4+9x^2+16\ge 16 \Rightarrow \overline{OP}最小值=\sqrt{16}=4 \\ \Rightarrow \overline{PQ}最小值=4-圓半徑=4-1=3 \Rightarrow \overline{PQ}^2最小值=3^2=9，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$(A)\bigcirc: 3+\log r=\log s \Rightarrow r\cdot 10^3=s \Rightarrow s=1000r \\(B)\bigcirc: \log q=1+\log p \Rightarrow q=10p \\(C)\times:\log q=0.1234 \Rightarrow \log 100q=2+\log q=2.1234\ne 12.34\\ (D)\bigcirc:由(C)知t=2.1234\\，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}\\ \bbox[cyan,2pt]{註:}題目大寫的Q應該是小寫的q$$
解答:$$21={f(1)+f(4)\over 2}\times (4-1) \Rightarrow f(1)+f(4)=14\\ 由於1,4的中點是2.5,而-1,6的中點也是2.5, 因此f(-1)+f(6)=f(1)+f(4)=14，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$連續星期日一定是奇數、偶數交互出現，二月最多有29天，一定是奇偶奇偶奇，\\也就是2月1日(奇)、2月8日(偶)、2月15日(奇)、2月22日(偶)、2月29日(奇)\\ 因此情人節2月14日星期六，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$$A = \begin{bmatrix}2&1\\0&1 \end{bmatrix} \Rightarrow A^2 = \begin{bmatrix}2^2& 2^2-1\\ 0& 1 \end{bmatrix} \Rightarrow A^4= \begin{bmatrix}2^4& 2^4-1\\0& 1 \end{bmatrix} \Rightarrow A^8 = \begin{bmatrix}2^8& 2^8-1\\0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a&b\\ c& d \end{bmatrix} \\ \Rightarrow a+b+c +d =2^9=512，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解題僅供參考，其他教甄試題及詳解
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