115年桃園市國中教甄聯招-數學詳解

 桃 園 市 1 1 5 年 國 民 中 學 新 進 教 師 甄 選

專業科目：請依照題意，從四個選項中選出一個正確或最佳答案 (共 50 題，每題 2 分，合計 100 分)

解答:$$\cases{首項a_1=5\\公差d=2/5} 且奇數項的總和恰比所有偶數項的總和大 21 \Rightarrow 項數n為奇數\Rightarrow n=2k+1 \\ \Rightarrow (奇數項的總和)-(偶數項的總和)=a_1+(a_3-a_2)+ (a_5-a_4)+\cdots+ (a_{2k+1}-a_{2k}) \\=a_1+d+d+\cdots+d =a_1+kd=5+{2d\over 5}=21 \Rightarrow 2d=80\Rightarrow d=40 \Rightarrow n=81，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$\cases{\overline{BC}=8\\ \overline{BE} : \overline{EC}=1:3} \Rightarrow \cases{\overline{BE}=2\\ \overline{EC}=6} \Rightarrow \overline{AE}= \sqrt{8^2+ 2^2} =\sqrt{68} \\ \Rightarrow \triangle ABE+ \triangle CDE ={1\over 2}ABCD={1\over 2}\cdot 8^2=32 \Rightarrow \triangle ADE=32 ={1\over 2}\overline{AE}\cdot \overline{DF} \\ \Rightarrow \overline{DF}={64\over \sqrt{68}}={32\sqrt{17} \over 17}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$${(x+1)^2+x(x^2-3x+2026) \over (x^2-3x+2026)(x+1)} =1 \Rightarrow (x+1)^2+x(x^2-3x+2026)=(x^2-3x+2026)(x+1) \\ \Rightarrow (x+1)^2=x^2-3x+2026 \Rightarrow x^2+2x+1=x^2-3x+2026 \Rightarrow 5x=2025 \Rightarrow x=405\\，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$x^2-y^2={1\over 4}(8+2\sqrt{12})-{1\over 4}(8-2\sqrt{12}) = \sqrt{12}=2\sqrt 3\\ \triangle 面積={1\over 2}\cdot 2\sqrt 2\cdot h=2\sqrt 3 \Rightarrow h={2\sqrt 3\over \sqrt 2} =\sqrt 6 \Rightarrow {h\over x^2-y^2}={\sqrt 6\over 2\sqrt 3} ={\sqrt 2\over 2}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$假設全班有n人 \Rightarrow 全班總得分為78n \Rightarrow 去掉最高分後平均為76={78n-96\over n-1} \\ \Rightarrow 76n-76=78n-96 \Rightarrow 2n=20\Rightarrow n=10，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$\cases{10^1 \equiv 10 \text{ mod 13} \\10^2 \equiv 9 \text{ mod 13} \\10^3 \equiv 12 \text{ mod 13} \\10^4 \equiv 3 \text{ mod 13} \\10^5 \equiv 4\text{ mod 13} \\10^6 \equiv 1 \text{ mod 13}} \Rightarrow 共六種，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$只看分子:1,(1,2),(1,2,3),(1,2,3,4),\dots \Rightarrow 1+2+\cdots+9=45 \\ \Rightarrow 第50項落在第10組的第5個\Rightarrow 第10組依序為{1\over 11}, {2\over 10}, {3\over 9}, {4\over 8}, {5\over 7},\dots  \Rightarrow 第50項為{5\over 7}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$\log(3^2\times 4^{11}\times 5^{23}) =2\log 3+22\log 2+23(1-\log 2) =2\log 2+23-\log 2 =23+\log 2 \\=23.301 \Rightarrow 24位數，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$\left( \sqrt{x+ \sqrt{12x-35}} + \sqrt{x-\sqrt{12x-35}}\right)^2 =7^2 \Rightarrow 2x+2\sqrt{x^2-12x+35}=49 \\ \Rightarrow \left( 2\sqrt{x^2-12x+35} \right)^2=(49-2x)^2 \Rightarrow 4x^2-48x+140=4x^2-196x +2401 \\\Rightarrow 148x=2261 \Rightarrow x={2261\over 148}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$\sum_{k=1}^{10} (2k+1)(k-3) = \sum_{k=1}^{10} \left( 2k^2-5k-3 \right)= 2\sum_{k=1}^{10}k^2-5\sum_{k=1}^{10}k-3\sum_{k=1}^{10}1 \\=2\cdot {10\cdot 11\cdot 21\over 6}-5\cdot 55-3\cdot 10= 770-275-30= 465，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$f(x)=(x^2-2x+1)^4 =a_0+ a_1x+ \cdots+ a_8x^8 \Rightarrow \cases{f(0)=1=a_0\\ f(1)=0=a_0+a_1+\cdots+a_8} \\ \Rightarrow a_1+a_2+\cdots+a_8 =f(1)-f(0)=-1，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$\cases{x\gt 30 \Rightarrow x+10\lt x-30 \Rightarrow 10\lt -30矛盾\\ 10\lt x\lt 30 \Rightarrow x+10\lt 30-x \Rightarrow x\lt 10矛盾\\ -10\lt x\lt 10 \Rightarrow \cases{10-x\lt x+10 \Rightarrow x\gt 0\\ x+10\lt 30-x\Rightarrow x\lt 10} \Rightarrow 0\lt x\lt 10  \\ x\lt -10 \Rightarrow 10-x\lt -x-10 \Rightarrow 10\lt -10矛盾} \\ \Rightarrow 0\lt x\lt 10 \Rightarrow x=1,2,\dots,9，共九個整數，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$1092=13\times 12\times 7 \Rightarrow \cases{{1\over 12}={91\over 1092} \\ {1\over 13}={84\over 1092}} \Rightarrow k=85,86, 87,88,89,90\\ 需扣除因數有2,3,7,13的k值，僅剩下k=85,89，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$x^2-3x-1=0 \Rightarrow x^2=3x+1 \Rightarrow x^3=3x^2+x=3(3x+1)+x=10x+3 \\ \Rightarrow x^5= 109x+33 \Rightarrow x^6=360x+109 \Rightarrow x^3+x^2+x^{-2} -x^{-3} ={x^6+x^5+x-1 \over x^3} \\={470x+141\over 10x+3}=47，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$210\times 90\%=189 \Rightarrow 第90百分位數={1\over 2}(a_{189}+a_{190}) \\ 1+2+\cdots+18={1\over 2}\cdot 18\cdot 19=171 \Rightarrow 持有 19 顆寶石的人數有 19 人，a_{172},a_{173},\dots,a_{190}數值皆為 19 \\ \Rightarrow {1\over 2}(a_{189}+a_{190})=19，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$a,b,c成等比\Rightarrow b^2=ac \Rightarrow \begin{array}{l}b& a& c \\\hline 2& 1& 4\\ 3& 1& 9\\ 4& 1& 16\\& 2&8\\ 6& 2&18\\& 3& 12\\& 4& 9\\ 8& 4& 16\\ 10& 5& 20\\  12& 8& 18 \\&9&16\\\hline \end{array} \Rightarrow 共11種 ，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$P(X=1)=k, P(X=2)=2k,\dots,P(X=6)=6k \Rightarrow k+2k+\cdots+6k=21k=1\Rightarrow k={1\over 21} \\ \Rightarrow \cases{P(X=3)=3k=1/7\\ P(X=6)=6k=2/7} \Rightarrow {1\over 7}+{2\over 7} ={3\over 7}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$\sin 2\theta \gt \sin \theta \Rightarrow 2\sin \theta \cos \theta-\sin \theta \gt 0\Rightarrow \sin\theta(2\cos \theta-1)\gt 0\\ \textbf{Case I }\cases{\sin \theta \gt 0 \Rightarrow \theta \in (0, \pi)\\ 2\cos \theta-1\gt 0 \Rightarrow \theta \in [0,{\pi\over 3}) \cup ({5\pi\over 3},2\pi]} \Rightarrow 取交集:\theta \in (0,{\pi\over 3}) \\ \textbf{Case II }\cases{\sin \theta \lt 0 \Rightarrow \theta \in (\pi,2\pi) \\ 2\cos \theta -1\lt 0 \Rightarrow \theta \in ({\pi\over 3},{5\pi\over 3})} \Rightarrow 取交集:\theta \in (\pi,{5\pi\over 3}) \\ \Rightarrow \text{Case I }\cup \text{Case II}: \theta \in (0,{\pi\over 3})\cup (\pi,{5\pi\over 3}) \\ \cos 2\theta \gt \cos \theta \Rightarrow 2\cos^2\theta-\cos \theta-1\gt 0 \Rightarrow (2\cos \theta+1)(\cos \theta-1)\gt 0\\ 由於\cos \theta \le 1 \Rightarrow \cos \theta-1\le 0 \Rightarrow \theta \ne 0,2\pi; 此外，2\cos \theta+1\lt 0 \Rightarrow \theta \in ({2\pi\over 3},{4\pi\over 3})\\ 最後將\theta \in (0,{\pi\over 3})\cup (\pi,{5\pi\over 3})與\theta \in ({2\pi\over 3},{4\pi\over 3})取交集\Rightarrow \pi\lt \theta\lt {4\pi\over 3} \Rightarrow \cases{a=1\\ b=4/3} \\ \Rightarrow b-a={4\over 3}-1={1\over 3}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$\sin \left( x+{\pi\over 6} \right) =\sin x+\sin {\pi\over 6}  \Rightarrow 2 \sin \left( {x\over 2}+{\pi\over 12} \right) \cos  \left( {x\over 2}+{\pi\over 12} \right)= 2\sin \left( {x\over 2}+{\pi\over 12} \right) \cos  \left( {x\over 2}-{\pi\over 12} \right) \\ \Rightarrow 2\sin \left( {x\over 2}+{\pi\over 12} \right) \left[  \cos  \left( {x\over 2}+{\pi\over 12} \right)- \cos  \left( {x\over 2}-{\pi\over 12} \right) \right]=0\\ \textbf{Case I: }\sin \left( {x\over 2}+{\pi\over 12} \right)=0 \Rightarrow {x\over 2}+{\pi\over 12} =k\pi \Rightarrow x=2k\pi-{\pi\over 6} \Rightarrow x={11\pi\over 6} \\ \textbf{Case II: }\cos  \left( {x\over 2}+{\pi\over 12} \right)= \cos  \left( {x\over 2}-{\pi\over 12} \right) \Rightarrow {x\over 2}+{\pi\over 12}=2k\pi-\left( {x\over 2}-{\pi\over 12} \right) \Rightarrow x=2k\pi \Rightarrow x=0\\ 總共有兩個解:x=0,{11\pi\over 6}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$\cases{{d\over dx}\tan x=\sec^2 x\\ {d\over dx}(\pi x^2)=2\pi x} \Rightarrow {d\over dx}\tan(\pi x^2)  =\sec^2(\pi x^2) \cdot 2\pi x，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$若A不可逆或B不可逆\Rightarrow AB不可逆 \Rightarrow \det(AB)=0=\det(A)\times \det(B) \\ 若A可逆且B可逆 \Rightarrow A=E_k E_{k-1}\cdots E_1 \Rightarrow AB= E_k E_{k-1}\cdots E_1B \\\Rightarrow \det(AB) =\det(E_k E_{k-1}\cdots E_1B) =\det(E_k)\det(E_{k-1})\cdots\det(E_1)\det(B) =\det(A)\det(B)\\，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$\begin{vmatrix} 2024 &2025 &2026 \\ 2025 &2026 &2027 \\ 2026 &2027 &2029   \end{vmatrix} \xrightarrow{R_2-R_1\to R_2, R_3-R_1\to R_3} \begin{vmatrix} 2024 &2025 &2026 \\ 1 &1 &1 \\ 2 &2 &3   \end{vmatrix} \xrightarrow{R_3-2R_2\to R_3}  \begin{vmatrix} 2024 &2025 &2026 \\ 1 &1 &1 \\ 0 &0 &1   \end{vmatrix} \\=2024-2025=-1，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$\cases{f(i)=0 \Rightarrow f(\pm i)=0\\ f(2+3i)= \Rightarrow f(2\pm 3i)=0} \Rightarrow \pm i,2\pm 3i皆為f(x)=0的虛根 \Rightarrow f(x)=0僅有一實根\\，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$f(x,y)=x^2y^3 +e^{x+y} \Rightarrow f_y=3x^2y^2 +e^{x+y}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$第1行皆為完全平方數\Rightarrow 100^2在第1行第100列 \Rightarrow 9999在100^2的右邊，即第2行，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:

$$\overline{CB}=\overline{CA}=2 \Rightarrow \overline{AB}=2\sqrt 2 =\overline{AE} \Rightarrow \overline{CE}=2\sqrt 2-2 \\ 假設\overline{DB}=a \Rightarrow \cases{\overline{DE}=a\\ \overline{CD}=2-a} \Rightarrow a^2=(2\sqrt 2-2)^2+(2-a)^2 \Rightarrow a=4-2\sqrt 2 \Rightarrow \overline{CD}=2\sqrt 2-2\\ \Rightarrow \triangle CDE={1\over 2}\cdot \overline{CD} \cdot \overline{CE}={1\over 2}(2\sqrt 2-2)(2\sqrt 2-2)=6-4\sqrt 2，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$取x= \underbrace{111\cdots1}_{50個1} \Rightarrow \cases{A= x\cdot 10^{50}+x\\ B=2x} \Rightarrow C=A-B= x\cdot 10^{50}-x  \\ \Rightarrow C=\underbrace{111\cdots1}_{50個1}  \ \underbrace{000\cdots 0}_{50個0} -\underbrace{111\cdots1}_{50個1}= \underbrace{111\cdots1}_{49個1}0\underbrace{888\cdots 8}_{49個8}9 \\ \Rightarrow 數字總和=49\cdot 1+49\cdot 8+9 =450，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$\cases{第1圈的起點在A區\\ 第2圈的起點在G區\\ 第3圈的起點在F區\\\cdots \\第7圈的起點在B區\\第8圈的起點在A區\\\cdots   } \Rightarrow 循環數7\\ 2026=7\times 289+3 \Rightarrow 2026在第290圈的第3個位置, 又第 290 圈的起點必須從 A 往回退 289 步\\ 289=7\times 41+2\Rightarrow 相當於從A退回2步到F區,也就是第 290 圈的第一個數字(2024)在 F 區 \\ \Rightarrow 2025在G區、2026在A區，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$(C) |\alpha|\gt 3且 |\beta|\gt 3 \Rightarrow |\alpha||\beta|= |\alpha \beta| \gt 9，但兩根之積:\alpha \beta=8，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$6681-4782=1899，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$ab= \log_23 \times \log_3 7= {\log 3\over \log 2}\times {\log 7\over \log 3} ={\log 7\over \log 2} =\log_2 7\\ \Rightarrow \log_{42} 28 = {\log 28\over \log 42} ={2\log 2+\log 7\over \log 2+\log 3+\log 7} ={2+\log_2 7\over 1+\log_2 3+\log_27} ={2+ab\over 1+a+ab}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$\int \tan^2 x\,dx =\int (\sec^2x-1)\,dx = \tan x-x+C，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$\ln(x-2y)^2=\ln (xy) \Rightarrow (x-2y)^2=xy \Rightarrow x^2-5xy+4y^2=0 \Rightarrow (x-4y)(x-y)=0\\ \Rightarrow x=4y \Rightarrow {x\over y}=4\; (x=y\Rightarrow 2\ln(-y) \ne 2\ln y)，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$\cases{a_1=6\\ a_2=15\\ a_3=27\\ a_4=42} \Rightarrow \cases{a_2-a_1=9\\ a_3-a_2=12\\ a_4-a_3=15} \Rightarrow 取b_n=a_{n+1}-a_n \Rightarrow \cases{b_1=9\\ 公差d=3} \Rightarrow b_n=9+ 3(n-1)=3n+6 \\ \Rightarrow a_{100}= b_{99}+b_{98}+ \cdots+ b_1+a_1= {(9+3\cdot 99+6)\cdot 99 \over 2}+6=15450，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$1020_r-460_r=230_r \Rightarrow 最大的數字是6 \Rightarrow r\ne 4,5,6，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$3b-a\lt 10 \Rightarrow (b,a)=(1-3,1-9),  (4,3-9),(5,6-9), (6,9) \\ \Rightarrow 共有3\times 9+ 7+4+1= 39 \Rightarrow 機率={39\over 9\times 9} ={39\over 81}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:

$$假設\cases{中間斜正方形的邊長為a\\ 斜正方形與水平線角度為\theta} \Rightarrow \cases{左邊小正方形邊長為a\sin \theta\\ 右邊大正方形的邊長為a\sin(90^\circ-\theta)=a\cos \theta} \\ \Rightarrow \cases{左邊小正方形面積=a^2\sin^2\theta\\ 右邊大正方形面積=a^2\cos^2\theta} \Rightarrow 左右兩正方形面積合計=a^2(\sin ^2\theta+ \cos^2\theta)=a^2\\ \Rightarrow 左右兩正方形面積合計=中間斜正方形面積\\ 因此\cases{S_1+S_2=1 \\ S_2+S_3=2\\ S_3+S_4= 3} \Rightarrow S_1+S_2 +S_3+S_4=1+3=4，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$\lim_{n\to \infty} 8f(2n)= \lim_{n\to \infty} 8\sum_{k=1}^{2n-1} {k^2\over 8n^3}= \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{2n-1} {1\over n}({k\over n})^2= \int_0^2 x^2\,dx = \left. \left[ {1\over 3}x^3 \right] \right|_0^2 ={8\over 3}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$f(1)=-3 \Rightarrow f(3)=2 \Rightarrow f(5)= {1\over 3} \Rightarrow f(7)=-{1\over 2} \Rightarrow f(9)=-3 \Rightarrow 循環數4\\ 365=2\times 182+1 \Rightarrow 182=4\times 45+2 \Rightarrow f(365)=f(5)={1\over 3}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$f(x)=(x-2)^2+1 \Rightarrow \cases{f(8)=37\\ f(-1)=10} \Rightarrow 最大值37，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:

$$x+y=2 \Rightarrow y=2-x 代入y=x^2 \Rightarrow x^2=2-x \Rightarrow x^2+x-2=(x+2)(x-1)=0\\ \Rightarrow 兩圖形交點位於x=-2,1 \Rightarrow 所圍面積=\int_{-2}^1 (2-x-x^2)\,dx = \left. \left[ 2x-{1\over 2}x^2-{1\over 3}x^3 \right] \right|_{-2}^1\\ ={7\over 6}+{10\over 3}={27\over 6}=4{1\over 2}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$${a-6\over a+1}=1-{7\over a+1} \in \mathbb Z \Rightarrow a+1=\pm 1,\pm 7 \Rightarrow a=0,-2,6,-8 \\ \Rightarrow 0-2+6-8=-4，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$${a_1^2 +a_2^2+ a_3^2+a_4^2 \over a_1+a_2+a_3+a_4} =8 \Rightarrow a_1^2 -8a_1+a_2^2 -8a_2+ a_3^2-8a_3 +a_4^2 -8a_4=0 \\ \Rightarrow (a_1-4)^2+ (a_2-4)^2+ (a_3-4)^2+ (a_4-4)^2=64 \Rightarrow (a_1-4)^2=64 \Rightarrow a_1= \cases{8+4=12\\-8+4=-4} \\ \Rightarrow a_1最大值為12，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$a+b+3ab-62=0 \Rightarrow 3a+3b+9ab=186 \Rightarrow 9ab+3a+3b+1=187\\ \Rightarrow (3a+1)(3b+ 1)=187 =11\times 17 \Rightarrow \cases{\cases{3a+1=187\\ 3b+1=1} \Rightarrow \cases{a=62\\b=0} \Rightarrow a+b=62 \\ \cases{3a+1=17\\ 3b+1=11} \Rightarrow a=16/3非整數\\ \cases{3a +1=-1\\ 3b+1=-17} \Rightarrow \cases{a=-4\\ b=-6} \Rightarrow a+b=-10} \\ \Rightarrow a+b有兩種62及-10 ,合計52，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$c^2=a^2+b^2 \Rightarrow \cases{{x\over 2a^2}+ {y\over c^2}=1 \cdots(1)\\ {x\over c^2}+{y\over 2b^2}=1 \cdots(2)} \Rightarrow (1)\times {1\over 2b^2}-(2)\times{1\over c^2} \Rightarrow x \left( {1\over 4a^2b^2} -{1\over c^4} \right) ={1\over 2b^2}-{1\over c^2} \\ \Rightarrow x={a^2-b^2\over 2b^2c^2}\cdot {4a^2b^2c^4\over (a^2-b^2)^2} ={2a^2c^2\over a^2-b^2} \Rightarrow y={-2b^2c^2 \over a^2-b^2} \Rightarrow x+y =2c^2，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$${2-\cos x\over \sin x}=t \Rightarrow t\sin x+\cos x=2 \Rightarrow \sqrt{t^2+1}\sin(x+\theta)=2 \Rightarrow \sqrt{t^2+1}=2 \Rightarrow t=\sqrt 3\\，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$\cases{f(x+6)=f((x+3)+3) \le f(x+3)+3 \le f(x)+3+3=f(x)+6 \\ f(x+6)= f((x+4)+2) \ge f(x+4)+2 \ge f(x+2)+2+2 \ge f(x)+6} \\ \Rightarrow f(x)+6\le f(x+6)\le f(x)+6 \Rightarrow f(x+6)=f(x)+6\\ f(1000)=f(28+6\times 162) =f(28)+6\times 162=36+972=1008，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$5位數任排有3^5=243種\\ \textbf{Case I }恰好缺少1個數字: 從 3 個數字中選 1 個不用的數字，有3種選擇;剩下2個數字任排,\\ \qquad 有2^5=32種\Rightarrow 總共有3\times 32=96種\\ \textbf{Case II }恰好缺少2個數字，只有11111,22222,33333,三種情況 \\ \Rightarrow 符合要求的個數:243-96+3=150，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$f(xy)=f(x)+ f(y) \Rightarrow f(1\times 1)=f(1)+f(1) \Rightarrow f(1)=2f(1) \Rightarrow f(1)=0 \\ \Rightarrow f(1)=0 =f(x\times {1\over x})=f(x)+f({1\over x}) \Rightarrow f({1\over x}) =-f(x) \Rightarrow f({1\over 32})=-f(32) \\ f(4)=f(2\times 2)=f(2)+f(2)=2+2=4 \Rightarrow f(8)=f(4\times 2)= f(4)+f(2)=4+2=6\\ \Rightarrow f(16)=f(4\times 4)=f(4)+f(4)=4+4=8 \Rightarrow f(32)= f(16\times 2)=f(16)+f(2)=8+2=10 \\ \Rightarrow f({1\over 32})=-f(32)=-10，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$假設\overline{AB} =\overline{AC}=2a \Rightarrow \overline{AD}=4a \\ \overline{CE}^2= \overline{AC}^2+ \overline{AE}^2- 2\cdot \overline{AC}\cdot \overline{AE} \cos A =5a^2-4a^2\cos \theta=a^2(5-4\cos A) \\ \overline{CD}^2= \overline{AC}^2+ \overline{AD}^2 -2\cdot \overline{AC}\cdot \overline{AD}\cos A=20a^2-16a^2\cos A =4a^2(5-4\cos A) \\ \Rightarrow \overline{CD}^2=4\overline{CE}^2 \Rightarrow \overline{CD} = 2\overline{CE} \Rightarrow k=2，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

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