臺北市 115 學年度市立國民中學正式教師聯合甄選
貳、學科專業科目
選擇題（共 40 題，每題 1.75 分，共 70 分）
解答:$$一奈米=10^{-9}公尺=10^{-7}公分 \Rightarrow 40奈米=40\times 10^{-7}=4\times 10^{-6}公分\\ 20萬=20\times 10^4=2\times 10^5 \Rightarrow 4\times 10^{-6}\times 2\times 10^5=8\times 10^{-1}=0.8分分，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$\left( {1\over 4} \right)^2= (0.25)^2=0.0625，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$x^2= \left( \sqrt{2\sqrt{35}+12}\cdot {\sqrt{14}-\sqrt{10}\over \sqrt 2} \right)^2 =(2\sqrt{35}+12)\cdot { 24-2\sqrt{140}\over 2} =(2\sqrt{35}+12)\cdot(12-\sqrt{140}) \\=24\sqrt{35}-2\sqrt{4900}+144-12\sqrt{140} =24\sqrt{35}-140+144-24\sqrt{35}=4 \Rightarrow x=\sqrt{4}=2\\，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$$六角錐的側面不是正三角形，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$頂點在第四象限，且與x軸有兩交點\Rightarrow 圓形為凹向上\Rightarrow a\gt 0，\\又頂點x坐標-{b\over 2a}=4 \gt 0 \Rightarrow b\lt 0，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:$$假設三角形三邊長分別為a\le b\le c \Rightarrow (a,b,c)=(2,2,2)為正三角形\Rightarrow (1),(5)正確 \\ 剩下只需考慮(2)直角三角形。直角三角形: a^2+b^2=c^2 \Rightarrow a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b) \\ a是質數，不可能形成a^2=(c+b)(c-b)，因此(2)不正確，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$\cases{平行邊為水平方向的有12個\\平行邊為垂直方向的有12個\\ 斜率為1的有2個\\ 斜率為-1的有2個} \Rightarrow 合計:12+12+2+2=28，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$$儘量搭大船比較便宜，42=5\times 8+2 \Rightarrow 8艘大船+1艘小船費用=8\times 800+600=7000\\，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$${2x^5-5x^4+2x^3-8x^2\over x^2+1} ={(x^2-3x+1)(2x^3+x^2+3x)-3x\over x^2+1} ={-3x\over x^2+1} ={-3x\over 3x}=-1\\，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:$$x^2-3x-n=(x-a)(x+b), 其中a,b\in \mathbb N \Rightarrow \cases{b-a=-3\\ ab=n} \Rightarrow n=b(b+3) \Rightarrow 1\le b(b+3) \le 200\\ \Rightarrow \cases{b=1 \Rightarrow n=4\\ b=2 \Rightarrow n=10\\ \cdots\\ b=12 \Rightarrow n=180\\ b=13\Rightarrow n=208\gt 200} \Rightarrow 共12個，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:$$\begin{cases} f(k)=1& 1\le k\le 3，此區間合計3\\ f(k)=2& 4\le k\le 8，此區間合計5\times 2=10\\ f(k)=3 & 9\le k\le 15，此區間合計7\times 3=21 \\ f(k)=4& 16\le k \le 24，此區間合計9\times 4= 36\end{cases} \Rightarrow 區間總計=3+10+21+36=70\\ \Rightarrow 100-70=30=6\times 5 \Rightarrow k=25,26,\dots,30(剛好六項) \Rightarrow n=30，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$假設經過t分鐘後相遇，此時甲走的距離為d_{甲},乙走的距離為d_{乙}，一圈的距離為d_{甲}+d_{乙}\\ 接著乙花了12分鐘走完d_{甲}。因此{甲走d_{甲}的時間\over 乙走d_{甲}的時間} ={甲走d_{乙}的時間\over 乙走d_{乙}的時間} \\ \Rightarrow {t\over 12}={45-t\over t} \Rightarrow t^2+12t-540=0\Rightarrow (t+30)(t-18)=0 \Rightarrow t=18 \\ \Rightarrow 乙走一圈的時間=t+12=18+12=30，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:
$$\cases{\triangle ABC為等腰直角 \Rightarrow \overline{AB}=\overline{AC} \\ \triangle ADE為等腰直角\Rightarrow \overline{AD} =\overline{AE}}, 又\angle BAD+\angle DAC=90^\circ =\angle DAC+ \angle CAE \\\Rightarrow \angle BAD=\angle CAE \Rightarrow \triangle ABD \cong \triangle ACE (SAS ) \Rightarrow \triangle ACE面積=\triangle ABD面積\\ \Rightarrow 四邊形ADCE面積=\triangle ADC+\triangle ACE= \triangle ADC+\triangle ABD= 等腰直角\triangle ABC\\= {1\over 2}\cdot 3\cdot 3=4.5，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:$$過P(a,b)且與x軸垂直的直線L通過第二、三象限\Rightarrow a\lt 0 \Rightarrow Q(b,a)在第三或第四象限\\ \Rightarrow 過Q且與y軸垂直的直線通過第三、四象限，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$\cases{a+b=-a\\ ab=b} \Rightarrow \cases{2a+b=0 \\ b(a-1)=0} \Rightarrow \cases{b=0 \Rightarrow a=0\\ a=1\Rightarrow b=-2}\Rightarrow 共2組，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:
$$白色梯形PQDB面積=\triangle ABD-\triangle APQ=24-6=18 \\ \Rightarrow 灰色區域面積=矩形ABCD-白色梯形PQDB面積 =48-18=30，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$假設\cases{u=\sqrt{x+2} \ge0 \\v=\sqrt{y-2} \ge 0} \Rightarrow u+v=6 \Rightarrow 0\le u,v\le 6 \Rightarrow \cases{u^2=x+2\\ v^2=y-2} \Rightarrow \cases{x=u^2-2\\ y=v^2+2} \\ \Rightarrow x+2y=u^2-2+ 2(v^2+2)=u^2+2v^2+2=u^2+2(6-u)^2+2 =3u^2-24u+74 \\取f(u)=3u^2-24u+74 =3(u-4)^2+26 \Rightarrow \cases{f(4)=26\\f(0)=74\\ f(6)=38} \Rightarrow \cases{A=74\\ B=26} \Rightarrow A+B=100\\，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:
$$平行四邊形面積的一半=B+C=A+D \Rightarrow B=A+D-C=A-2 \\ 又{D\over C}={6\over 8}={\overline{OT} \over \overline{OR} } \Rightarrow {D\over B}={6^2\over 8^2} (\triangle OTQ\sim \triangle ORS) \Rightarrow B={16\over 9}D={32\over 3} \\ \Rightarrow A=B+2={38\over 3}=12{2\over 3}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:
$$假設\cases{正方形邊長\overline{AP} = \overline{AB}=a \\正方形邊長\overline{AQ} = \overline{AC}=b } \Rightarrow \angle PAC=90^\circ+\angle BAC= \angle BAQ \\ \Rightarrow \triangle APC \cong \triangle ABQ (SAS) \Rightarrow \overline{PC} =\overline{QB}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$平行四邊形一半的面積={1\over 2} \times 25\times 8={1\over 2}\cdot 10\cdot x \Rightarrow x=20，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:
$$假設圓方程式為X^2+Y^2=R^2, 及圖中標記的長度為a，則(a,x),(2a,17),(3a,13)皆在圓上\\ \Rightarrow \cases{a^2+x^2=R^2 \cdots(1)\\ 4a^2+17^2=R^2 \cdots(2)\\ 9a^2+13^2=R^2 \cdots(3)} \Rightarrow (3)-(2)=5a^2=17^2-13^2\Rightarrow a^2=24 \Rightarrow R^2=4\cdot 24+17^2 \\ \Rightarrow R^2=385 \Rightarrow x^2=R^2-a^2=385-24= 361 \Rightarrow x=\sqrt{361}=19，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:
$$假設\cases{矩形寬度為W\\ 矩形左下角為原點} \Rightarrow \cases{大圓圓心O_1(8,8)\\ 小圓圓心O_2(W-5,18-5)=(W-5,13)} \\ \Rightarrow \overline{O_1O_2} =8+5 \Rightarrow (W-13)^2+(13-8)^2=13^2 \Rightarrow W=25 \Rightarrow 面積=25\times 18=450，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:
$$假設圓半徑r \Rightarrow 大正方形對角線長=2\sqrt 2= \sqrt 2+r+\sqrt 2r \Rightarrow r(\sqrt 2+1)=\sqrt 2 \\ \Rightarrow r={\sqrt 2\over \sqrt 2+1}=\sqrt2(\sqrt 2-1)=2-\sqrt 2，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$假設\cases{正三角形邊長為a,高為h\\ 正三角形內部一點P到三邊距離分別為h_a,h_b,h_c} \\ \Rightarrow 三角形面積={1\over 2}\cdot a\cdot h={1\over 2}\cdot a(h_a+ h_b+h_c) \Rightarrow h= h_a+h_b+h_c =ds(P)，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$假設\cases{\overline{BE}=\overline{BF}= \overline{DH} = \overline{DG}=a \\ \overline{AH} =\overline{AE}= \overline{CF} =\overline{CG}=b} \Rightarrow 2\triangle BEF+ 2\triangle AEH=200 \Rightarrow a^2+b^2=200 \\ 由於a,b皆為整數\Rightarrow \cases{a=2\\ b=14} \Rightarrow 長方形面積=\overline{EF} \times \overline{EH} =\sqrt 2a\times \sqrt 2b=2ab=56，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:
$$假設圓半徑r \Rightarrow \overline{CB}^2+\overline{CA}^2= \overline{AB}^2 \Rightarrow (x+r)^2+(y+r)^2=(x+y^2) \Rightarrow rx+ry+r^2=xy \\ 三角形面積={1\over 2}(x+r)(y+r)={1\over 2}(xy+r^2+rx+ry) ={1\over 2}(xy+xy)=xy，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:
$$\overline{AB}^2: \overline{BC}^2: \overline{CA}^2=2:4:10 \Rightarrow 相似\triangle 的邊長平方為2k^2,4k^2,10k^2 \\ 最長邊10k^2\le \sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{10},且頂點皆在格子點上\\ \Rightarrow k^2=1/2,2,5/2,5，共四種，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$假設三相異質數為a,b,c \Rightarrow abc=11(a+b+c) \Rightarrow a,b,c其中之一為11, 假設a=11\\ \Rightarrow bc=11+b+c \Rightarrow bc-b-c+1=12 \Rightarrow (b-1)(c-1)=12=1\cdot 12=2\cdot 6= 3\cdot 4 \\ \Rightarrow \cases{b-1=1 \Rightarrow \cases{b=2\\ c=13} \Rightarrow 最小公倍數=11\cdot 2\cdot 13=286 \\b-1=2\Rightarrow \cases{b=3\\ c=7} \Rightarrow 最小公倍數=11\cdot 3\cdot 7=231 \\ b-1=3 \Rightarrow b=4不合} ，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:
$$重疊部份為一菱形，假設此菱形邊長\overline{AB}= \overline{BC}=s \Rightarrow s\sin \theta=10 \Rightarrow \sin \theta={10\over s} \\ \Rightarrow \cos \theta= \sqrt{1-({10\over s})^2}={\sqrt{s^2-100}\over s} \\ \Rightarrow 限制條件\overline{A'C}\le 50,即s+s\cos \theta\le 50 \Rightarrow s+\sqrt{s^2-100}\le 50 \Rightarrow s\le 26 \\ \Rightarrow 最大菱形面積=10s=10\cdot 26=260，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$$隨便舉一個例子:15+13-11+9+7+5+3-1=40\\ 依數字的正負號分成兩組\cases{正號組:15,13,9,7,5,3\\ 負號組:11,1} ,假設\cases{正號組的總合為S\\ 負號組的總合為M} \\ \Rightarrow \cases{S+M=15+13+\cdots+3+1=64\\ S-M=40} \Rightarrow M=(64-40)/2=12\\ 也就是說負號組的總合必須是12\Rightarrow 只有三組:(11,1),(9,3), (7,5)，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$假設沒被選中的數字是a，8個頂點的數字和S=1+2+\cdots+ 9-a=45-a \\ 正方體共有六個面，每個面上的 4 個頂點數字和等於 18\Rightarrow 六面合計:18\times 6=108\\ 每個頂點被三個面共用，即3S=108 \Rightarrow 3(45-a)=108 \Rightarrow a=9，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:
$$假設\cases{\overline{AB}=3k\\ \overline{BC}=4k\\ \overline{AC}=5k} \Rightarrow \overline{AC}^2=\overline{AB}^2+ \overline{BC}^2 \Rightarrow \angle B=90^\circ \\ \triangle PQC \sim \triangle ABC (AAA) \Rightarrow {S_1\over \triangle ABC} ={\overline{QC}^2\over \overline{BC}^2} ={(5k-3k)^2\over (4k)^2} ={1\over 4} \Rightarrow S_1={1\over 4}\triangle ABC\\ \triangle ANM \sim \triangle ABC \Rightarrow {S_2\over \triangle ABC}={\overline{AN}^2\over \overline{AB}^2} ={(5k-4k)^2\over (3k)^2}={1\over 9} \Rightarrow S_2={1\over 9}\triangle ABC \\ \Rightarrow S_1+S_2=39= \left( {1\over 4}+{1\over 9} \right) \triangle ABC ={13\over 36} \triangle ABC \Rightarrow \triangle ABC =108，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$f(x)=a(x-1)^2-2 \Rightarrow 頂點位於(1,-2),又f(x)=0無實根\Rightarrow 圓形凹向下\Rightarrow a\lt 0，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:$$\cases{A(0,1) \\B(0,0) \\P(2,0) \\C(3,0)\\ Q(2,1) \\D(3,1)} \Rightarrow \cases{\overleftrightarrow{BD}:x-3y=0\\ \overleftrightarrow{CQ}:x+y=3\\ \overleftrightarrow{AP}: x+2y=2} \Rightarrow \cases{E= \overleftrightarrow{BD} \cap \overleftrightarrow{AP} =(6/5,2/5) \\F=\overleftrightarrow{BD} \cap \overleftrightarrow{CQ} =(9/4,3/4)} \Rightarrow \overline{EF}={7\over 2\sqrt{10}} \\ \Rightarrow \overline{EF}: \overline{BD}={7\over 2\sqrt{10}}:\sqrt{10}=7:20，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$$\textbf{Case I }x^2-x-1=1 \Rightarrow x^2-x-2=0 \Rightarrow (x-2)(x+1) =0 \Rightarrow x=2,-1 \\ \textbf{Case II }x^2-x-1=-1 \Rightarrow x(x-1)=0 \Rightarrow \cases{x=0 \Rightarrow (-1)^3=-1\ne 1不合\\ x=1 \Rightarrow (-1)^4=1}\\ \textbf{Case III }\cases{x+3=0 \\ x^2-x-1\ne 0} \Rightarrow x=-3 \\ 因此x=-3,-1,1,2 \Rightarrow 合計:-1，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:
$$A4紙張的長寬比為\sqrt 2:1 \Rightarrow 假設\cases{長:2\sqrt 2\\ 寬:2} \Rightarrow \cases{\overline{OA}=3 \\ \overline{OB} =2\sqrt 3\\ \overline{OC}=\sqrt 6} \\ \Rightarrow 由小到大的比=\sqrt 6: 3:2\sqrt 3 =\sqrt 2: \sqrt 3:2，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:
$$塗色三角形\triangle PQB= \triangle ABQ-\triangle APQ ={1\over 2}\cdot 5\cdot a-{1\over 2} \cdot 5\cdot (a-4) =10，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:
$$假設\cases{\overline{AD} =\overline{AB}=\overline{BC} =a \\ \angle BDC=\alpha} \Rightarrow \cases{\overline{BD}=\sqrt 2a\\ \angle C=180^\circ-105^\circ-\alpha=75^\circ-\alpha} \\ 正弦定理: {\overline{BD} \over \sin C} ={\overline{BC} \over \sin \angle BDC} \Rightarrow {\sqrt 2a\over \sin(75^\circ-\alpha)} ={a\over \sin \alpha}\\ \Rightarrow \sqrt 2\sin \alpha=\sin(75^\circ-\alpha)=\sin 75^\circ \cos \alpha-\sin \alpha\cos 75^\circ \Rightarrow \tan \alpha ={\sin \alpha\over \cos \alpha}={\sin 75^\circ\over \sqrt 2+\cos75^\circ} \\={(\sqrt 6+\sqrt 2)/4\over \sqrt 2+(\sqrt 6-\sqrt 2)/4}={1\over \sqrt 3} \Rightarrow \alpha=30^\circ \Rightarrow x=45^\circ+\alpha=75^\circ，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:
$$假設\cases{\overline{AB}=5\\ \overline{BC}=3 \\ \overline{AC} =4} 及\cases{A在y軸上\\ B在x軸上 \\ \overline{AB}與x軸的夾角為\theta \\C在\overline{AB}的垂足為P} \Rightarrow \cases{A(0,5\sin \theta)\\ B(5\cos \theta,0)} \Rightarrow \overline{CP}={4\times 3\over 5}={12\over 5} \\ \Rightarrow \overline{AP}= \sqrt{4^2-(12/5)^2} ={16\over 5} \Rightarrow \overline{PB}=5-{16\over 5}={9\over 5} \Rightarrow \cases{C的x坐標= \overline{AP} \cos\theta+ \overline{CP} \sin\theta \\ C的y坐標=\overline{PB}\sin \theta + \overline{CP}\cos\theta} \\ \Rightarrow C({16\over 5}\cos \theta+{12\over 5}\sin\theta,{9\over 5}\sin \theta+{12\over 5}\cos \theta) \Rightarrow 正方形的邊長=C的x坐標=A的坐標\\ \Rightarrow 5\sin \theta= {16\over 5}\cos \theta+{12\over 5}\sin\theta \Rightarrow \tan \theta={16\over 13} \Rightarrow 正方形面積=25\sin^2\theta= 25\cdot {16^2\over 16^2+13^2}\\ ={256\over 17}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:
$$假設 \cases{\overline{OP} =\overline{OQ} =\overline{OR}=x \\ a=\overline{BC}= 4\\ b= \overline{CA}=2 \\ c=\overline{AB}=3}\Rightarrow \cases{d_c= x\sin B\\ d_b=x\sin A\\ d_a=x\sin C} \\ \Rightarrow S=\triangle ABC面積 = {1\over 2}ab\sin C= {1\over 2}bc\sin A= {1\over 2}ac\sin B \Rightarrow \cases{a\sin C=2S/b\\ b\sin A=2S/c\\ c\sin B=2s/a}\\ 又\triangle ABC=\triangle OBC+ \triangle OCA+ \triangle OAB ={1\over 2}(ad_a+ bd_b+ cd_c)={1\over 2} x(a\sin C+ b\sin A+ c\sin B) \\={1\over 2}x({2S\over b}+{2S\over c}+{2S\over a}) \Rightarrow S={1\over 2}x({2S\over b}+{2S\over c}+{2S\over a}) \Rightarrow x \left( {1\over a} +{1\over b} +{1\over c} \right)=1 \\ \Rightarrow x \left( {1\over 4}+{1\over 2}+{1\over 3} \right)=1 \Rightarrow x={12\over 13}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解題僅供參考，其他教甄試題及詳解
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